1、船舶结构力学复习概要一、一、应掌握的知识应掌握的知识1.单跨等直梁的计算 1.1 研究对象研究对象 1)普通梁；普通梁；2)复杂弯曲梁；复杂弯曲梁；3)弹性基础梁弹性基础梁 1.2 研究内容及解题要点研究内容及解题要点 1)单跨等直梁的弯曲理论：要求在己知梁的尺单跨等直梁的弯曲理论：要求在己知梁的尺寸、材料、载荷及边界条件下能求得梁的弯曲要寸、材料、载荷及边界条件下能求得梁的弯曲要素素梁的挠度、转角、弯矩及切力；并由此计算梁的挠度、转角、弯矩及切力；并由此计算出梁的变形与应力出梁的变形与应力。2)求解单跨梁弯曲要素的基本方法是弯曲微分方求解单跨梁弯曲要素的基本方法是弯曲微分方程式的积分法程式的
2、积分法，即即初参数法初参数法，实用方法是利用已实用方法是利用已知的梁的弯曲要素表和叠加法知的梁的弯曲要素表和叠加法。3)应用初参数法求解梁的弯曲问题时，可利用己应用初参数法求解梁的弯曲问题时，可利用己导出的梁在一般荷重作用下、任意边界条件下的导出的梁在一般荷重作用下、任意边界条件下的挠曲线方程式，再利用梁端的边界条件求出方程挠曲线方程式，再利用梁端的边界条件求出方程式中的未知常数式中的未知常数(初参数初参数)。因此，。因此，正确写出梁的正确写出梁的边界条件是重要的。解题时应注意梁的坐标、荷边界条件是重要的。解题时应注意梁的坐标、荷重的位置与方向，还要能正确写出分布荷重的表重的位置与方向，还要能
3、正确写出分布荷重的表达式。达式。对于静定梁或具有对称性的梁，可利用静力平对于静定梁或具有对称性的梁，可利用静力平衡方程式或对称条件求出某些未知初参数，常可衡方程式或对称条件求出某些未知初参数，常可使求解得到简化。使求解得到简化。3)在应用梁的弯曲要素表解题时，应注意以下几在应用梁的弯曲要素表解题时，应注意以下几点：点：(1)(1)充分了解已有的弯曲要素表的种类、应用范充分了解已有的弯曲要素表的种类、应用范围、坐标及符号法则。围、坐标及符号法则。(2)(2)不同荷重作用下的弯曲要素可由各个荷重作不同荷重作用下的弯曲要素可由各个荷重作用下的弯曲要素叠加得到用下的弯曲要素叠加得到叠加法。但叠加法。但
4、对于复对于复杂弯曲梁，只有在轴向力不变时才能用叠加法，杂弯曲梁，只有在轴向力不变时才能用叠加法，对于弹性基础梁，只有在弹性基础刚度为常数时对于弹性基础梁，只有在弹性基础刚度为常数时才可用叠加法。才可用叠加法。(3)(3)在画梁的弯矩图与切力图时，尽可能将梁化在画梁的弯矩图与切力图时，尽可能将梁化为两端自由支持的情形来做。叠加弯矩图与剪力为两端自由支持的情形来做。叠加弯矩图与剪力图时，注意图形及符号，并尽量使最终的弯矩图图时，注意图形及符号，并尽量使最终的弯矩图与剪力图清楚、醒目。与剪力图清楚、醒目。(4)计算最终通常是要求出梁的应力，因此需要掌握梁计算最终通常是要求出梁的应力，因此需要掌握梁的
5、正应力与切应力的计算方法的正应力与切应力的计算方法。1.3 挠度、转角、切力、弯矩及应力的符号法则挠度、转角、切力、弯矩及应力的符号法则 在如图所示坐标系下在如图所示坐标系下 挠度挠度v向下为正；向下为正；转角转角 顺时针方顺时针方 向为正；向为正；断面弯矩断面弯矩M左逆右顺为正；左逆右顺为正；断面切力断面切力N左下右上为正。左下右上为正。梁截面的正应力：梁截面的正应力：；切应力：；切应力：xv d/dxyq(x)FIMy2/d,hyAySIbNS 1.31.3梁的边界条件梁的边界条件 1)1)弹性支座：横向弯曲弹性支座：横向弯曲 左断面左断面 右断面右断面 复杂弯曲复杂弯曲 左断面左断面 右
6、断面右断面2)2)弹性固定端：横向弯曲弹性固定端：横向弯曲 左断面左断面 右断面右断面 复杂弯曲，轴向拉力复杂弯曲，轴向拉力 轴向压力轴向压力 vAEIvvAEIv )()(vTvEIvvTvEIAv )(vTvEIAvvEIv()vEIvvA EIvT v vEIvvEIv例例1.边界条件举例边界条件举例 1.4 思考题思考题 1)为什么当单跨粱两端为自由支持与单跨梁两端为弹性为什么当单跨粱两端为自由支持与单跨梁两端为弹性支座支持时，在同样外荷重作用下两梁断面的弯矩和剪支座支持时，在同样外荷重作用下两梁断面的弯矩和剪力都相等，而当梁两端是刚性固定与梁顶端为弹性固定力都相等，而当梁两端是刚性固
7、定与梁顶端为弹性固定时，在同样外荷重作用下两梁断面的弯矩和剪力都不同？时，在同样外荷重作用下两梁断面的弯矩和剪力都不同？()vA EIvFxFAxFA()vA FEIvMx)(MvEIv x)(MvEIv M 2)为什么梁在横弯曲时，横荷重引起的弯为什么梁在横弯曲时，横荷重引起的弯曲要素可以用叠加法求出，而梁在复杂弯曲要素可以用叠加法求出，而梁在复杂弯曲时，横荷重与轴向力的影响不可分开考曲时，横荷重与轴向力的影响不可分开考虑虑?3)梁的边界条件与梁本身的计算长度、剖面梁的边界条件与梁本身的计算长度、剖面几何要素、跨间荷重有没有关系几何要素、跨间荷重有没有关系?为什么为什么?4)等直梁的复杂弯曲
8、和弹性基础梁的弯曲在等直梁的复杂弯曲和弹性基础梁的弯曲在何条件下可采用叠加原理求解，为什么？何条件下可采用叠加原理求解，为什么？2.力法力法 1.1.内容与要点内容与要点 2.1船体结构中弹性支座与弹性固定端的实船体结构中弹性支座与弹性固定端的实际概念及柔性系数的计算。际概念及柔性系数的计算。2.2 本章所述力法以单跨梁建立的弯曲要素表和叠本章所述力法以单跨梁建立的弯曲要素表和叠加原理为基础，通过以结构中某些特殊节点加原理为基础，通过以结构中某些特殊节点(如支如支座处、断面变化处、相交节点处座处、断面变化处、相交节点处)的节点力的节点力(或力或力矩矩)为基本未知数，以这些节点处的变形连续条件为
9、基本未知数，以这些节点处的变形连续条件建立方程式，解出未知力，从而将复杂的杆系结建立方程式，解出未知力，从而将复杂的杆系结构化为一根根在节点处相联系的单跨梁。因此力构化为一根根在节点处相联系的单跨梁。因此力法在具体计算时，某对象仍为单跨梁。法在具体计算时，某对象仍为单跨梁。2.3 对予在刚性支座上的连续梁及不可动节对予在刚性支座上的连续梁及不可动节点简单刚架，建议将结构在支座或节点处点简单刚架，建议将结构在支座或节点处拆为一段段两端自由支持的单跨梁加上未拆为一段段两端自由支持的单跨梁加上未知弯矩，然后用转角连续条件求解。因此知弯矩，然后用转角连续条件求解。因此有几个未知弯矩必有几个相应的转角连
10、续有几个未知弯矩必有几个相应的转角连续方程式即三弯矩方程式。方程式即三弯矩方程式。对于在弹性支座上的连续梁，还需在每对于在弹性支座上的连续梁，还需在每一个弹性支座处列补充方程式，最后所得一个弹性支座处列补充方程式，最后所得的转角连续方程式即为五弯矩方程式。的转角连续方程式即为五弯矩方程式。2.4 在板架在板架(交叉梁系交叉梁系)计算中，将主问梁与计算中，将主问梁与交叉构件在节点处分开代以节点力，再用交叉构件在节点处分开代以节点力，再用主向梁与交叉构件相交节点挠度相等的条主向梁与交叉构件相交节点挠度相等的条件求解。对于船体板架，一般认为外荷重件求解。对于船体板架，一般认为外荷重全部由主向梁承受。
11、全部由主向梁承受。一根交叉构件与多根同样主向梁组成一根交叉构件与多根同样主向梁组成的板架的解法是综合力法与弹性支座概念的板架的解法是综合力法与弹性支座概念而形成的计算方法。计算时交叉构件化为而形成的计算方法。计算时交叉构件化为弹性基础梁，弹性基础梁的荷重及弹性基弹性基础梁，弹性基础梁的荷重及弹性基础刚度与主向梁上的荷重形式、主向梁边础刚度与主向梁上的荷重形式、主向梁边界情况有关。求解弹性基础梁，即可通过界情况有关。求解弹性基础梁，即可通过其挠度其挠度(板架的节点挠度板架的节点挠度)求出节点力。求出节点力。2.5 在连续梁与平面刚架结构中，如果与在连续梁与平面刚架结构中，如果与所研究的受载杆件有
12、不受外载荷的杆或杆所研究的受载杆件有不受外载荷的杆或杆系与之相连，则总可以将不受载的杆及杆系与之相连，则总可以将不受载的杆及杆系化为受载杆的弹性固定端。方法是：系化为受载杆的弹性固定端。方法是：(1)将受载杆与其相连的不受载杆或杆系将受载杆与其相连的不受载杆或杆系在连接又座处分开，加上弯矩在连接又座处分开，加上弯矩M，此弯矩，此弯矩亦可令其为亦可令其为1。(2)计算不受载杆在计算不受载杆在M作用断面处的转角作用断面处的转角，此，此必然与必然与M同方向，同方向，与与M的比值的比值就是所需的受载杆弹性固定端的柔性系数。就是所需的受载杆弹性固定端的柔性系数。在板架或一般的交叉梁系结构中，原则在板架或
13、一般的交叉梁系结构中，原则上不受载杆对受载杆的支持可化为弹性支上不受载杆对受载杆的支持可化为弹性支座，只要对不受载杆能写出在与受载杆桐座，只要对不受载杆能写出在与受载杆桐交节点处节点力交节点处节点力R与挠度与挠度v之间的正比关系，之间的正比关系，弹性支座的柔性系数弹性支座的柔性系数v=AR，计算方法与步，计算方法与步骤与上述弹性固定端的计算相同。骤与上述弹性固定端的计算相同。2.2.例：例：用力法求解图中之简单刚架，设各杆之长度均为用力法求解图中之简单刚架，设各杆之长度均为l，断面惯性矩均为断面惯性矩均为I，已知已知 ，。解：本例的刚架为二次静不定结构，现将节点解：本例的刚架为二次静不定结构，
14、现将节点3处的刚性固处的刚性固定约束去除，并在节点定约束去除，并在节点2处切开，加上未知弯矩处切开，加上未知弯矩M2与与M3。原来作用于节点原来作用于节点2上的外力矩上的外力矩M可考虑在杆可考虑在杆l一一2上亦可考上亦可考虑在杆虑在杆23上，今考虑在杆上，今考虑在杆l一一2上。于是得到两根单跨上。于是得到两根单跨梁如图所示。梁如图所示。EIlAqlF6,8.03q152qlMFMl/21A23 变形连续条件为节点变形连续条件为节点2转角连续及节点转角连续及节点3转转角为零，利用单跨梁的弯曲要素表，这两个角为零，利用单跨梁的弯曲要素表，这两个条件给出：条件给出：FMM2Av12qM2M323 (
15、1)(2)再列节点再列节点1弹性处支座的补充方程式：弹性处支座的补充方程式：(3)将式将式(3)代入式代入式(1)中，经整理后，式中，经整理后，式(1)与式与式(2)两式成为：两式成为：(4)(5)23322()731636360M lMMlM lvFlqlEIlEIEIEIEI 09036332EIqlEIlMEIlM)2(2lMMFAARvMAlEIFlAlEIqlMMAlEI)62()383(607)64(3323232321522qlMM将将F、M、A代入式代入式(4)、(5)得：得：解上式得：解上式得：3.思考题思考题 1)何谓力法？怎样建立力法方程？何谓力法？怎样建立力法方程？2)
16、什么是力法的基本结构和基本未知量？基本什么是力法的基本结构和基本未知量？基本结构与原结构村什么异同？力法正则方程式的结构与原结构村什么异同？力法正则方程式的物理意义是什么物理意义是什么22152260375qlMMqlMM23221801,9911qlMqlM 3)当连续梁两端为弹性固定时，如何按变形当连续梁两端为弹性固定时，如何按变形连续条件建立该处的方程？连续条件建立该处的方程？4)力法可否用于计算不可动节点的复杂刚架力法可否用于计算不可动节点的复杂刚架,如可以，应如何做？如可以，应如何做？5)在杆系结构中，可以把其中的一些杆件化在杆系结构中，可以把其中的一些杆件化为其他杆件的弹性支座或弹
17、性固定端，其为其他杆件的弹性支座或弹性固定端，其简化条件是什么？简化步骤如何？在简化简化条件是什么？简化步骤如何？在简化时经常会用到哪几种类型公式？时经常会用到哪几种类型公式？6)刚架与板架的受力特征和变形特征有何刚架与板架的受力特征和变形特征有何区别？区别？3.位移法位移法 3.1 主要内容与要点主要内容与要点 1)在船舶结构力学中，位移法的主要研究在船舶结构力学中，位移法的主要研究 对象为船体结构中的不可动节点复杂刚架，可动对象为船体结构中的不可动节点复杂刚架，可动节点简单刚架及简单板架等。节点简单刚架及简单板架等。2)由于位移法中所采用的杆端弯曲要素的符号法由于位移法中所采用的杆端弯曲要
18、素的符号法则与第二章单跨粱及第三章力法中不完全相同，则与第二章单跨粱及第三章力法中不完全相同，因此首先要明确位移法中新的符号规定：因此首先要明确位移法中新的符号规定：杆件两杆件两端的弯矩与转角一律以顺时针方向为正；杆端的端的弯矩与转角一律以顺时针方向为正；杆端的剪力与挠度要根据杆件的局部坐标来定，但两个剪力与挠度要根据杆件的局部坐标来定，但两个端点处的剪力与挠度的正向相同。端点处的剪力与挠度的正向相同。3)位移法解杆系问题时，将各杆件视为两端位移法解杆系问题时，将各杆件视为两端刚性固定的单跨梁，然后强迫可以发生位刚性固定的单跨梁，然后强迫可以发生位移的支座或节点断面产生协调一致的变形，移的支座
19、或节点断面产生协调一致的变形，并要满足支座或节点处力的平衡条件。因并要满足支座或节点处力的平衡条件。因此位移法的几何协调条件自行满足，联系此位移法的几何协调条件自行满足，联系位移与力的关系的物理条件是刚度系数，位移与力的关系的物理条件是刚度系数，建立方程式组的条件是力的平衡条件，基建立方程式组的条件是力的平衡条件，基本未知数是位移。本未知数是位移。在进行上述计算时，要注意以下几点：在进行上述计算时，要注意以下几点：(1)位移法之杆端弯矩为固端弯矩与杆端发位移法之杆端弯矩为固端弯矩与杆端发生转角的弯矩之和生转角的弯矩之和，即即 ；ijijijMMM (2)固端弯矩固端弯矩 可查两端刚性固定的单跨
20、梁的弯曲要素表可查两端刚性固定的单跨梁的弯曲要素表得到，但注意表中弯矩的符号规定与位移法不同。得到，但注意表中弯矩的符号规定与位移法不同。(3)杆端因发生转角而产生的弯矩杆端因发生转角而产生的弯矩 ，为：为：(4)在建立支座或节点的弯短平衡方程式队如果该节点上在建立支座或节点的弯短平衡方程式队如果该节点上 有外加弯矩，则在平衡方程中应予计入。有外加弯矩，则在平衡方程中应予计入。(5)如果支座或节点如果支座或节点k有弹性固定端有弹性固定端(柔性系数为柔性系数为 )，则在，则在该处建立弯矩平衡方程式时还应计及弹性固定端的弯矩该处建立弯矩平衡方程式时还应计及弹性固定端的弯矩 。ijMijMjiMji
21、jijiijijjiijijijijijjiijijijiijijijijijjiijijijilEIlEIMEIlMEIlMlEIlEIMEIlMEIlM42632463kkkkM 5)用位移法解可动节点简单刚架及板架时，先分用位移法解可动节点简单刚架及板架时，先分析结构中有几个节点或支座会发生转角及线位析结构中有几个节点或支座会发生转角及线位移移(挠度挠度)，并把它们作为未知量。然后对每一个，并把它们作为未知量。然后对每一个发生转角的节点或支座处列弯矩平衡方程式，发生转角的节点或支座处列弯矩平衡方程式，对每一个发生线位移的节点或支座处列剪力平对每一个发生线位移的节点或支座处列剪力平衡方程式
22、，因此未知数的数且与方程式的数目衡方程式，因此未知数的数且与方程式的数目相同，问题可以解决。相同，问题可以解决。在计算时，杆端总弯矩为固端弯矩与杆端发在计算时，杆端总弯矩为固端弯矩与杆端发生转角及线位移时的弯矩之和：生转角及线位移时的弯矩之和：；杆；杆端剪力为固端剪力与杆端发生转角及线位移时端剪力为固端剪力与杆端发生转角及线位移时的剪力之和：的剪力之和：；其中；其中 计算公式计算公式见教材中公式见教材中公式(42)。ijijijMMMijijijNNNijijNM,2.例题例题 图示刚架，己知图示刚架，己知 。试用位移。试用位移法求解，并画弯矩图。法求解，并画弯矩图。0240230123,2.
23、2m,6llllllkN/m2.88;8,3,m106.0202402344012qIIIIII1234q解解：(1)将将1、2、3节点加固成固定端，因此有三个未知节点加固成固定端，因此有三个未知数数 。(2)计算固端弯矩计算固端弯矩 321,ijM0 00 012212124000 02142000 02332,151033(3)(3)15121021(3)(3)101250Q lQ lMMQQMllQ lQQMllQ lMM 12kN/m05.223122.882qkN/m2.88q3m9m241Q2Q0Q020109,6,kN/m05.22QQQQQ(3)计算由转角计算由转角 引起的杆端
24、弯矩引起的杆端弯矩 (4)列节点平衡方程列节点平衡方程 节点节点1：节点节点2：节点节点3：节点节点4：321,20042424224244220042424224242430020032323223233220010032323223232320010021212112122120010021212112121231642,332242.2122.2642,2.262.212248444,4824lEIlEIlEIMlEIlEIlEIMlEIlEIlEIlEIMlEIlEIlEIlEIMlEIlEIlEIlEIMlEIlEIlEIlEIM01212 MM0242321242321MMMMMM
25、03232MM424242MMM(5)将各参数代入节点将各参数代入节点1、2、3的平衡方程式后得：的平衡方程式后得：将上式经整理后得：将上式经整理后得：02.2122.2603322.262.2128410331004815300200200300200200100000020010000lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlQlQlEIlEIlQ0228.55.48.396.66023200032100021EIlQEIlQ 求解上式得：(6)回代求杆端弯矩：(7)画弯矩图02001020020200107628.0,15255.0,06794.0EIlQEIlQEIlQmkN448.
26、49715255.0316521mkN012.1666728.115255.03321033mkN936.61)07628.0(2.2615255.02.212mkN076.10415255.0806794.041000004242420000002424240000232323000000212121lQlQMMMlQlQlQMMMlQlQMMMlQlQlQMMM1234 3.3.思考题思考题 1)1)根据位移法的基本原理，试举例写出节根据位移法的基本原理，试举例写出节点有集中力或集中弯矩的平衡方程式，列点有集中力或集中弯矩的平衡方程式，列出弹性支座处或开口端为弹性固定端处的出弹性支座处或开
27、口端为弹性固定端处的节点力平衡方程式。节点力平衡方程式。2)与力法相比，位移法有何优点与缺点？与力法相比，位移法有何优点与缺点？3)在位移法计算中，刚架或连续梁的开口在位移法计算中，刚架或连续梁的开口端是否一定要刚性固定住端是否一定要刚性固定住?如果不需要，试如果不需要，试导出相应的由转角引起的杆端弯矩的关系导出相应的由转角引起的杆端弯矩的关系式。式。4.4.能量法能量法 4.14.1主要内容及解题要点主要内容及解题要点 1)能量法是利用结构在外载荷作用下的功能量法是利用结构在外载荷作用下的功及应变能的概念解决计算问题的方法，它及应变能的概念解决计算问题的方法，它在结构分析中应用甚广，因此掌握
28、能量法在结构分析中应用甚广，因此掌握能量法中的基本原理及解题方法十分重要。中的基本原理及解题方法十分重要。在具体分析村，能量法常用来处理解析在具体分析村，能量法常用来处理解析法不能适用的复杂结构问题。法不能适用的复杂结构问题。2)能量法的基本原理，包括虚位移原理及虚力原理。能量法的基本原理，包括虚位移原理及虚力原理。虚位移原理等价于结构的平衡条件，因此基于虚位移虚位移原理等价于结构的平衡条件，因此基于虚位移原功方法是位移法。由虚位移原理可导出位能驻值原理，原功方法是位移法。由虚位移原理可导出位能驻值原理，最小势能原理的计算公式。常用的计算方法是势能驻值原最小势能原理的计算公式。常用的计算方法是
29、势能驻值原理的近似法，即里兹法。理的近似法，即里兹法。虚应力原理等价于结构的变形协调条件，因此基于虚虚应力原理等价于结构的变形协调条件，因此基于虚应力原理的方法是力法。由虚应力原理可导出余能驻值原应力原理的方法是力法。由虚应力原理可导出余能驻值原理。常用的计算方法是最小功原理及卡氏第二定理。理。常用的计算方法是最小功原理及卡氏第二定理。要理解与上述原理有关的量：外力功、应变能、余功、要理解与上述原理有关的量：外力功、应变能、余功、余能，总势能、总余位能、力函数等的意义以及在不同应余能，总势能、总余位能、力函数等的意义以及在不同应用中的表达形式，还要注意线性体系与非线性体系的差别。用中的表达形式
30、，还要注意线性体系与非线性体系的差别。3)里兹法求解梁的弯曲问题是重点；里兹法可用于求解任意里兹法求解梁的弯曲问题是重点；里兹法可用于求解任意结构形式的梁，如变断面梁，有弹性支座、弹性固定端或结构形式的梁，如变断面梁，有弹性支座、弹性固定端或有弹性基础的，在任意载荷作用下的挠曲线。具体计算步有弹性基础的，在任意载荷作用下的挠曲线。具体计算步骤如下：骤如下：(1)建立梁的坐标系。建立梁的坐标系。(2)将梁的挠曲线写成级数形式：将梁的挠曲线写成级数形式：，式中，式中 是满足梁端位移边界条件的基函数，是选定的，具体选取是满足梁端位移边界条件的基函数，是选定的，具体选取可参考教材表可参考教材表5.1选
31、取，选取，ai为待定系数。为待定系数。(3)计算梁的应变能计算梁的应变能V，此应变能必须表达为，此应变能必须表达为v(x)的函数。的函数。在一般情况下，梁的应变能包括：梁本身的弯曲应变在一般情况下，梁的应变能包括：梁本身的弯曲应变能能 ，如梁上弹性支座的应变能，如梁上弹性支座的应变能 及梁及梁上弹性固定端的应变能上弹性固定端的应变能 ；如果梁在；如果梁在axb中有刚度中有刚度为为k的的弹性基础，则还要加上弹性基础的应变能弹性基础，则还要加上弹性基础的应变能 。iiixaxv)()(201()d2lVE Ivxx)(xiAvV2222vVbaxkvVd212 (4)计算梁的力函数时，它等于梁上外
32、力与对应的计算梁的力函数时，它等于梁上外力与对应的位移的乘积之和。对于所取的位移的乘积之和。对于所取的v(x)，计算时要，计算时要注意外力的方向是否与位移方向一致。在一般注意外力的方向是否与位移方向一致。在一般情况下情况下(参看附录附图参看附录附图1)，力函数为：，力函数为：(5)计算结构的总势能计算结构的总势能 ，并将，并将对对ai求偏求偏导，得出导，得出n个联立方程式：个联立方程式：解之可得解之可得ai，代入，代入v(x)的式中得梁的挠曲线，并的式中得梁的挠曲线，并可进一步求出梁的弯矩、剪力等弯曲要素。可进一步求出梁的弯矩、剪力等弯曲要素。()()()()ddcUMv aFv bq x v
33、 xxUV niaUVaii,3,2,1,0)(2.2.例题：例题：用里兹法求图中变断面梁的中点挠度。已用里兹法求图中变断面梁的中点挠度。已知知 。计算时试取挠曲线函数。计算时试取挠曲线函数 。解：解：经检查，挠曲函数经检查，挠曲函数 满足边界条件。满足边界条件。(1)计算应变能。此梁的应变能包括两部份，一是计算应变能。此梁的应变能包括两部份，一是梁本身的弯曲应变能梁本身的弯曲应变能V1，二是弹性支座的应变能二是弹性支座的应变能V2，注意到梁是变断面注意到梁是变断面 ,30,3lFq lAEI21)()(xlaxvF0qA4/l4/l/2lI2I21)()(xlaxv/22210/211()d
34、(2)()d22lllVEIvx xEI vx xAvV2)0(22 将将 及及 代入可计算出代入可计算出 总应变能为：总应变能为：(2)计算力函数。此梁的力函数包括集中力计算力函数。此梁的力函数包括集中力F引起引起U1及分布荷重引起的及分布荷重引起的U2两部分。两部分。计算计算U2时，先写出分布荷重的表达式。对图示坐标时，先写出分布荷重的表达式。对图示坐标有有 因而因而212 lav 212)0(lavlEIalalEIVlEIalaEIlaEIV214213221212115.12332422421lEIaV215.42221110199()()441616llUFvFa lFalq al
35、lxlqxqxq2,22)(00lllllaqxxlaqlxqxxvxqU2/2/31021002961d)()2(d)()(总的力函数为：总的力函数为：(3)计算总势能计算总势能 由由 ，得，得 故梁的挠曲线为：故梁的挠曲线为：梁中点挠度为：梁中点挠度为：310310219655)961169(laqlaqUUU3102196555.4laqlEIaUV01aEIlqa30106366.0EIlqxlxv202)(06366.0)(EIlqEIlqlllv402001591.0)2(06366.0)2/(3.3.思考题思考题 1)1)一梁上同时受到两个集中力时，应变能可否分一梁上同时受到两个
36、集中力时，应变能可否分别计算每一力作用时的应变能再相机为什么？一别计算每一力作用时的应变能再相机为什么？一杆系结构承受拉杆系结构承受拉(压压)、弯曲、弯曲、剪切与扭转四种载荷时，应变能可否分别计算每剪切与扭转四种载荷时，应变能可否分别计算每一种载荷作用时的应变能再相加，为什么一种载荷作用时的应变能再相加，为什么?2)何谓应变能，何谓余能，有何区别？何谓应变能，何谓余能，有何区别？3)何谓体系总位能、力函数何谓体系总位能、力函数?4)为什么里兹法的基函数只要求满足结构的位移为什么里兹法的基函数只要求满足结构的位移边界条件？边界条件？5)伽僚金法与里兹法的主要差别有哪些伽僚金法与里兹法的主要差别有
37、哪些?6)作为势能驻值原理的近似解法，里兹法和伽僚作为势能驻值原理的近似解法，里兹法和伽僚金法算出的结果是否总是近似解？金法算出的结果是否总是近似解？5.板的弯曲理论板的弯曲理论1.1.研究内容及方法研究内容及方法 1.11.1 本章研究船体结构中矩形薄平板的弯曲问题。本章研究船体结构中矩形薄平板的弯曲问题。要求在结定板的尺度、材料、边界条件及外荷重要求在结定板的尺度、材料、边界条件及外荷重时能求出板的应力与变形。所用的方法有微分方时能求出板的应力与变形。所用的方法有微分方程式的积分法、能量法。程式的积分法、能量法。作用于船体平板的荷重有两类，一是垂直于作用于船体平板的荷重有两类，一是垂直于板
38、平面的荷重板平面的荷重(横荷重横荷重)，二是作用于板中面的荷，二是作用于板中面的荷里里(中面荷重中面荷重)。由于薄板的弯曲刚度很小，所以。由于薄板的弯曲刚度很小，所以当板弯曲时因四周支座的约束作用也会产生中面当板弯曲时因四周支座的约束作用也会产生中面拉力，这一特点应予以注意。拉力，这一特点应予以注意。如果板上只受横荷重而无中面荷重或中面如果板上只受横荷重而无中面荷重或中面荷重很小而可以不计，则此种板称为刚性荷重很小而可以不计，则此种板称为刚性板。如果板上有横荷重又有中面荷重板。如果板上有横荷重又有中面荷重(外加外加的或因板弯曲引起的中面拉力的或因板弯曲引起的中面拉力)，则板处于，则板处于复杂弯
39、曲状态，此种板称为柔性板。复杂弯曲状态，此种板称为柔性板。1.2 筒形弯曲是矩形板弯曲的一个特例。筒形弯曲是矩形板弯曲的一个特例。板发生筒形弯曲的条件是：板发生筒形弯曲的条件是：(1)板的边长比板的边长比大于大于2.5；(2)板的的荷重沿长边不变化，此板的的荷重沿长边不变化，此时可在板的中部沿短边取出单位宽度的板时可在板的中部沿短边取出单位宽度的板条梁来研究，因此板的筒形弯曲问题实质条梁来研究，因此板的筒形弯曲问题实质上是梁的弯曲问题。上是梁的弯曲问题。在具体计算时，用板的筒形刚度在具体计算时，用板的筒形刚度D来代替普通梁来代替普通梁的弯曲刚的弯曲刚EI，则梁的弯曲微分方程式及弯曲要素，则梁的
40、弯曲微分方程式及弯曲要素表的结果均可用于筒形弯曲中的板条梁。据此：表的结果均可用于筒形弯曲中的板条梁。据此：(1)对于刚性板的横弯曲，可直接利用梁的弯曲对于刚性板的横弯曲，可直接利用梁的弯曲要素表计算；要素表计算；(2)对于柔性板的复杂弯曲，即板上横荷重及外对于柔性板的复杂弯曲，即板上横荷重及外加中面力，可直接利用梁复杂弯曲的弯曲要素表加中面力，可直接利用梁复杂弯曲的弯曲要素表计算；计算；(3)当板有横荷重并因挠度较大当板有横荷重并因挠度较大()而产而产生有中面拉力，先用附录生有中面拉力，先用附录B中的有关表格，根据中的有关表格，根据参数参数u求出中面力的大小，再用梁复杂弯曲要素求出中面力的大
41、小，再用梁复杂弯曲要素表求解。表求解。tw5.2max 1.3 刚性板的弯曲微分方程式是在直法线假定及不刚性板的弯曲微分方程式是在直法线假定及不计板厚方向挤压力等的假定下导得的。该微分方计板厚方向挤压力等的假定下导得的。该微分方程式的求解可用双三角级数法程式的求解可用双三角级数法(适用于四边自由支适用于四边自由支持的板持的板)或单三角级数法或单三角级数法(适用于一对边自由支持适用于一对边自由支持的板的板)进行。计算中要用到板每一边两个边界条件，进行。计算中要用到板每一边两个边界条件，共共8个条件。在写边界条件时注意全自由边上扭个条件。在写边界条件时注意全自由边上扭矩将化为一等效剪力来处理。矩将
42、化为一等效剪力来处理。1.4 对于结构形式及荷重比较复杂的板，如对于结构形式及荷重比较复杂的板，如非自由非自由支持边界，板上受任意横荷重或板上有加强筋等支持边界，板上受任意横荷重或板上有加强筋等情况，可用能量法情况，可用能量法(里兹法里兹法)来求解来求解。先根据坐标。先根据坐标选取一个满足板边位移条件的基函数，并将板的选取一个满足板边位移条件的基函数，并将板的挠曲面写为：挠曲面写为：再计算结构的应变能再计算结构的应变能V 及力函数及力函数U。矩形板本身。矩形板本身的弯曲应变能计算公式：的弯曲应变能计算公式：如果板上有加强筋，则应计入加强筋的弯曲应如果板上有加强筋，则应计入加强筋的弯曲应变能，如
43、果板有弹性支座或弹性固定端，还应变能，如果板有弹性支座或弹性固定端，还应加上它们的应变能。所有这些应变能都应表达加上它们的应变能。所有这些应变能都应表达为为w的函数。的函数。板的力函数为板上外荷重与相应的同方向的板的力函数为板上外荷重与相应的同方向的位移的乘积之和，注意不同荷重位移的乘积之和，注意不同荷重(集中力、集中集中力、集中弯矩、分布荷重、分布弯矩弯矩、分布荷重、分布弯矩)及其方向，并要能及其方向，并要能正确写出相应于这些荷重的位移表达式。正确写出相应于这些荷重的位移表达式。)()(),(yxAyxwnmmnmnyxyxwywxwDyxywxwDVdd)()21(dd)(22222222
44、2222 组成方程式：组成方程式：解出解出 ，即可求得板的挠曲面函数即可求得板的挠曲面函数 。1.5 船体板中的甲板板、内底板及外底板均可船体板中的甲板板、内底板及外底板均可视为由周刚性固定且受均布荷重的矩形板，因视为由周刚性固定且受均布荷重的矩形板，因此熟悉这种板的应力计算公式是重要的。计算此熟悉这种板的应力计算公式是重要的。计算时要注意板上不同位置处时要注意板上不同位置处(板边或跨中，上表面板边或跨中，上表面或下表面或下表面)的应力方向。的应力方向。船体中的双层底可视为组合板船体中的双层底可视为组合板(结构上的正交结构上的正交异性板异性板)。),3,2,1,3,2,1(,0)(nmAUVm
45、nmnA),(yxw2.主要公式主要公式 2.1 矩形板的筒形弯曲矩形板的筒形弯曲 横弯曲：横弯曲：复杂弯曲：复杂弯曲：大挠度弯曲：大挠度弯曲：2.2 矩形薄板的小挠度弯曲矩形薄板的小挠度弯曲 静力平衡方程：静力平衡方程：)1(12,23 EtDMwDNwDqwDDTlutMtTMwDNwTwDqwTwD2,6,200 210211,d2,EExwltETqwTwDtxyxyyyxxMtzMtzMtzyxqwDywyxwxwD3334442244412,12,12),()2(2.3 里兹法中常用的一些积分公式里兹法中常用的一些积分公式 yxwDMMxwywDMywxwDMyxxyyx22222
46、2222)1(,)(,)(CmxxmmxmxmxxCmxxmmxmxmxxCnmxnmnmxnmxnxmxCnmxnmnmxnmxnxmxCnmxnmnmxnmxnxmxCxxxxCOSCxxxxsin1cos1dcoscos1sin1dsin)(2)cos()(2)cos(dcossin)(2)sin()(2)sin(dcoscos)(2)sin()(2)sin(dsinsin2sin412d,2sin412dsin22223 示例示例：试用里兹法求图示的四边简支刚性板的试用里兹法求图示的四边简支刚性板的挠曲函数。该板厚为挠曲函数。该板厚为t，弯曲刚度为，弯曲刚度为D，在，在x处有一抗弯刚度
47、为处有一抗弯刚度为EI的加强筋，在的加强筋，在A点作用点作用一集中外力矩一集中外力矩m。计算时级数取一项。计算时级数取一项。xOAbamyb解：解：设板的挠曲函数为设板的挠曲函数为：(1)整个板结构的弯曲应变能整个板结构的弯曲应变能V为板本身的弯曲应变能及加为板本身的弯曲应变能及加强筋的弯曲应变能之和。因板四周为刚性支座，故强筋的弯曲应变能之和。因板四周为刚性支座，故 将式将式(1)代入上式积分后可得代入上式积分后可得 加筋的弯曲变形能为加筋的弯曲变形能为(,)sinsinxyw x yBab2222200()d d2abDwwVx yxy 板4222211()8abDVBab板2220424
48、222230()d2()sinsindsin24bxbEIwVyyEIyEIByBbabba筋 故板结构总的变形能为故板结构总的变形能为：板上外力功为：板上外力功为：系统的总势能为：系统的总势能为：=V-W，根据最小势能原理，根据最小势能原理 ，由此，由此得得 于是，可得该板的挠曲函数为：于是，可得该板的挠曲函数为：44222222311()sin84abDEIVBBabbasincosxywWmmBybab/0B 332222224 sincos11()2sinmabBab DEIabba332222224 sincos(,)sinsin11()2sinmxyabw x yabab DEIa
49、bba4.思考题 (1)何谓刚性板，何谓柔性板？(2)刚性板弯曲的基本假定是什么7与梁弯曲时 的基本假定相比有何异同?(3)试述板弯曲问题的受力和变形特征，船体结构计算中哪些问题可化为板的弯曲问题求解?(4).在什么条件下发生板的筒形弯曲，其受力和变形有何特征？板条梁与普通梁有何异同？(5)船体板在筒形弯曲时如受有外加中面力，是否一定要考用中面力对板弯曲要素的影响7如果板边不可趋近是否一定要考虑大挠度弯曲产生的中面力对板弯曲要素的影响？(6)板的边界条件与梁的边界条件写板的边界条件与梁的边界条件写法有何异同？为什么在板的自由边缘法有何异同？为什么在板的自由边缘要导出剪、扭合一的边界条件？要导出
50、剪、扭合一的边界条件？(7)刚性板弯曲的单三角级数解和双刚性板弯曲的单三角级数解和双三角级数解有什么异同？三角级数解有什么异同？(8)船体板的弯曲一般为什么可以视船体板的弯曲一般为什么可以视为四周为刚性固定的刚性板？四周为为四周为刚性固定的刚性板？四周为刚性固定的矩形板可以用什么方法求刚性固定的矩形板可以用什么方法求解？精确性如何？解？精确性如何？6.6.杆及板的稳定性杆及板的稳定性 1.1.主要内容及要点主要内容及要点 1.1 本章讨论船体结构中受压的杆、杆系本章讨论船体结构中受压的杆、杆系(连续连续杆及甲板板架：及矩形平板的稳定性问题。由于杆及甲板板架：及矩形平板的稳定性问题。由于结构失稳
