1、随机过程随机过程第一章第一章 小小 结结条件分布函数（连续型）条件分布函数（连续型）00()()lim()()limXYFx yP XxYyP Xx yYyP Xx yYyP yYy ，|,|ijijjij iiiP Xx YypP YyXxpP Xxp|,|ijijiji jjjP Xx YypP XxYypP Yyp 条件分布律（离散型）条件分布律（离散型）条件概率密度条件概率密度(,)(,)(),()()()X YY XYXf x yf x yfx yfy xfyfx 随机过程随机过程n维随机变量常用结论维随机变量常用结论,nXXX12设设 相互独立，相互独立，iX iiNin 2,1,
2、2,nnc Xc Xc X 1122nnccc 2222221122,nnccc 1122为任意实数。为任意实数。nc cc12,N1212,.nnnX XXnX XX充充要要条条维维随随机机变变量量（）服服从从 维维正正态态分分布布的的是是的的任任意意线线性性组组合合服服从从一一维维正正件件态态分分布布随机过程随机过程数字特征数字特征 条件期望条件期望11()ijjjj iijjipE Y Xxyypp 离散型离散型()()Y XE Y Xxyfy x dy 连续型连续型()()()()YE XE E X YE X Yyfy dy ()()E Y XxE Y 若若X与与Y相互独立，则相互独立
3、，则全期望公式全期望公式()()()(,)()YXXYE Xxfx y dx fy dyxf x y dxdyxfx dx 以连续型为例以连续型为例随机过程随机过程特征函数特征函数定义定义()(),(,).itXXtE et 1 2(),kkXP Xxpk 随随机机离离变变量量：散散型型1()()kitxitXXkktE eep ()Xf x随随机机变变量量：概概率率密密度度函函数数连连续续型型()()()itXitxXtE eefx dx 对一切随机变量，其特征函数都存在！对一切随机变量，其特征函数都存在！0(0)()1iXXE e 随机过程随机过程 常见分布的特征函数常见分布的特征函数1.
4、两点分布两点分布(0-1)(0-1)分布分布)1()itXetpp 2.二项分布二项分布 B(n,p)1()itXntppe 3.泊松分布泊松分布()iteXet 4.均匀分布均匀分布()()()itbitaXieeba tt 5.指数分布指数分布222()Xtittti 6.标准正态分布标准正态分布22()tXte 随机过程随机过程特征函数的基本性质特征函数的基本性质50()()(),()().kkkXntnkni E X 若若随随机机变变量量 的的 阶阶矩矩存存在在，则则它它的的特特征征函函数数可可微微分分 次次，且且对对1 1有有0()()()()kkkE Xi 6()随随机机变变量量的
5、的分分布布函函数数与与其其特特征征函函数数一一一一对对应应.（唯唯一一性性）特征函数特征函数 分布函数分布函数逆逆转转公公式式定定义义1010()(),()(),()().XXXXXttt 2()()Xt 为为(-,+)上上的的连连续续函函数数.3(),()().ibtYXa bYaXbteat 设设为为常常数数，则则的的特特征征函函数数为为4()()()().X YXYXYttt 若若随随机机变变量量 与与 相相互互独独立立，则则随机过程随机过程第二章第二章 小小 结结随机过程随机过程 X(t)，tT ：样本函数、样本曲线样本函数、样本曲线一维分布函数一维分布函数,tT 1(,)(),F x
6、 tP X txtTX(t)是一个随机变量是一个随机变量X(t)的概率密度函数的概率密度函数一维概率密度函数一维概率密度函数(,)1fx t：X(t)的分布律的分布律一维概率分布（一维分布律）：一维概率分布（一维分布律）：()(),1,2,kkP X txp tk二维分布函数二维分布函数21212112212(,)(),(),F x x t tP X tx X txt tT；随机过程随机过程随机过程的数字特征与特征函数随机过程的数字特征与特征函数（1）均值函数）均值函数()()XmtE X t（2）均方值函数）均方值函数22()()XtE Xt（3）方差函数）方差函数2()()()XXDtE
7、X tmt（4）自相关函数）自相关函数1212(,)()()XRt tE X t X t（5）自协方差函数）自协方差函数121122(,)()()()()XXXCt tEX tmtX tmt（6）一维特征函数）一维特征函数()()(,)()ivX tXX tt vvE e随机过程随机过程数字特征之间的关系数字特征之间的关系2()(,)XXtRt t()(,)XXDtCt t(,)(,)()()XXXXCt tRs tms mt12121122(,)()(),XYRt tE X t Y ttT tT121122(,)()()()()XYXYCt tEX tmtY tmt121122(,)0,XY
8、Ct ttTtT 对均成立二维随机过程的数字特征：二维随机过程的数字特征：互相关函数：互相关函数：互协方差函数：互协方差函数：随机过程不相关：随机过程不相关：随机过程随机过程第四章第四章 小小 结结随机质点流随机质点流 强度强度 N(t)0,t)内到达的随机质点个数内到达的随机质点个数n 第第n个随机质点的到达时间个随机质点的到达时间Tn 第第n-1个与第个与第n个质点时间间隔个质点时间间隔N(t),t 0 0泊松过程泊松过程N(0)=0，独立增量，平稳增量，独立增量，平稳增量()(),0Nttt 212112()()(),)0(tN tN tttt 2121()()()N tN tN tt与
9、与同同分分布布，即即2121()()=()=,=0,1,P N tN tkP N ttkk数字特征数字特征自己复习自己复习；一维特征函数一维特征函数1()ivt eNt,e 随机过程随机过程(),nn,埃埃尔尔朗朗分分布布2()=()=nnnnE,D 0Z(),()=00ntnTe,tTft,t 211()=()=nnE T,D T 10()()=()=1ktnnktePtP N tnk!随机过程随机过程复合泊松过程复合泊松过程()1()()N tnY tX n独立增量、平稳增量独立增量、平稳增量(1)()1()()XtY te()()(1)Ym tE Y tt E X2()(1)YD tt
10、E X非齐次泊松过程非齐次泊松过程不一定是不一定是计数过程！计数过程！是计数过程、独立增量过程是计数过程、独立增量过程()(),0)Nm ttt()()()E N tD N tm t221121()()0)()(,N tN tm ttm tt0()()tm ts ds 其其 中中随机过程随机过程第六章第六章 小小 结结11()|(),()()|()nnnnP X tx X txX txP X tx X tx110(1)|(),(1),(1),(0)(1)|()nnnP X nj X niX niXi XiP X nj X ni马尔可夫过程马尔可夫过程 独立过程独立过程和具有常数初值的和具有常数
11、初值的独立增量过程独立增量过程是是马氏过程（马氏过程（二项过程、泊松过程、非齐次泊松过二项过程、泊松过程、非齐次泊松过程、复合泊松过程、维纳过程程、复合泊松过程、维纳过程均是马氏过程！）均是马氏过程！）马尔可夫链马尔可夫链马氏性马氏性马氏性马氏性(1)|()(),0,1,2,ijP X kj X kipkk一步转移概率一步转移概率随机过程随机过程齐次马尔可夫链齐次马尔可夫链(1)|(),与与 无无关关ijP X kj X kipk一步转移概率一步转移概率一步转移概率矩阵一步转移概率矩阵行和行和为为1()|()()ijP X mnj X mipmn步转移概率步转移概率C-K方程：方程：()()(
12、)()=()(),1nmn mPrPrPrmmn 矩阵形式矩阵形式()()()=,1nmnmPPPmn 对齐次马氏链：对齐次马氏链：()()(),n mnmijikkjk Epppi jE随机过程随机过程初始分布初始分布绝对分布绝对分布12(0)(0),(0),(0),iPppp12()(),(),(),iP np n p np nX(0)的分布的分布X(n)的分布的分布()()(0)(0),njiiji Ep nppjE()()(0)(0)nP nPP计算式：计算式：有限维分布（齐次马氏链）有限维分布（齐次马氏链）011(0),(1),(),(1)nnP Xi XiX ni X ni00 1
13、1 21(0)n nii ii ii ipppp010nkkk一一般般，对对 0011(),(),()nnP X ki X kiX ki1012100 11 21()()()0()nnnnkkkkkkii ii iiipkppp)1()(11)()nP nPP随机过程随机过程 齐次马氏链的遍历性齐次马氏链的遍历性齐次马氏链的平稳分布齐次马氏链的平稳分布P是是 行行 向向 量量，平稳方程平稳方程00(m)ijm,i,jE,p,若若存存在在满满足足对对则则遍遍历历；若不满足遍历性定义，则非遍历！若不满足遍历性定义，则非遍历！齐次马氏链即使不具有遍历性，也可能存在齐次马氏链即使不具有遍历性，也可能存
14、在平稳分布；且平稳分布可能不唯一！满足平稳分布；且平稳分布可能不唯一！满足定理定理条件条件时，平稳分布即为极限分布。时，平稳分布即为极限分布。随机过程随机过程第三章第三章 小小 结结均方极限定义与验证均方极限定义与验证2lim|0nnE XXl.i.mnnXX（1 1）若）若 ，则，则 ；l.i.mnnXXlim()()nnE XE X（2 2）若）若 ，则，则 ；l.i.mmmXXlim()()mnmnE X YE XYl.i.mnnYY（3 3）若）若 ，则对任意常数，则对任意常数 和和 ，有，有 ；l.i.mnnXXl.i.mnnnaXbYaXbYl.i.mnnYYab（4 4）若数列）
15、若数列 满足满足 ，是随机变量，是随机变量，则则 ；lim0nnaXl.i.m0nna X na均方极限性质均方极限性质 除具有除具有唯一性唯一性外，还具有外，还具有随机过程随机过程均方连续、均方导数、均方积分概念均方连续、均方导数、均方积分概念()()()()XXdmtE X tE X tmtdt2(,)()()(,)XXRs tE X s X tRs ts t()()bbaaEX t dtEX t dt()()()()aX tbY taX tbY t均方导数、均方积分的简单性质均方导数、均方积分的简单性质随机过程随机过程1919(,)()()(,)X XXRs tE X s X tRs t
16、s(,)()()(,)XXXRs tE X s X tRs tt2(,)()()(,)XXRs tE X s X tRs ts t 均方导数与自（互）相关函数关系均方导数与自（互）相关函数关系随机过程随机过程第五章第五章 小小 结结严平稳过程严平稳过程定义定义及及数字特征特点数字特征特点 设设 为复（或实）随机过程，若满足为复（或实）随机过程，若满足 （1 1）（2 2）（3 3）(),X ttT2|()|EX t()()XmtE X t 常数121221(,)()()()XXRt tE X tX tRtt宽平稳过程宽平稳过程定义定义与与验证验证则称该过程为则称该过程为宽平稳过程。宽平稳过程。
17、严平稳性即是指，任意严平稳性即是指，任意n n维随机向量维随机向量 与与 同分布。同分布。12(),(),()nXt XtXt12(),(),()nX tX tX t随机过程随机过程 严平稳过程严平稳过程不一定是不一定是宽平稳过程；反之，宽平稳过程；反之，宽平稳过程宽平稳过程也不一定是也不一定是严平稳过程；严平稳过程；宽平稳宽平稳正态正态过程是严平稳过程。过程是严平稳过程。()()(),XYE X t Y tRt tT 联合平稳过程（平稳相关）联合平稳过程（平稳相关）严平稳过程与宽平稳过程严平稳过程与宽平稳过程关系关系随机过程随机过程均值具有遍历性均值具有遍历性自相关函数具有遍历性自相关函数具有遍历性遍历性的验证遍历性的验证()1XPX tm()()()1XPX t X tR遍历性定理遍历性定理 了解即可！了解即可！1()l.i.m()2TTTX tX t dtT1()()l.i.m()()2TTTX t X tX t X tdtT时平均时平均时相关函数时相关函数
