1、第一章第一章 函数与极限函数与极限 1.预备知识：预备知识：集合的概念，运算，区间，邻域集合的概念，运算，区间，邻域 2.函数的概念：函数的概念：函数的定义和运算，求函数的定义域和表达式等函数的定义和运算，求函数的定义域和表达式等3.函数的特性：函数的特性：有界性，单调性，奇偶性，周期性有界性，单调性，奇偶性，周期性 第二节第二节 初等函数初等函数第一节第一节 函数函数1.反函数反函数2.复合函数复合函数3.基本初等函数基本初等函数幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数 第三节第三节 数列的极限数列的极限1.数列极限的概念数列极限的概念
2、axnn lim,0,0 N 当当Nn 时，时，.|axn2.N 定义论证方法：定义论证方法：常用分析法倒推常用分析法倒推使当使当Nn 时，总有时，总有.|axn从从|axn出发，将不等式左端变形若干出发，将不等式左端变形若干步后再令其步后再令其,解出解出),(n),(N取取3.数列极限的主要性质数列极限的主要性质有界性，唯一性，保号性，子数列的收敛性有界性，唯一性，保号性，子数列的收敛性.2.)(X 定义论证方法定义论证方法对对,0 找找（或（或,0)X使当使当|00 xx（或（或)|Xx 时，时，总有总有.|)(|Axf第四节第四节 函数的极限函数的极限1.函数极限的概念函数极限的概念Ax
3、f)(lim ,0 时刻，从该时刻时刻，从该时刻以后，恒有以后，恒有|)(|Axf3.函数极限的主要性质函数极限的主要性质函数极限的唯一性，局部有界性，局部保号性函数极限的唯一性，局部有界性，局部保号性.2.无穷大及其基本性质无穷大及其基本性质3.几点注意几点注意（1）无穷小）无穷小(大大)是变量，零是唯一的无穷小的数；是变量，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和）无穷多个无穷小的代数和(乘积乘积)未必是无穷小；未必是无穷小；（3）无界变量未必是无穷大）无界变量未必是无穷大.第五节第五节 无穷大与无穷小无穷大与无穷小1.无穷小及其基本性质无穷小及其基本性质绝对值无限增大的变量称为
4、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.即即 )(lim0 xfxx极限为零的变量极限为零的变量(函数函数)称为无穷小称为无穷小.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:Axfxx)(lim0).0)(lim()()(0 xxAxfxx 2.复合函数的极限复合函数的极限设设axxx)(lim0 且且),()(00 xUxaxu 又又，Aufau)(lim则则.)(lim)(lim0Aufxfauxx 3.极限求法小结极限求法小结a.多项式与分式函数代入法求极限；多项式与分式函数代入法求极限；b.消去零因子法求极限；消去零因子法求极限；c.无穷小因子分出法求极限；无穷小因子分出法求极限；d.
5、利用无穷小运算性质求极限；利用无穷小运算性质求极限；e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.第六节第六节 极限运算法则极限运算法则1.极限的四则运算法则极限的四则运算法则lim(),lim(),f xAg xBlim()()fxgxAB3.两个重要极限两个重要极限;1sinlim)1(0 xxx.11lim)2(exxx 1.夹逼准则夹逼准则2.单调有界准则单调有界准则第七节第七节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限单调有界数列必有极限，即单调增加有上界或单调有界数列必有极限，即单调增加有上界或单调减少有下界的数列必有极限单调减少有下界的数列必有极限 如果数列
6、如果数列nnyx,及及nz满足下列条件满足下列条件:);,3,2,1()1(nzxynnn.lim,lim)2(azaynnnn 第八节第八节 无穷小的比较无穷小的比较2.主要性质主要性质)1();(o )2(,lim,存在存在.limlim 3.常用等价无穷小常用等价无穷小xsinxxxtanxarcsinxxarctanxxcos1 221x)1ln(x x1)1(xx 0(且为常数且为常数)1 xex1 xa).0(ln aax1.无穷小的比较的概念无穷小的比较的概念lim0,C,1,称称 是比是比高阶高阶/低阶低阶/同阶同阶/等价的无穷小等价的无穷小第九节第九节 函数的连续性函数的连续
7、性1.连续的概念连续的概念(1)()(lim00 xfxfxx,0,0 使当使当|0 xx时，时，恒有恒有.|)()(|0 xfxf(2)左右连续：左右连续：).()0(),()0(000 xfxfxfxf (3)闭区间闭区间I上的连续函数：上的连续函数：I的每一的每一指该函数在指该函数在个内点连续且在左端点右连续，在右端点左连续个内点连续且在左端点右连续，在右端点左连续.2.函数的间断点：函数的间断点：使函数不连续的点使函数不连续的点.间断点间断点 第一类间断点：可去型，跳跃型第一类间断点：可去型，跳跃型第二类间断点：无穷型，振荡型第二类间断点：无穷型，振荡型1.连续函数的四则运算连续函数的
8、四则运算2.反函数与复合函数的连续性反函数与复合函数的连续性3.初等函数的连续性初等函数的连续性4.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第十节第十节 连续函数的运算与性质连续函数的运算与性质有界性定理有界性定理 最大最小值定理最大最小值定理 零点定理零点定理 介值定理介值定理5.证明方程有根的解题思路证明方程有根的解题思路(1)直接法直接法:先利用最大最小值定理，再利用介值定理先利用最大最小值定理，再利用介值定理;(2)辅助函数法辅助函数法:先作辅助函数先作辅助函数),(xF再利用零点定理再利用零点定理.第一节第一节 导数的概念导数的概念1.导数概念导数概念2.导数的几何意义与物理意义
9、导数的几何意义与物理意义3.可导与连续的关系可导与连续的关系4.判断可导性判断可导性 不连续，一定不可导不连续，一定不可导连续连续 直接用定义直接用定义看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等第二章第二章 导数与微分导数与微分xyxfdxdyxxx 00lim)(0.)()(lim000 xxfxxfx axf )(0.)()(00axfxf 2.设设 可导可导,则则)(),(xvvxuu uccu )(2(C是常数是常数),)(3(vuvuuv ).0()(4(2 vvvuvuvu3.1(,)(vuvu 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则反函数的求导法则反函
10、数的求导法则)(1)(1yfxf 或或dydxdxdy1 4.复合函数的求导法则复合函数的求导法则设设),(ufy ),(xgu 而而)(xgfy 则则 的导数的导数为为dxdududydxdy 或或)()()(xgufxy 第二节第二节 函数的求导法则函数的求导法则1.基本求导公式基本求导公式第三节第三节 高阶导数高阶导数1.高阶导数的概念高阶导数的概念xxfxxfxfyx )()(lim)(02.高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则;)()1()()()(nnnvuvu ;)()2()()(nnCuCu)()(0)().()3(kknnkknnvuCvu 莱布尼茨公式莱布尼茨公式3.计算高
11、阶导数的方法计算高阶导数的方法(1)直接法；直接法；(2)间接法间接法.第四节第四节 隐函数的导数隐函数的导数1.隐函数的导数隐函数的导数直接在方程直接在方程0),(yxF两边对两边对x求导再解出求导再解出,y 应注意应注意F对变元对变元y求导时，求导时，要利用复合求导法则要利用复合求导法则2.对数求导法对数求导法当函数式较复杂当函数式较复杂(含乘除、乘方开方、幂指函数含乘除、乘方开方、幂指函数)时，时，在方程两边取对数，按隐函数的求导法则求导在方程两边取对数，按隐函数的求导法则求导.3.参数方程确定的函数的导数参数方程确定的函数的导数设设,)()(tytx 则则;)()(ttdtdxdtdy
12、dxdy dxdtttdtddxdydxddxyd )()(22 .)()()()()(3ttttt 第五节第五节 函数的微分函数的微分微分学所要解微分学所要解决的两类问题决的两类问题函数的变化率问题函数的变化率问题函函 数的增数的增 量量 问问 题题导数的概念导数的概念微分的概念微分的概念1.微分的概念微分的概念若若),()()(00 xoxAxfxxfy 其中其中A是与是与x 无关的常数，无关的常数，则称则称)(xf在点在点0 x处可微处可微,它是它是y 的线性主部的线性主部.)(xodyy 或或dyy xAdy 为为)(xf在点在点x处微分处微分,2.可导与可微的关系可导与可微的关系可导
13、可导可微可微.3.微分形式不变性微分形式不变性.)()(dxxfduufdy 第三章第三章 中值定理和导数的应用中值定理和导数的应用第一节第一节 中值定理中值定理名称名称条件条件结论结论罗尔罗尔定理定理拉格拉格朗日朗日定理定理柯西柯西定理定理)(xf在在,ba上连续上连续(1)(xf在在),(ba(2)内可导内可导(3)()(bfaf)(xf在在,ba上连续上连续(1)(xf在在),(ba(2)内可导内可导)()(xFxf、在在,ba上连续上连续(1)()(xFxf、在在),(ba(2)内可导内可导0)()3(xF),(ba 使得使得0)(f),(ba 使得使得abafbff )()()(),
14、(ba 使得使得)()()()()()(FfbFaFbfaf 第二节第二节 洛必达法则洛必达法则1.未定式未定式 型型 00,1,0 型型.0型型gfy 取对数取对数00型型型型 fgfggf1.111 gfgf1.2.洛必达法则洛必达法则则则.)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax ()()fxF x为未定式，为未定式，第三节第三节 函数的单调性和凹凸性函数的单调性和凹凸性1.单调性判别法单调性判别法设函数设函数)(xfy 在在,ba上连续，上连续，在在),(ba可导可导),(,0)()1(baxxf )(xf在在,ba上单调增上单调增;),(,0)()2(baxxf )(xf
15、在在,ba上单调减上单调减2.单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用3.曲线凹凸性与拐点的概念和判别法曲线凹凸性与拐点的概念和判别法连续曲线上凸弧与凹弧的分界点称为该曲线的拐点连续曲线上凸弧与凹弧的分界点称为该曲线的拐点.,0)()1(xf则则)(xf在在,ba上的图形是凹的；上的图形是凹的；,0)()2(xf则则)(xf在在,ba上的图形是凸的上的图形是凸的.第四节第四节 函数的极值和最值函数的极值和最值1.函数极值的概念函数极值的概念2.函数极值的判别法函数极值的判别法3.极值与最值极值与最值4.求最值的一般步骤求最值的一般步骤(1)求驻点和不可导
16、点；求驻点和不可导点；(2)求区间端点及驻点和不可导点的函数值；求区间端点及驻点和不可导点的函数值；(3)比较上述函数值，取大比较上述函数值，取大(小小)者即为最大者即为最大(小小)值值.极值是局部性概念，最值是整体性概念极值是局部性概念，最值是整体性概念第一充分条件第一充分条件第二充分条件第二充分条件可导函数可导函数)(xf在在0 x取得极值的必要条件取得极值的必要条件:.0)(0 xf使函数的导数为零的点称为函数的使函数的导数为零的点称为函数的驻点驻点.驻点和不可驻点和不可导点统称为导点统称为临界点临界点，函数的极值必在临界点取得，函数的极值必在临界点取得.第四章第四章 不定积分不定积分1
17、.原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念2.不定积分的主要性质不定积分的主要性质)()1(xf的任意两个原函数之间仅相差一个常数的任意两个原函数之间仅相差一个常数.（2）dxxfdxxfd)()(，CxFxdF )()(微分运算与积分运算是互逆的微分运算与积分运算是互逆的.第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 .)()(CxFdxxf(3)()()()().kf xlg x dxkf x dxl g x dx3.直接积分法直接积分法第二节第二节 换元积分法换元积分法1.第一类换元法第一类换元法（凑微分法凑微分法）.)(|)()()()(CuFduufdxxxfxu 2.
18、常见凑微分公式常见凑微分公式(1);(1baxdadx (2);(111 nnxdndxx(3);(21xddxx(4);1(12xddxx (5);(ln1xddxx(6);(xxeddxe(7).(sincosxdxdx 3.第二类换元法第二类换元法（代换法：代换法：三角代换，倒代换三角代换，倒代换）dtttfdxxf)()()(CxFCtF )()(第三节第三节 分部积分法分部积分法1.分部积分公式分部积分公式 vduuvudv2.应用要点应用要点:积分容易者选为积分容易者选为,dv求导简单者求导简单者选为选为.u3.分部积分公式应用小结分部积分公式应用小结(1)若被积函数是幂函数若被积
19、函数是幂函数(指数为正整数指数为正整数)和正和正(余余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积，可设幂函数为或幂函数和指数函数的乘积，可设幂函数为 使其降幂一次使其降幂一次;(2)若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和三角函数若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和三角函数的乘积，可设对数函数或三角函数为的乘积，可设对数函数或三角函数为(3)若被积函数是幂函数与反三角函数的乘积，可设反三角若被积函数是幂函数与反三角函数的乘积，可设反三角函数为函数为;u(4)若被积函数是指数函数与正若被积函数是指数函数与正(余余)弦函数的乘积，弦函数的乘积，;udvu、可任意选取，但在两次分部积分中，必须选用同类型
20、的可任意选取，但在两次分部积分中，必须选用同类型的.u,u第五章第五章 定积分定积分1.定积分的定义定积分的定义定积分是特殊和式的极限定积分是特殊和式的极限 niiibaxfdxxf10)(lim)(分割、求和、取极限分割、求和、取极限定积分的值完全由被积函数和积分区间确定，而与定积分的值完全由被积函数和积分区间确定，而与积分变量的记法无关，积分变量的记法无关，第一节第一节 定积分的概念定积分的概念duufdttfdxxfbababa )()()(2.定积分的可积性定积分的可积性(1)有限区间上的连续函数一定可积；有限区间上的连续函数一定可积；(2)有限区间上有界且只有有限个间断点的函数也可积
21、有限区间上有界且只有有限个间断点的函数也可积.第二节第二节 定积分的性质定积分的性质1.规定规定:.)()()2(;0)()1(aabaabdxxfdxxfxf2.线性线性:bababadxxgndxxfmdxxngxmf)()()()(3.可加性可加性:.)()()(bccabadxxfdxxfdxxf babaabdxdx.1.45.广义保号性广义保号性:0)(xf babadxxf).(0)(6.不等式不等式:)()(xgxf bababadxxgdxxf).()()(7.绝对值不等式绝对值不等式:.|)(|)(|babadxxfdxxf8.估值不等式估值不等式:.)()()(baabM
22、dxxfabm9.定积分中值定理定积分中值定理:).()()(baabfdxxfba 第三节第三节 微积分基本公式微积分基本公式1.积分上限函数及其导数积分上限函数及其导数(1)积分上限函数积分上限函数 xadttfx;)()(2)积分上限函数的导数积分上限函数的导数).()(xfx 2.牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式若若)(xF是是)(xf在在,ba上的一个原函数，上的一个原函数，即即),()(xfxF 则则.)()()()(babaxFaFbFdxxf 微积分基本公式微积分基本公式0)(Cxxcos)(sin xx2sec)(tan xxxtansec)(sec aaaxxln)(axx
23、aln1)(log 1)(xxxxsin)(cos xx2csc)(cot xxxcotcsc)(csc xxee )(xx1)(ln 211)(arcsinxx 211)(arccosxx 211)(arctanxx 211)cot(xxarc 基本求导公式基本求导公式基本积分表基本积分表(1)(3)(6)(2)(5)Ckxkdx k(是常数是常数)Cxdxx 11 )1(Cxxdx|lnCxdxx arcsin112Cxxdx sincos(4)Cxdxx arctan112(7)Cxxdx cossin基本积分表基本积分表(7)Cxxdx cossin(9)(10)(11)(12)(13
24、)Cxxdxxdx cotcscsin22Cxx tansec2Cxxdx cotcsc2Cedxexx .lnCaadxaxx (8)Cxxdxxdx tanseccos22基本积分表基本积分表 Cxxdx|cos|lntan Cxxdx|sin|lncot Cxxxdx|tansec|lnsec Cxxxdx|cotcsc|lncsc Caxadxxaarctan1122(14)(15)(16)(17)(18)(19)Caxaxadxaxln21122(20)Caxdxxaarcsin122基本积分表基本积分表(21)Caxaxadxaxln21122(22)Caxdxxaarcsin122(23).ln12222 Caxxdxax
