1、旋转的模型及例题(一)夹半角模型已知:正方形ABCD中,EAF=45,求证:(1)BE+DF=EF;(2)EFC周长等于2倍边长;方法:将ADF绕A点顺时针旋转90,使得AD与AB重合,然后证AEFAEG;证得BE+DF=EF例题:已知BAC=45BD=4,CD=6,求ABC的面积?解析:将ABD和ADC分别关于AB、AC对称,构造夹半角模型例题:如图1 ,正方形中,分别是边上的两点,且,连结,请写出之间的熟练关系并证明;如图2,中,为上两点,且,请写出线段之间的数量关系,并证明;(3) 如图3,在(1)中,若点在延长线上,在延长线上,其他条件不变,(1)中的结论变化吗?(4) 如图4,在(2
2、)中若点在的延长线上,其它条件不变,(2)中的结论还成立吗?请证明你的结论;解析:都是通过旋转得来!推广:一般的夹半角模型条件:ABC是等边三角形,BD=CD,BDC=120MDN=60结论:BM+CN=MN AMN的周长=2倍边长条件:AB=AD,B+D=180,2MAN=BAD结论:BM+DN=MN例题:边长为的等边的两边上分别有两点,点为平面内一点,当点在线段上运动时,探索的周长与边长的关系 如图1,当点在外时,的周长是否发生变化?请证明你的结论 如图2,当点在内时,中的结论是否成立?若成立,请求出此时的周长;若不成立,请说明理由 如图3,是满足的任意三角形,其中是 与平分线的交点,分别
3、在上,且当点在线段上运动时,猜想的周长是否发生变化?若不变,请直接写出的周长(用表示,不需要化简);若变化,请说明理由(二)手拉手模型等边三角形结论:(1) BCEACD,BCMCAN,MCENCD (2)AD=BE,AFB=60 (3)MCN为等边三角形 (4)MNBD (5)CF为BFD的角平分线 (6)FC+FE=FD 结论:(1) BCEACD (2) AD=BE,AFB=60 (3) CF为BFD的角平分线正方形中的旋转结论:(1) BGCDEC (2) BG=DE,BGDE结论:(1) BGCDEC (2) BG=DE,BGDE 例题:如图,已知四边形ABCD中,AD=CD,ABC=75,ADC=60,AB=2,BC= (1) 以线段BD、AB、BC作为三角形的三边,则这个三角形为_三角形,(锐角、直角、钝角)求BD边所对的角的度数。(2) 求四边形ABCD的面积.已知:,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当APB=45时,求AB及PD的长;(2)当APB变化,且其它条件不变时,求PD 的 最大值,及相应APB的大小.