1、 人教版数学九年级上册例说旋转考点的解题策略 在近几年的中考中,旋转变换一直是这个舞台上的年轻的老主角,不同的旋转主体,带来奇趣的结论,带来了不同求解思路,折射出精彩的数学智慧,展示出深厚的数学功底,积累起富有成效的解题方法,当再次面对旋转题,能做到胸有成竹、有的放矢.现结合2017年各地中考试题进行说明与剖析,希望能给教师和学生的解题带来一定的启示与帮助. 一、旋转点例1 (2017年孝感)如图1,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,),以原点O为中心,将点A顺时针旋转150得到点A,则点A的坐标为 ()。(A)(0,2)(B)(1,) (C)(2,0)(D)(,1)图 1解析:如图1,连
2、接OA,作ABy轴,垂足为B,则AB=1,OB=,则OA=2,AOB=30,则O=2, 作Dx轴,垂足为D,则OD=30,所以D =1,OB=,所以点A的坐标为(,1),故选D点评 构造一条有动点与原点构成的线段,把点的旋转转化为线段的旋转,借助坐标的意义,求得线段的长,线段与坐标轴的夹角,为旋转后解题奠定基础,其次,在坐标系中解题时,要熟练掌控点的坐标与对应线段之间的转化关系,这也是解题的关键点之一.二、旋转线例2 (2017年株洲)如图2示直线y=x+与x轴、y轴分别交于点A、B,当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时,点B运动的路径的长度为 图 2解析:如图2,则0A=1,OB
3、=,则AB=2,BAO=60,点B运动的路径是以点A为圆心,以2为半径,圆心角为60的扇形的弧长,所以长为:=.故应该填点评 清楚点B的运动路径是解题第一要素,其次,确定弧在圆的半径,圆心角是解题的关键.例3 (2017年连云港)如图3,在平面直角坐标系xoy中,过点A(-2,0)的直线交y轴正半轴于点B,将直线AB绕着点O顺时针旋转90后,分别与x轴y轴交于点D、C.(1)若OB=4,求直线AB的函数关系式;(2)连接BD,若ABD的面积是5,求点B的运动路径长.图 3解析:(1)略;(2)设点B的坐标为(0,m)(m0),则0B=OD=m,AD=m+2,所以=5,解得m=-1, m=-1(
4、舍去),点B运动的路径是以点O为圆心,以-1为半径,圆心角为90的扇形的弧长,所以长为:=,所以点B的运动路径长点评 确定点B运动路径是解题的核心,抓住旋转的实质,确定弧在圆的半径,圆心角是解题的基础工程,要熟练操作和计算.三、旋转角例4 (2017年襄阳)如图4,在ABC中,ACB=90,CD是中线,AC=BC.一个以点D为顶点的45角绕点D旋转,使角的两边分别与AC,BC的延长线相交,交点分别为点E,F,DF与AC交于点M,DE与BC交于点N.(1)如图4,若CE=CF,求证:DE=DF;(2)如图4,在EDF绕点D旋转的过程中:探究三条线段AB,CE,CF之间的数量关系,并说明理由;若C
5、E=4,CF=2,求DN的长. 图 4 解析:(1)略;(2)解:因为DCF=DCE=135,所以CDF+F=180135=45,因为CDF+CDE=45,所以F=CDE,所以CDFCED,所以,即=CECF,因为ACB=90,AC=BC,AD=BD,所以CD=AB,所以=4CECF;如图4,过D作DGBC于G,则DGN=ECN=90,CG=DG,当CE=4,CF=2时,由=CECF,得CD=2,所以在RtDCG中,CG=DG=CDsinDCG=2sin45=2,因为ECN=DGN,ENC=DNG,所以CENGDN,所以=2,所以GN=CG=,所以DN=.点评 这里旋转的主要作用有两个,一个是
6、保持定角;二是提供变化的图形,生成能探索新结论的图形空间.四、旋转直角三角形例5 (2017年毕节)如图5,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,且EAF=45将ABE绕点A顺时针旋转90,使点E落在点E处,则下列判断不正确的是( )(A) AEE等腰直角三角形 (B) AF垂直平分EE(C) EECAFD (D) AEF是等腰三角形图 5解析:因为将ABE绕点A顺时针旋转90,使点E落在点E处,所以AE=AE,EAE=90,所以AEE是等腰直角三角形,故A正确;因为将ABE绕点A顺时针旋转90,使点E落在点E处,所以EAD=BAE,因为BAE+DAF=45,EAD+FAD=45,所
7、以EAF=EAF,因为AE=AE,所以AF垂直平分EE,故B正确;因为AFEE,ADF=90,所以FEE+AFD=AFD+DAF,所以FEE=DAF,所以EECAFD,故C正确;因为ADEF,但EAD不一定等于DAE,所以AEF不一定是等腰三角形,故D错误;故选D点评 紧紧抓住旋转的本质,旋转前后两个图形是全等形;牢牢把握旋转角的确定方法,准确确定旋转角,为进一步判断结论的真伪提供知识的支撑.五、旋转一般三角形例6(2017年淮安)【操作发现】如图6,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,ABC的三个顶点均在格点上(1)请按要求画图:将ABC绕点A按顺时针方向旋转90,点B的对应点为B,
8、点C的对应点为C,连接BB;(2)在图6-1所画图形中,ABB= 【问题解决】如图6-2,在等边三角形ABC中,AC=7,点P在ABC内,且APC=90,BPC=120,求APC的面积小明同学通过观察、分析、思考,对上述问题形成了如下想法:想法一:将APC绕点A按顺时针方向旋转60,得到APB,连接PP,寻找PA,PB,PC三条线段之间的数量关系;想法二:将APB绕点A按逆时针方向旋转60,得到APC,连接PP,寻找PA,PB,PC三条线段之间的数量关系请参考小明同学的想法,完成该问题的解答过程(一种方法即可)【灵活运用】如图6-3,在四边形ABCD中,AEBC,垂足为E,BAE=ADC,BE
9、=CE=2,CD=5,AD=kAB(k为常数),求BD的长(用含k的式子表示)图 6解析:【操作发现】(1)如图7所示,ABC即为所求; 图 7(2)连接BB,将ABC绕点A按顺时针方向旋转90,所以AB=AB,BAB=90,所以ABB=45,故答案为:45;【问题解决】如图8,图 8将APB绕点A按逆时针方向旋转60,得到APC,所以APP是等边三角形,APC=APB=360-90-120=150,所以AP=PP,APP=AP P=60,所以PP=PC,即AP=PC,因为,即,所以PC=2,所以AP=,所以=APPC=7;【灵活运用】如图9,因为AEBC,BE=EC,所以AB=AC,将ABD
10、绕点A逆时针旋转得到ACG,连接DG则BD=CG,因为BAD=CAG,所以BAC=DAG,因为AB=AC,AD=AG,所以ABC=ACB=ADG=AGD,所以ABCADG,DG=kBC=4k,因为GDC=90,所以CG=,所以BD=CG=图 9点评 通过作图,感悟旋转的真谛,通过问题解决,探寻旋转问题解决的有效方法,通过灵活运用,使得所学能学以致用,并在原有的基础上提升解决问题的能力,培养自主学习的能力,分析问题,解决问题的能力,确实提高自身的数学素养.六、旋转正方形例7(2017四川省南充市)如图10,正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b,正方形CEFG绕点C旋转,给出下列结论:BE=DG;BEDG;,其中正确结论是 (填序号)图 10解析:设BE,DG交于O,则BCE+DCE=ECG+DCE=90+DCE,即BCE=DCG,在BCE和DCG中,,所以BCEDCG(SAS),所以BE=DG,1=2,所以BOC=90,所以BEDG;故正确;连接BD,EG,如图10所示,所以,则,故正确故答案为:点评 旋转变化为新结论的生成提供发展的空间,有了这个问题空间,充分发挥已有的全等知识,互余知识,垂直知识,勾股定理知识,结合正方形的性质,这顿知识大宴就成功做成,并成功吸收,成功消.