1、角的知识梳理一、角与角的度量1.角的定义:角是由两条有公共端点的射线所组成的图形,这个公共端点叫做这个角的顶点.角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.起始位置的射线叫做角的始边,终止位置的射线叫做角的终边. 2.角的表示:角用符号“”表示,读做“角”,通常有以下几种表示角的方法.表示方法图示记法适用范围用三个大写字母表示AOB或BOA任何情况都适用,表示顶点的字母写在中间用一个大写字母表示O以某一点为顶点的角只有一个时,可以用顶点表示角用阿拉伯数字表示1任何情况都适用用希腊字母表示任何情况都适用【注】当一个顶点处的角有两个或两个以上时,其中任意一个角都不能只用一个大写字母表示.用
2、三个大写字母表示角时,顶点字母必须写在中间.3.角的度量及换算(1)当角的终边旋转到和始边成一条直线时,所成的角叫做平角;旋转到终边和始边再次重合时,所成的角叫做周角. (2)把一个周角(即它的旋转量)分为360等份,每一等份叫做1度,记做1在测量角时,有时以度为单位精度还不够,我们需要用比1更小的单位,称之为分和秒.把1的角分成60份,每一份就是1分,记做1;而把1的角再等分成60份,每一份就是1秒,记做1.我们常用量角器度量角,度、分、秒是常用的角的度量单位.【注】角的度、分、秒是60进制的,1=60=3600.4.角的大小比较(1)比较方法:度量法,叠合法.(2)角的分类5.角的计算(1
3、)在角度的和、差运算中应先统一单位,都化成度或分、秒表示,然后同单位相加减;(2)在进行乘法运算时,往往先把度、分、秒分别乘以倍数,将结果满60进1,满60进1;(3)对于除法运算则是从度开始除,将余数化为分(即余数乘以60)和以前的分数相加再除,将余数再化成秒和以前的秒数相加再除,若除不尽往往四舍五入【注】加法和乘法运算可能进位,减法和除法运算可能借位.二、角的和差(一)角的和差一般地,如果一个角的度数是另两个角的度数的和,那么这个角就叫做另两个角的和;如果一个角的度数是另两个角的度数的差,那么这个角就叫做另两个角的差.两个角的和或差仍是一个角.(二)余角和补角1.定义(1)余角:一般地,如
4、果两个角的和等于一个直角,就说这两个角互为余角,简称互余,也说其中一个角是另一个角的余角(2)补角:类似地,如果两个角的和等于一个平角,就说这两个角互为补角,简称互补,也说其中一个角是另一个角的补角2.性质:同角(或等角)的余角相等,同角(或等角)的补角相等【注】钝角没有余角; 互余、互补只与角的度数有关,与位置无关; 互余、互补是两个角之间的关系,例如:若1+2+3=90,不能说这三个互余; 一般地,锐角的余角可以表示为(90-),一个角的补角可以表示为(180-) 显然一个锐角的补角比它的余角大90(三)角平分线以一个角的顶点为端点的一条射线,如果把这个角分成两个相等的角,那么这条射线叫做
5、这个角的平分线如图所示,OC是AOB的角平分线,AOB2AOC2BOC,AOCBOC =AOB三、方位角和钟表问题1.方位角在航行和测绘等工作中,经常要用到表示方向的角例如,图中射线OA的方向是北偏东60;射线OB的方向是南偏西30这里的“北偏东60”和“南偏西30”表示方向的角,就叫做方位角【注】(1)正东,正西,正南,正北4个方向不需要用角度来表示(2)方位角必须以正北和正南方向作为“基准”,“北偏东60”一般不说成“东偏北30” (3)在同一问题中观察点可能不止一个,在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”,确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向2.钟表问题钟表中共有12个大格,把周角12等分、每个大格对应30的角,分针1分钟转6,时针每小时转30,时针1分钟转0.5,利用这些关系,可帮助我们解决钟表中角度的计算问题