（精品）新浙教版七年级上册《数学》章节复习 知识梳理+巩固练习（含解析）(全册打包).rar

有理数知识梳理一、正数与负数1.如+3、+1.5、+584 等大于 0 的数，叫做正数；如3、1.5、584 等小于0 的数，叫做负数【注】一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略.带“+”号的数不一定是正数，带“-”的数不一定是负数，如 a0 时，+a 表示一个负数，而-a 表示一个正数0 既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线2.相反意义的量（1）定义：我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的，就产生了正数和负数.（2）具有相反意义的量的特点：具有相反意义的量是成对出现的，单独一个量不能成为具有相反意义的量；与一个量意义相反的量不止一个；具有相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义相反，二是它们都具有数量；具有相反意义的量必须是同类量，如节约 1 吨水和浪费 3 吨油不是具有相反意义的量.二、有理数的分类 1.定义：整数和分数统称为有理数.2.分类（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与 0 的关系分类：12【注】有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为 1 的数.分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数在对有理数进行分类时，要做到不重不漏.三、数轴1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.【注】原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；数轴是一条可以向两端无限延长的直线；原点的位置、单位长度、正方向都是根据实际需要规定的；一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.2.数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如.四、相反数1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0 的相反数是 0.2.性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.（2）数 a 的相反数是-a，互为相反数的两数和为 0.五、绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作|a|.2.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0即对于任何有理数 a 都有：3.绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小4性质：（1）0 除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数（2）互为相反数的两个数的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或 0六、有理数的大小比较 1数轴比较法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小2.代数比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：同为正号：绝对值大的数大两数同号同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数正数与 0：正数大于 0数为 0负数与 0：负数小于 03.作差比较法：设 a、b 为任意数，若 a-b0，则 ab；若 a-b0，则 ab；若 a-b0，ab；反之成立4.求商比较法：设 a、b 为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立若 a、b 为任意负数，则与上述结论相反5.倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小1abab1abab1abab有理数的运算知识梳理一、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法2.有理数的加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值互为相反数的两个数相加得 0；（3）一个数同 0 相加，仍得这个数3.运算律：文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变加法交换律符号语言a+bb+a文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变有理数加法运算律加法结合律符号语言(a+b)+ca+(b+c)二、有理数的减法1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，减法是加法的逆运算2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即把有理数的减法利用数的相反数变成加法进行运算.可表示为：()abab【注】将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”三、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同 0 相乘，都得 02.有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为 0，那么积就等于 0（3）几个不等于 0 的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘3.有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：abba（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等即：abc(ab)ca(bc)（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加即：a(b+c)ab+ac【注】（1）多个有理数相乘，奇负偶正，任一数为 0 则结果为 0（2）如果两个数积为正，则这两个数同正或同负.（3）如果两个数积为负，则这两个数一正一负（4）若果两个数积为 0，则这两个数中至少有一个为 0.四、有理数的除法1.倒数的意义：乘积是 1 的两个数互为倒数2.性质：若 a、b 互为倒数，则 ab=1；反之，若 ab=1，则 a、b 互为倒数.3.有理数除法法则：法则一：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即.法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除0 除以任何一个不等于 0的数，都得 0.【注】（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些（2）因为 0 不能当除数，所以 0 没有倒数（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值（4）求一个小数的倒数，要先把小数化为分数，再求它的倒数.（5）求一个带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再求它的倒数.五、有理数的乘方1.定义：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂2.意义：表示 n 个 a 相乘，即.在中，叫做底数，n 叫做指数.3.乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0 的任何正整数次幂都是 0；【注】一个数可以看作这个数本身的 1 次方，指数 1 通常省略不写；nana aaan个naa 当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来，再在其右上角写上指数；0 的 0 次幂无意义.六、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行【注】有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方是第三级运算；在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行；在运算过程中注意运算律的运用；运算过程中，带分数一般化为假分数，小数化为分数，再进行运算.七、科学记数法把一个绝对值大于 10 的数表示成的形式（其中 l|10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如.【注】负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；八、近似数及精确度1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为 6300，这里的 6300就是近似数.2.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.【注】精确度是指近似数与准确数的接近程度；10naan42 000 00074.2 10-300033 10 一个数精确到哪一位，只要将它的下一位四舍五入即可，按要求求近似数时不能连续从末位向前四舍五入；一个近似数的末尾的 0 不可省略，省略后原数的精确度会改变.实数知识梳理一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根（1）定义：一般地，如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数 x 叫做的算术平方根（规定 0 的算术平方根还是 0）；（2）表示方法：的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.（3）性质：一个非负数的算术平方根等于它本身，即）（）（0aaa2.当式子有意义时，一定表示一个非负数，即0，0.【注】2a）（与2a的区别与联系（1）区别：2a）（是先开方再平方，2a是先平方再开方，两者运算顺序不同；2a）（中 a 的取值范围是0a，2a中 a 取正数，零，负数都可以.（2）联系：当0a 时，22aa）（.2.平方根（1）定义：一般地，如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.（2）表示方法：(0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.（3）性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根.二、平方根和算术平方根的区别与联系a2xaaaaaaaaaa2xaxaaa a(0)a aaa1.区别：（1）定义不同；（2）表示方法不同：和.2.联系：（1）平方根包含算术平方根，平方根中那个非负的根即为算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0 的平方根和算术平方根均为 0三、实数1.有理数与无理数：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.有理数和无理数统称为实数.2.常见的无理数有三种形式：含有的式子.无限不循环小数，如：1.313113111.开方开不尽的数的平方根，如5.3.实数的分类按定义分类：实数有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按性质分类：实数0正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数4.实数的性质aa实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.四、立方根1.定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果3xa，那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.2.表示方法：一个数a的立方根，用3a表示，其中a是被开方数，3 是根指数.开立方和立方互为逆运算.3.性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0.【注】任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.五、实数大小的比较（1）数轴比较法：对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.（2）代数比较法：正实数大于 0，负实数小于 0，两个负数，绝对值大的反而小.（3）作差比较法（4）作商比较法（5）倒数比较法：若0b0ab1a1，则ba.（6）平方比较法：若22ba0b0a，则ba.（7）开方比较法：若ba0b0a，则ba.（8）估值比较法：在实数的大小比较中，当遇到无理数时，可以按照所要求的的精确度用相应的近似有限小数取代替，再进行比较.六、实数的运算当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为 0）、乘方运算，而且正数及 0 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.代数式知识梳理一、代数式基础1.用字母表示数用字母表示数，可以简明地表达一些一般的数量和数量关系，即把问题中与数量有关的语句，用含数、字母和运算符号的式子表示出来2.代数式用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接所成的式子，叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式【注】代数式中不含“”、“”、“”、“”等符号，如33x，33x，33x 等都不是代数式3.列代数式在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性【注 1】代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“”或省略不写；（2）除法运算一般写成分数的形式；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；（5）如果字母前面的数字是 1 或-1，“1”通常省略不写，如 1ab 写作 ab，-1ab 写作-ab；（6）相同字母的积用乘方表示；（7）在实际问题需要用单位时，如果代数式中含加、减运算，则要把整个式子用括号括起来再写单位，否则可直接写单位.【注 2】列代数式的步骤（1）读懂题意，弄清其中的数量关系，抓住题目中表示运算关系的关键词，如和、差、积、商、比、倍、分、大、小、增加了、增加到、减少、几分之几等.（2）分清运算顺序，注意关键性的断句及括号的恰当使用.4.代数式的值一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值【注】求代数式的值的方法和一般步骤方法：一是直接代入法，二是整体代入法.步骤：（1）代入；用数值代替代数式里的字母；（2）计算：按照代数式指明的运算，计算结果二、整式1.单项式（1）单项式的概念：表示数与字母或字母与字母的积式子叫单项式，特别地，单独的一个数或一个字母也是单项式巧记：单项式中“只含乘或乘方，不含加减”.（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数【注】单项式的系数包括符号；当单项式的系数是 1 或-1 时，“1”通常省略不写；当单项式的系数是带分数时，通常化成假分数；圆周率是常数，单项式中出现时应看作系数.（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数【注】单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，不包括系数的指数，单独一个非零的数是零次单项式.2.多项式（1）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式（2）多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项【注】一个多项式含有几项，就叫几项式，如：2627xx是一个三项式 多项式的每一项都包括它前面的符号.（3）多项式的次数：多项式中次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数（4）升幂排列与降幂排列：为便于多项式的运算，可以用加法交换律将多项式中各项按照某个字母的指数的大小顺序重新排列；降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来;升幂排列：按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来如:多项式 2x3y2-xy3+21x2y4-5x4-6 是六次五项式,按 x 的降幂排列为-5x4+2x3y2+21x2y4-xy3-6,在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;按y的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+21x2y4【注】将多项式各项重新排列后还是多项式的形式，各项的位置发生变化，其他都不变；各项移动时要连同它前面的符号一起移动；某项前的符号是“+”，它在第一项位置时，“+”可省略，在其他位置时不能省略.3.整式：单项式与多项式统称为整式【注】所有的整式的分母中不含字母.三、整式的加减运算1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项几个常数项也是同类项【注】判断几个项是否是同类项有两个条件：所含字母相同；相同字母的指数分别相等.同时具备这两个条件的项是同类项，二者缺一不可同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关2.合并同类项（1）概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项（2）法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变（3）步骤：合并同类项的依据是乘法的分配律逆用，一般步骤如下：准确找出同类项；利用法则，系数跟系数相加，字母和字母的指数不变；写出结果，不要漏项.【注】如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为 0；3.去括号（1）去括号法则括号前面是“”，把括号和它前面的“”去掉，括号内各项都不改变符号；括号前面是“”，把括号和它前面的“”去掉，括号内各项都改变符号.（2）添括号法则所添括号前面是“”，括到括号里的各项都不改变符号；所添括号前面是“”，括到括号里的各项都改变符号.4.整式的加减（1）步骤：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项（2）结果要求：不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；一般按照某一字母的降幂或升幂排列；不能出现带分数，带分数要化成假分数一元一次方程知识梳理一元一次方程知识梳理一、方程一、方程1.等式：等式：含有等号的式子叫做等式.2.方程：方程：含有未知数的等式叫做方程.（即必须有等号；必须有未知数.）【注意】：方程是等式，但等式不一定是方程；比如 1+2=3 是等式，但不是方程.【补充说明】：方程中的已知数一般是具体的数值，未知数是指要求的数，未知数通常用x，y，z 等字母表示.例：x+5=0 中，5 和 0 是已知数.例：关于 x，y 的方程 ax-2by=c 中，a、-2b、c 是已知数，x、y 是未知数.3.方程的解：方程的解：使方程左，右两边相等的未知数的值.4.解方程：解方程：求方程的解得过程.比如：x=3 是方程 x+3=6 的解.二、一元一次方程二、一元一次方程1.概念概念：只含有一个未知数，未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程.这里的“元”是指未知数，“次”是含有未知数的项的最高次数.比如：2x+3=5，y-1=0，x=3.2.最简形式：最简形式：方程 ax=b（a0，a、b 为已知数）的形式叫做一元一次方程的最简形式.标准形式：标准形式：方程 ax+b=0（a0，a、b 为已知数）的形式叫做一元一次方程的标准形式.【注意】：任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证.如方程 x+2x+1=x-6 是一元一次方程.三、等式的性质三、等式的性质1.等式性质 1：等式性质 1：等式两边加（或减）同一个数字（或式子），结果仍相等.如果 a=b，那么 ac=bc.2.等式性质 2：等式性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等.如果 a=b，那么 ac=bc；如果 a=b，c0，那么3.知识拓展：知识拓展：等式除以上两条性质外还具有其他性质.对称性：等式两边交换位置，所得式子仍为等式.用字母表示：如果 a=b，那么 b=a.传递性：如果 a=b，且 b=c，那么 a=c.四、一元一次方程的解法四、一元一次方程的解法由等式的性质，我们可以解形如 ax+b=c 的一元一次方程（其中 a、b、c 为常数），即把常数项挪到等号同一端，再把系数化为 1，得到方程的解.xx0比如：解方程-4x=3解：两边除以_（或乘以_），得_；再比如：解方程45-x31-解：两边加_，得_化简得_两边乘以_，得_.【注意】：我们往往把最后一步叫做“系数化 1”.总结解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；两边同除以未知数的系数（系数化 1）.cbca这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按从到的顺序进行，要根据方程的特点灵活运用.【易错点】：（1）去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号.（2）去分母：漏乘不含分母的项.（3）移项忘记变符号.五、工程问题五、工程问题1.工作量为具体数1.工作量为具体数工作总量=工作效率工作时间合作工作效率=甲工作效率+乙工作效率+.各个工作量的和=总工程量2.工作量视为“1”2.工作量视为“1”对于工作量不是具体数量的工程问题，要将工程量视为“1”.六、行程问题六、行程问题1.单一行程问题1.单一行程问题路程=速度时间；.速度路程；时间时间路程速度2.相遇问题2.相遇问题如图，两物体在同一条直线上，同时出发、异地相向而行，运动一段时间，两物体相遇3.追击问题3.追击问题如图，两物体在同一直线上，同时出发、异地同向而行，运动一段时间，后面的物体追赶上前面的物体4.环行跑道4.环行跑道甲、乙两人在同一环形跑道上运动，可分为同向或反向（背向）两种情况 5.流水行船问题5.流水行船问题顺水（风）速度=静水（风）速度水（风）速；逆水（风）速度=静水（风）速度水（风）速.6.变速问题6.变速问题路程=速度时间；.速度路程；时间时间路程速度7.过隧道问题7.过隧道问题对于列车经过大桥或隧道的问题，要分清以下情况对应的路程（车头）通过实际的路程为桥或隧道的长度;完全通过实际的路程是桥或隧道的长度加上列车的长度.七、经济问题七、经济问题1.销售利润1.销售利润商品利润=商品售价商品进价=商品标价折扣商品进价%100=商品利润商品进价商品利润率进价（1利润率）=标价折扣=售价2.缴税纳税2.缴税纳税根据国家各种税法的规定，按照一定的比率，把集体或个人收入的一部分缴纳给国家，这个比率就叫做税率.应缴纳的那部分税款就叫做应纳税额.应纳税额=各种收入税率3.存款利息3.存款利息利息=本金年利率时间本息=本金利息=本金（1年利率时间）线段、射线和直线知识梳理线段、射线和直线知识梳理一、几何图形一、几何图形1.定义：点、线、面、体称为几何图形.这些基本图形可帮助人们有效地刻画错综复杂的现实世界.2.图形所表示的各个部分不在同一个平面内，这样的图形称为立体图形.如长方体，圆柱，圆锥等.3.图形所表示的各个部分都在同一个平面内，这样的图形称为平面图形.如三角形，四边形，圆等.二、线段，射线和直线二、线段，射线和直线（一）直线1.直线是从客观事物中抽象出来的，直线没有尽头，是向两边无限延长的.2.直线的表示方法（1）可以用这条直线上的两个点两个点来表示，如图所示的直线可以记作“直线 AB”或“直线 BA”，其中 A、B 为直线上任意的两个点.（2）也可以用一个小写字母来表示，如图所示的直线可以记作“直线 l”.3.点与直线的关系点 P 在直线 l 上，也可以说直线 l 经过点 A；点 M 不在直线 AB 上，也可以说直线 AB 不经过点 M.4.交点：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点就是它们的交点.如直线 a 与直线 b 相交于点 O.5.直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线，简单说成：两点确定一条直线.【注】直线无粗细、没有端点、向两方无限延伸，不能度量.平面上的两条直线，有相交和不想交两种位置关系.直线基本事实中的“有且只有”有两层含义，“有”说明存在一条直线，即确定有一条；“只有”说明这条直线是“唯一”的.（二）射线1.直线上的一点和它一旁的部分叫做线段，它是向一端无限延伸的.2.射线的表示方法（1）可以用端点字母和另一个大写字母表示，如图可以记作“射线 OA”，但不能写成“射线 AO”.（2）可以用一个小写字母来表示，如图可以记作“射线 l”【注】射线是直线的一部分.射线向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小.表示射线时，一定要把表示端点的字母写在前面.端点不同，所表示的射线不同；端点相同，延伸方向不同，所表示的射线也不同；只有端点相同，并且延伸方向也相同时，才是同一条射线.（三）线段1.直线上两点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点.2.线段的表示方法（1）用两个端点字母表示.如图可以记作“线段 AB”或“线段 BA”.（2）用一个小写字母表示.如图可以记作“线段 l”.3.延长线：线段的延长线即线段向一方延伸的部分.如图 1，延长 AB 是按 B 到 A 的方向延长；如图 2，延长 BA 是按 B 到 A 的方向延长（或说成反向延长 AB）.4.线段长度连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离，它们是指线段的长度，是数量而不是线段本身.5.线段的基本事实两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短.【注意】线段是直线（或射线）的一部分.线段不能向两方无限延伸，可度量.线段有长短，但线段没有方向，表示线段的两个大写字母没有顺序.（四）直线、射线和线段的区别与联系线段射线直线图示表示方法线段 AB（BA）或线段 a射线 OA（O 必须在前）或射线 a直线 AB（BA）或直线 a端点两个一个无长度可度量不可度量不可度量区别延伸性不向两方延伸向一方无限延伸向两方无限延伸联系射线、线段都是直线的一部分，线段向一个方向无限延伸就得到射线，向两个方向无限延伸就得到直线.三、计数问题三、计数问题1.直线交点的个数（1）两条直线相交，最多有 1 个交点；（2）三条直线相交，最多有 3 个交点；（3）四条直线相交，最多有 6 个交点；那么 20 条直线相交，最多有几个交点呢？n 条直线相交最多又有几个交点呢？【结论】两条不重合的直线直线最多只有一个交点，n 条直线最多有21-nn个交点.2.线段的计数问题【问题】数一数：图中一共有几条线段？【提示】数线段需要掌握一定的方法和规律，必须要做到不重不漏.【方法】一般方法是从左边第一个点起，使第一个点和其右边的每一个点各组合一次，得到（n-1）条线段，然后再从左边第二点起，使其和其右边的每个点各组合一次，又得到（n-2）条线段，.，依次数下去，最后进行相加.【结论】若一条直线上有 n 个点，则线段的条数为 21-nn12.2-n1-n.四、线段和差四、线段和差（一）线段的长短比较1.尺规作图：仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图2.线段中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点.3.用尺规作线段或比较线段（1）作一条线段等于已知线段：用圆规作一条线段等于已知线段例如：下图所示，用圆规在射线 AC 上截取 ABa（2）线段的比较：叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短如下图：线段的比较方法除了叠合比较法外，还可以用度量比较法4.线段和差（1）一般地，如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫做另两条线段的和；如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫做另两条线段的差.两条线段的和或差仍是一条线段.（2）解决线段计算问题的方法按照已知条件画出图形是正确解题的前提条件；注意分类讨论，多解问题.观察图形，找出线段之间的关系.简单问题可以通过列算式解决，复杂的问题可以设未知数，利用方程解决.【注】直接用和差关系计算比较困难时，可引用方程思想；若没有指出具体图形的位置时，则需要进行分类讨论.角的知识梳理一、角与角的度量一、角与角的度量1.角的定义：角是由两条有公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫做这个角的顶点.角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边.2.角的表示：角用符号“”表示，读做“角”，通常有以下几种表示角的方法.表示方法图示记法适用范围用三个大写字母表示AOB 或BOA任何情况都适用，表示顶点的字母写在中间用一个大写字母表示O以某一点为顶点的角只有一个时，可以用顶点表示角用阿拉伯数字表示1任何情况都适用用希腊字母表示任何情况都适用【注】当一个顶点处的角有两个或两个以上时，其中任意一个角都不能只用一个大写字母表示.用三个大写字母表示角时，顶点字母必须写在中间.3.角的度量及换算（1）当角的终边旋转到和始边成一条直线时，所成的角叫做平角；旋转到终边和始边再次重合时，所成的角叫做周角.（2）把一个周角（即它的旋转量）分为 360 等份，每一等份叫做 1 度，记做 1在测量角时，有时以度为单位精度还不够，我们需要用比 1更小的单位，称之为分和秒.把 1的角分成 60 份，每一份就是 1 分，记做 1；而把 1的角再等分成 60 份，每一份就是 1 秒，记做 1.我们常用量角器度量角，度、分、秒是常用的角的度量单位.【注】角的度、分、秒是 60 进制的，1=60=3600.4.角的大小比较（1）比较方法：度量法，叠合法.（2）角的分类.的角360周角：.的角180平角：.的角180而小于90钝角：大于.的角90直角：.的角90而小于0锐角：大于等于等于等于5.角的计算（1）在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后同单位相加减；（2）在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满 60进 1，满60进 1；（3）对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分（即余数乘以 60）和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入【注】加法和乘法运算可能进位，减法和除法运算可能借位.二、角的和差二、角的和差（一）角的和差一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫做另两个角的和；如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫做另两个角的差.两个角的和或差仍是一个角.（二）余角和补角1.定义（1）余角：一般地，如果两个角的和等于一个直角，就说这两个角互为余角，简称互余，也说其中一个角是另一个角的余角（2）补角：类似地，如果两个角的和等于一个平角，就说这两个角互为补角，简称互补，也说其中一个角是另一个角的补角2.性质：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等【注】钝角没有余角；互余、互补只与角的度数有关，与位置无关；互余、互补是两个角之间的关系，例如：若1+2+3=90，不能说这三个互余；一般地，锐角的余角可以表示为(90-)，一个角的补角可以表示为(180-)显然一个锐角的补角比它的余角大 90（三）角平分线以一个角的顶点为端点的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线如图所示，OC 是AOB 的角平分线，AOB2AOC2BOC，AOCBOC=12AOB三、方位角和钟表问题三、方位角和钟表问题1.方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角例如，图中射线 OA 的方向是北偏东60；射线 OB 的方向是南偏西 30这里的“北偏东 60”和“南偏西 30”表示方向的角，就叫做方位角【注】（1）正东，正西，正南，正北 4 个方向不需要用角度来表示（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东 60”一般不说成“东偏北30”（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向2.钟表问题钟表中共有 12 个大格，把周角 12 等分、每个大格对应 30的角，分针 1 分钟转 6，时针每小时转 30，时针 1 分钟转 0.5，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题 第一章第一章 有理数巩固练习有理数巩固练习一选择题（共一选择题（共 13 小题）小题）1下列各数中，比1 小的数是（）ABC0D12如果嘉琪向东走 5km，记作+5km，那么3km 表示他向哪个方向走 3km（）A东B南C西D北3在数轴上，表示数 x 的点的位置如图所示，则化简|x+1|x2|结果为（）A3B3C2x1D12x4下列说法中，正确的为（）A一个数不是正数就是负数B0 是最小的数C正数都比 0 大Da 是负数5下列说法正确的是（）A若两个数的绝对值相等，则这两个数必相等B若两数不相等，则这两数的绝对值一定不相等C若两数相等，则这两数的绝对值相等D两数比较大小，绝对值大的数大6如图，检测 4 个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从符合标准质量的角度看，最接近标准的是（）ABCD7下列各对量中，不具有相反意义的是（）A胜 3 局与负 3 局B转盘逆时针转 3 圈与顺时针转 5 圈C收入 3000 元与增加 3000 元D气温升高 4与气温降低 108下列说法中正确的是（）A有理数都有相反数B有理数分为正数和负数C有理数的绝对值都是正数Da 表示负数9如果一个数 a 满足条件 1a3，则符合条件的整数 a 有（）个A2B3C4D510 数轴上，点 A 表示的数是 1，点 B 与点 A 距离 2 个单位长度，则点 B 表示的数是（）A3B1C2D3 或111如图，数轴上点 A、B 对应的有理数分别为 a、b，下列说法正确的是（）A0Ba+b0CbaD|a|b|12下列有理数大小关系判断正确的是（）A|3|+3|B0|10|C（）|D10.0113在数轴上，O 为原点，某点 A 移动到 B，移动了 10 个单位长度；点 A 表示数 a，点 B表示数 b，则 a+b0，A 到 O 的距离为（）A10B10C5D5二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题）14若|x|3，则所有满足条件的整数 x 的和为 15如图，化简代数式|ba|a1|+|b+2|的结果是 16如果汽车向东行驶 30 千米记作+30 千米，那么向西行驶 20 千米记作 千米17比较两数大小：（用“”，或“”，或“”填空）18比较大小：|（填“”、“”或“”）19数轴上的点 M 在原点的右侧距原点 6 个单位长度，将点 M 向左移动 8 个单位长度至点N，则点 N 表示的数是 20设有理数 a，b 在数轴上的对应点如图所示，化简|a+b|a|1b|+|b|21若|a+2|+|b4|0，则 ab 三解答题（共三解答题（共 6 小题）小题）22在 2020 年抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满汽油后沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从 A 地出发，晚上到达 B 地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，8，+9，6，+14，5，+13，10（1）B 地位于 A 地的什么方向？距离 A 地多少千米？（2）若冲锋舟每千米耗油 0.6 升，油箱容量为 30 升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升汽油？（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点 A 最远时，距 A 地多少千米？23把下列各数填入相应的集合内：2.5，10，3.14，0，20，+9.78，+58，1整数集合：；负数集合：；正分数集合：；非负数集合：24画一条数轴，把有理数：，2，0.5，1 在数轴上表示出来，并用“”号把这些数连接起来25有理数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简：|a|b|+|a+b|+|bc|26随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭小明家中买了一辆小轿车，他连续记录了 7 天中每天行驶的路程（如下表），以 50km 为标准，多于 50km 的记为“+”，不足 50km 的记为“”，刚好 50km 的记为“0”第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程（km）91411015+33+9（1）请求出这七天平均每天行驶多少千米；（2）若每行驶 100km 需用汽油 5 升，汽油价为 6 元/升，请估计小明家一个月（按 30 天计）的汽油费用是多少元？27已知数轴上两点 A，B 对应的数分别为8 和 4，点 P 为数轴上一动点，若规定：点 P到 A 的距离是点 P 到 B 的距离的 3 倍时，我们就称点 P 是关于 AB 的“好点”（1）若点 P 到点 A 的距离等于点 P 到点 B 的距离时，求点 P 表示的数是多少；（2）若点 P 运动到原点 O 时，此时点 P 关于 AB 的“好点”（填是或者不是）；若点 P 以每秒 1 个单位的速度从原点 O 开始向右运动，当点 P 是关于 AB 的“好点”时，求点 P 的运动时间；（3）若点 P 在原点的左边（即点 P 对应的数为负数），且点 P，A，B 中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点 P 表示的数第一章第一章 有理数巩固练习有理数巩固练习参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 13 小题）小题）1下列各数中，比1 小的数是（）ABC0D1【分析】有理数大小比较的法则：正数都大于 0；负数都小于 0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反