1、第二章 1 生活中的变量关系2 对函数的进一步认识 2.1 函数概念 1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素. 2.能正确使用区间表示数集. 3.会求一些简单函数的定义域、函数值. 学习 目标 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 栏目 索引 知识梳理 自主学习 知识点一 函数的概念 (1)函数的定义： 给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中的 ，在集合B中都存在 与之对应，那么就把对 应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：AB，或 . (2)函数的定义域与值域： 函数yf(x)，xA，x叫作 ， 叫作函数的定义域，与x的值 相对应的y值叫作
2、，函数值的集合 叫作函数的值域. 显然，值域是集合B的 . 答案 任何 一个数x 唯一确定的数f(x) yf(x)，xA 自变量 集合A 函数值 f(x)|xA 子集 知识点二 函数的三要素 函数的三个要素：定义域，对应关系，值域. (1)定义域 定义域是自变量x的取值集合.有时函数的定义域可以省略，如果未加特 殊说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合. (2)对应关系 对应关系f是核心，它是对自变量x进行“操作”的“程序”或者“方 法”，是连接x与y的纽带，按照这一“程序”，从定义域集合A中任取一 个x，可得到值域y|yf(x)且xA中唯一确定的y与之对应. (3)值域
3、 函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关系确定了， 那么它的值域也会随之确定. 思考 (1)符号“yf(x)”中“f”的意义是什么？ 答 符号“yf(x)”中“f”表示对应关系，在不同的具体函数中，“f” 的含义不一样.例如yf(x)x2中，“f”表示的对应关系为因变量y等于自 变量x的平方，从而f(a)a2，f(x1)(x1)2，而函数yf(x)2x中，“f” 表示的对应关系为因变量y等于自变量x的二倍，从而f(a)2a，f(x1) 2(x1). 答案 (2)有人认为“yf(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？ 答 这种看法不对. 符号yf(x)是“y是x的函
4、数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是 关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以 是图像、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某 一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值.yf(x)仅仅是函 数符号，不表示“y等于f与x的乘积”.在研究函数时，除用符号f(x)外， 还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数. 答案 (3)f(x)与f(a)有何区别与联系？ 答 f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当xa时，函数f(x)的值，是一个 常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x) 的一个特殊值，如一次函数
5、f(x)3x4，当x8时，f(8)384 28是一个常数. 答案 知识点三 函数相等 如果两个函数的 相同，并且 完全一致，我们就称 这两个函数相等. 答案 定义域 对应关系 思考 函数yx2x与函数yt2t相等吗？ 答 相等，这两个函数定义域相同，都是实数集R，而且这两个函数 的对应关系也相同，因此这两个函数相等.函数相等与否与自变量用 什么字母没有关系，只是习惯上自变量用x表示. 答案 知识点四 区间概念 区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表： 定义 名称 符号 数轴表示 x|axb 闭区间 a，b x|a2，所以x2且x1. 所以函数 yx1 0 x2 的定义域为x|x2，且 x1.
6、解析答案 (2)y2x3 1 2x 1 x. 解 要使函数有意义，需 2x30， 2x0， x0， 解得3 2x2，且 x0， 所以函数 y2x3 1 2x 1 x的定义域为 x 3 2x0) C.f(x)2x1 与 g(x)2x1(xN*) D.f(x)x 21 x1 与 g(x)x1(x1) D 1 2 3 4 5 x|x1且x2 解析答案 3.函数 f(x)x1 1 2x的定义域为_. 解析 由 x10 2x0 ，得 x1 且 x2. 1 2 3 4 5 4.函数f(x)对任意自然数x满足f(x1)f(x)1，f(0)1，则f(5) _. 解析答案 解析 f(1)f(0)1112，f(2
7、)f(1)13， f(3)f(2)14，f(4)f(3)15，f(5)f(4)16. 6 1 2 3 4 5 解析答案 5.已知函数 f(x)x2x1. (1)求 f(2)，f(1 x)； 解 f(2)22215， f(1 x) 1 x2 1 x1 1xx2 x2 . 1 2 3 4 5 解析答案 (2)若f(x)5，求x的值. 解 f(x)x2x15， x2x60， x2，或x3. 课堂小结 1.对函数相等的概念的理解： (1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系.函数的定义域和对应 关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关 系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. (2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因 为函数对应关系不一定相同.如yx与y3x的定义域和值域都是R，但 它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数. 2.区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取 值集合，即用端点所对应的数、“”(正无穷大)、“”(负无 穷大)、方括号(包含端点)、小圆括号(不包含端点)等来表示的部分实 数组成的集合.如x|axb(a，b，x|xb(，b是数集描 述法的变式. 返回
