1、4 二次函数性质的再研究 第二章 函 数 1.理解yax2与ya(xh)2k(a0)及yax2bxc的图像之间 的关系. 2.理解并掌握二次函数的定义域、值域、单调性、对称轴. 3.能利用配方法或图像法掌握二次函数的重要性质. 4.会求二次函数在给定闭区间上的最大值、最小值. 学习 目标 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 栏目 索引 知识梳理 自主学习 知识点一 二次函数的定义 1.形如y (a0)的函数叫作二次函数，其中a、b、c分别称 为二次项系数、一次项系数、常数项.解析式yax2bxc(a0)称为二 次函数的一般式，二次函数的解析式还有其他两种形式； 顶点式：
2、ya(xh)2k(a0)； 零点式：ya(xx1)(xx2)(a0). 2.说明：所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式，并不是所有二 次函数的解析式均有零点式，只有图像与x轴有交点的二次函数才有 零点式. 答案 ax2bxc 答案 知识点二 二次函数的图像变换 1.首先将二次函数的解析式整理成顶点式ya(xh)2k(a0)，再由二 次函数yx2的图像经过下列的变换得到： (1)将函数yx2的图像各点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变，得 到函数yax2的图像. (2)将函数yax2 的图像向左(h0)或向右(h0)平移|h|个单位得到 的图像. (3)将函数ya(xh)2的图像向上(k0)或
3、向下(k0)平移|k|个单位得到 的图像. ya(xh)2 ya(xh)2k 2.一般地，二次函数ya(xh)2k(a0)， 决定了二次函数图像的 开口大小和方向； 决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左 移，h负右移”， 决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移， k负下移”. 答案 a h k 知识点三 二次函数的单调性 答案 二次函数 yax2bxc(a0)的单调性以 x b 2a为界，当 a0 时，函 数的单调增区间为 ， 单调减区间为 ； 当 a0 时，函数的单调增区间为 ，单调减区间为 . b 2a， ， b 2a ， b 2a b 2a， 知识点四 二次函数的最值 答案
4、对二次函数 yax2bxc(a0)， 当 a0 时， 函数有最小值 ， 此时 x ；当 a0 时，函数有最大值 ，此时 x . 4acb2 4a b 2a 4acb2 4a b 2a 返回 题型探究 重点突破 题型一 求二次函数的解析式 例1 已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值为8， 求二次函数的解析式. 解析答案 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 已知二次函数f(x)的图像的对称轴是直线x1，并且经过 点(1,13)和(2,28)，求二次函数f(x)的解析式. 解 设f(x)a(x1)2k， 由题意得f(1)13，f(2)28， 则有 4ak13， 9ak28
5、， 解得 a3，k1， 所以f(x)3(x1)21，即f(x)3x26x4. 题型二 二次函数的对称性 例2 如果函数f(x)x2bxc关于x2对称，那么( ) A.f(2)f(1)f(4) B.f(1)f(2)f(4) C.f(2)f(4)f(1) D.f(4)f(2)2 D.b2 解析 f(x)x2bxc 的对称轴为 xb 2，由题意得 b 21， A 反思与感悟 b2. 跟踪训练3 已知函数f(x)x2(a1)x1在1,1上为单调函数，则 实数a的取值范围是_. 解析答案 (，31，) 解析 由题意得a1 2 1，或a1 2 1，得 a1 或 a3. 题型四 闭区间上二次函数的最值 例4
6、 已知函数f(x)x2ax3，x1,1. (1)若a1，求函数f(x)的最值； 解 当 a1 时，f(x)x2x3(x1 2) 211 4 ， 故函数在1，1 2上单调递减， 在1 2，1上单调递增， 又 f(1)3，f(1 2) 11 4 ，f(1)5， 函数 f(x)的最大值为 5，最小值为11 4 . 解析答案 (2)若aR，求函数f(x)的最小值. 解析答案 反思与感悟 跟踪训练4 已知函数f(x)x22ax2，x5,5. (1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值； 解析答案 解 当a1时，f(x)x22x2(x1)21， x5,5，故当x1时，f(x)的最小值为1. 当x5时，
7、f(x)的最大值为37. (2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数. 解析答案 解 函数f(x)(xa)22a2图像的对称轴为xa. f(x)在5,5上是单调函数， 故a5，或a5. 即实数a的取值范围是a|a5，或a5. 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1.函数yx22x2的图像的顶点坐标是( ) A.(2，2) B.(1，2) C.(1，3) D.(1，3) 解析 yx22x2(x1)23，故所求顶点坐标为(1，3).故选D. D 1 2 3 4 5 2.已知一元二次函数yx22x4，则函数( ) A.对称轴为x1，最大值为3 B.对称轴为x1，最大值为
8、5 C.对称轴为x1，最大值为5 D.对称轴为x1，最小值为3 解析 由yx22x4(x1)25，知对称轴为x1，最大值为5. C 解析答案 1 2 3 4 5 3.函数f(x)x2mx1的图像关于直线x1对称，则( ) A.m2 B.m2 C.m1 D.m1 A 解析答案 解析 函数 f(x)x2mx1 的图像对称轴为 xm 2 ，且只有一条对称 轴，所以m 2 1，即 m2. 1 2 3 4 5 解析答案 4.下列区间中，使函数 y2x2x 为增函数的是( ) A.R B.2，) C. 1 4， D. ，1 4 解析 函数 y2x2x2 x1 4 21 8的图像的对称轴是直线 x 1 4，
9、 图 像的开口向下，所以函数值在对称轴 x1 4的左边是增加的. D 1 2 3 4 5 5.函数f(x)2x26x1在区间1,1上的最小值是_，最大值 是_. 解析答案 解析 f(x)2(x3 2) 27 2在1,1上为减少的， 当x1时，f(x)min3；当x1时，f(x)max9. 3 9 课堂小结 (1)画二次函数的图像，抓住抛物线的特征“三点一线一开口”.“三 点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个 点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口” 是指抛物线的开口方向. (2)若求二次函数在某闭(或开)区间(非R)内的值域，则以对称轴是否在 该区间内为依据分类讨论； 若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域； 若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处 或对称轴处取得，比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域. 返回
