1、1.4 两条直线的交点 我们知道，平面内任意一条直线都会与一个二元我们知道，平面内任意一条直线都会与一个二元 一次方程对应，即直线上的点的坐标是这个方程的解，一次方程对应，即直线上的点的坐标是这个方程的解， 反之亦成立那么两条直线是否有交点与它们对应的反之亦成立那么两条直线是否有交点与它们对应的 方程所组成的方程组是否有解有没有关系，如果有，方程所组成的方程组是否有解有没有关系，如果有， 是什么关系？是什么关系？ 1.1.理解两直线的位置关系与方程组解的个数之间的理解两直线的位置关系与方程组解的个数之间的 关系关系. .（重点）（重点） 2.2.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标能用解方程组
2、的方法求两直线的交点坐标. .( (难难 点）点） 思考思考1 1：两直线是什么位置关系？其交点坐标是多少？两直线是什么位置关系？其交点坐标是多少？ 提示：提示：相交，交点坐标为（相交，交点坐标为（1,11,1） 2 x y 0 2 2: 1 yxl 0: 2 yxl ),(baP 在同一平面直角坐标系内画出下列两条直线的图像在同一平面直角坐标系内画出下列两条直线的图像 1 :2lxy 2 :0lxy 探究探究 两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标 思考思考2 2：已知直线已知直线l1 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0；l2 2：A A2 2x+Bx+B2 2y+C
3、y+C2 2=0=0， 若他们相交，如何求交点坐标？若他们相交，如何求交点坐标？ 提示：提示：问题转化为二元一次方程组求解的问题；两条问题转化为二元一次方程组求解的问题；两条 直线相交，交点一定同时在这两条直线上，交点坐标直线相交，交点一定同时在这两条直线上，交点坐标 是这两个方程组的唯一解；反之，如果这两个二元一是这两个方程组的唯一解；反之，如果这两个二元一 次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐 标的点，必是直线标的点，必是直线l1和和l2的交点，因此求两条直线的交的交点，因此求两条直线的交 点，就是求这两个直线方程的公共解点，就是求这
4、两个直线方程的公共解. 方程组方程组 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 的解的解 两条直线两条直线l1 1, , l2 2的公共点的公共点 直线直线l1 1, , l2 2间的位置关系间的位置关系 一组一组 无数组无数组 无解无解 一个一个 无数个无数个 零个零个 相交相交 重合重合 平行平行 两条直线的公共点个数与两条直线的位置关系两条直线的公共点个数与两条直线的位置关系 【提升总结提升总结】 例例1.1.求下列两条直线的交点：求下列两条直线的交点： 2 :220.xy l -+= 1: 210,xy l + = 解解: : 所以，这两条直线的交点是所以，这两条直线的交点是
5、 . 得得 1 . 2 3 . 4 x y = = - 13 ( ,) 24 - 210, 220, xy xy += - += 解方程组解方程组 思考思考: : 点（点（1 1，- -1 1）在直线）在直线l1 1上吗？在直线上吗？在直线l2 2上吗？上吗？ 在直线在直线l1 1上上，不在直线不在直线l2 2上上. . 求下列两条直线的交点：求下列两条直线的交点： （1） 1 :5lxy, 2 :0lxy. (2) 1 1 :2 2 lyx, 2 :37lyx. 答案：答案：（1 1） 55 ( ,) 22 - （2 2） （） （- -2 2，1 1） 【变式练习变式练习】 例设三条直线例
6、设三条直线 1 :10,xy l +-= 3 :(1)50.xky l -+-= 2 :230,kxy l -+= 若这三条直线交于一点，求若这三条直线交于一点，求k的值的值 解 ：解 ： 解 由解 由 1l , , 2l 的 方 程 组 成 的 方 程 组的 方 程 组 成 的 方 程 组 10, 230, xy kxy 得得 1 x, 2k 3k y(k2). 2k 所以，所以， 1 l与与 2 l的交点是的交点是 13 (,) 22 k kk -+ + 又因为又因为 123 , ,l l l交于一点，即交于一点，即交交点坐标满足直线点坐标满足直线 3 l的方程，的方程， 13 (1)50
7、, 22 k k kk -+ -+-= + 解得解得7k = -或或2k = -（舍去） ，所以（舍去） ，所以7k = -. . 1.1. 三条直线三条直线280axy+=, ,43100xy+-=与与 2100xy-=相交于一点，则实数相交于一点，则实数a=_._. 2.2.若点（若点（2 2，1 1）是直线）是直线 1 :420Axy l +-=与与 直线直线 2 :220xBy l +=的交点，则的交点，则 A+B=A+B=_._. 7- 1- 【变式练习变式练习】 例例3.3.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线 方程方程: : l1 1：
8、x2 2y+2=0+2=0，l2 2：2 2xy2=0.2=0. 解：解：解方程组解方程组 x2y+2=0， 2xy2=0， 所以所以l1与与l2的交点坐标是（的交点坐标是（2，2）. 设经过原点的直线方程为设经过原点的直线方程为 y=k x， 把（把（2，2）代入方程，得）代入方程，得k=1，所求方程为，所求方程为 x-y=0. x= 2， y=2. 得得 求经过两条直线求经过两条直线x+2+2y1=01=0和和2 2xy7=07=0的交点，的交点， 且垂直于直线且垂直于直线x+3+3y5=05=0的直线方程的直线方程. . 解：解：解方程组解方程组 x+2y1=0， 2xy7=0， 得得
9、x=3， y= 1. 所以这两条直线的交点坐标为（所以这两条直线的交点坐标为（3 3，1 1）. . 又因为直线又因为直线x+3+3y5=05=0的斜率是的斜率是 所以所求直线的斜率是所以所求直线的斜率是3.3. 所求直线方程为所求直线方程为y+1=3+1=3（x3 3）即）即3 3xy10=0.10=0. 【变式练习变式练习】 1 . 3 思考思考1 1：当当变化时，方程变化时，方程3x+4y2+（2x+y+2）=0 表示什么图形？图形有何特点？表示什么图形？图形有何特点？ 拓展探究：过定点的直线系方程拓展探究：过定点的直线系方程 文字叙述：文字叙述： 取取=0,1,=0,1,，得直线，得直
10、线3x+4y3x+4y- -2=02=0，5x+5y=05x+5y=0，方程方程 表示的图形为直线表示的图形为直线. .作出图形可知，所有直线都过一作出图形可知，所有直线都过一 个定点，该点为个定点，该点为M(M(- -2,2)2,2)，为，为l1 1：3x+4y3x+4y- -2=02=0与与 l2 2：2x+y+2=02x+y+2=0的交点，即此方程为过定点的交点，即此方程为过定点M(M(- -2,2)2,2)的直的直 线系方程线系方程. . 思考思考2 2：方程方程A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+ + (A(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0()=0(
11、R)R)表表 示怎样的直线？示怎样的直线？ 提示：提示：若若l1 1:A:A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0，l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0相交于相交于 M(xM(x0 0,y,y0 0) )， 则方程则方程A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+(A+(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0(R)=0(R)表示过表示过l1 1 与与l2 2交点的直线系方程交点的直线系方程( (但不包括直线但不包括直线l2 2).). 1 1 判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出
12、交点坐标. . (1) (1) 1 :327lxy-= 2 :71lxy+= (2) (2) 1 :2650lxy-+= 2 1 :(1) 3 lyx=+ (3) (3) 1 :( 21)3lxy-+= 2 :(12)2lxy+-= 答案：答案：(1) (1) 相交相交 交点交点坐标坐标为为 946 (,) 1717 -. . (2) (2) 平行平行 (3) 垂直垂直 交点交点坐坐标标为为 5 24 62 (,) 44 + 2.2.经过直线经过直线2x+3y2x+3y- -7=07=0与与7x+15y+1=07x+15y+1=0的交点，且平行的交点，且平行 于直线于直线x+2yx+2y- -
13、3=03=0的直线方程是的直线方程是_._. 3x+6y-2=0 3.3.直线直线mxmx- -y+2m+1=0y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标经过一定点，则该点的坐标 是（是（ ） A.A.（- -2,12,1） B.B.（2,12,1） C.C.（1,1,- -2 2） D.D.（1,21,2） A A 4.4.经过两直线经过两直线2x2x- -3y3y- -3=0 3=0 和和x+y+2=0 x+y+2=0 的交点且与直的交点且与直 线线3x+y3x+y- -1=0 1=0 垂直的直线方程为垂直的直线方程为_ 5x5x- -15y15y- -18=018=0 5.5. （2013
14、2013四川高考）四川高考）在平面直角坐标系内，到点在平面直角坐标系内，到点 (1,2)A， (1,5)B ， (3,6)C ， (7, 1)D 的距离之和最小的点的坐标是的距离之和最小的点的坐标是 _。 【解析】解析】 由题可知由题可知 (1,2)A ， (1,5)B ， (3,6)C ， (7, 1)D ， 四边形， 四边形ABCD 对角线的交点到四点距离之和最小，直线对角线的交点到四点距离之和最小，直线 ACAC 的方程为的方程为 20xy ， 直线， 直线BDBD的方程为的方程为 60xy ， 所以其交点为， 所以其交点为(2,4) 答案答案：(2,4) 求两直线交点坐标的步骤：求两直线交点坐标的步骤： 首先判断两直线是否平行，若不平行，再解方首先判断两直线是否平行，若不平行，再解方 程组求其交点坐标程组求其交点坐标. .
