1、第二章 1 生活中的变量关系2 对函数的进一步认识 2.2 函数的表示法 1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图像法、列表法. 2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 3.了解简单的分段函数，并能简单应用. 学习 目标 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 栏目 索引 知识梳理 自主学习 知识点一 函数的三种表示方法 答案 表示法 定义 解析法 用 表示两个变量之间的对应关系 图像法 用 表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出 来表示两个变量之间的对应关系 数学表达式 图像 表格 思考 (1)函数的三种表示方法各有什么优、缺点？ 答 三种表示方法的优、缺点比较：
2、优点 缺点 解析法 简明、全面地概括了变量间的关系； 可以通过解析式求出任意一个自变 量所对应的函数值 不够形象、直观 列表法 不通过计算就可以直接看出与自变量 的值相对应的函数值 一般只能表示部分 自变量的函数值 图像法 直观、形象地表示出函数的变化情况， 有利于通过图形研究函数的某些性质 只能近似地求出自 变量所对应的函数 值，有时误差较大 答案 (2)任何一个函数都可以用解析法、列表法、图像法三种形式表示吗？ 答案 答 不一定. 并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图像法也不适用于 所有函数，如 D(x) 0，xQ， 1，xRQ. 列表法虽在理论上适用于所有函数， 但对于自变量
3、有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或 片段. 知识点二 分段函数 有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值，对应关系也不 同，这样的函数通常称为 . 分段函数 答案 返回 题型探究 重点突破 题型一 作函数的图像 例1 作出下列函数的图像： (1)yx1(xZ)； 解析答案 解 这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线yx1上，如图(1) 所示. (2)yx22x(x0,3). 解析答案 解 因为0x3，所以这个函数的图像是抛物线yx22x介于0x3 之间的一部分，如图(2)所示. 反思与感悟 跟踪训练1 画出下列函数的图像： (1)yx1(x0)； 解析答案 解 yx1
4、(x0)表示一条射线，图像如图(1). (2)yx22x(x1，或x1). 解析答案 解 yx22x(x1)21(x1，或x1)是抛物线yx2x去掉1 x1之间的部分后剩余曲线.如图(2). 题型二 列表法表示函数 例2 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出 解析答案 x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则f(g(1)的值为_；满足f(g(x)g(f(x)的x的值是_. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出 x 1 2 3 f(x) 2 1 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 (1)f(g(1)_； 解析
5、由表知g(1)3， f(g(1)f(3)1； 1 解析答案 (2)若g(f(x)2，则x_. 解析 由表知g(2)2，又g(f(x)2，得f(x)2， 再由表知x1. 1 解析答案 题型三 待定系数法求函数解析式 例3 (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x)4x1，求f(x)； 解 f(x)是一次函数， 设f(x)axb(a0)，则f(f(x)f(axb)a(axb)ba2xabb. 又f(f(x)4x1， a2xabb4x1， 即 a24， abb1， 解得 a2， b1 3 或 a2， b1. f(x)2x1 3或 f(x)2x1. 解析答案 (2)已知f(x)是二次函数，且满足f(
6、0)1，f(x1)f(x)2x，求f(x). 解 f(x)是二次函数， 设f(x)ax2bxc(a0)， 由f(0)1，得c1， 由f(x1)f(x)2x，得a(x1)2b(x1)1ax2bx12x. 左边展开整理得2axab2x， 由恒等式原理知 2a2， ab0， 解得 a1， b1. f(x)x2x1. 反思与感悟 跟踪训练3 已知二次函数f(x)满足f(0)1，f(1)2，f(2)5，求该二次 函数的解析式. 解析答案 解 设二次函数的解析式为 f(x)ax2bxc(a0)， 由题意得 c1， abc2， 4a2bc5， 解得 a1， b0， c1， 故 f(x)x21. 解析答案 题
7、型四 换元法(或配凑法)求函数解析式 例 4 求下列函数的解析式： (1)已知 f 1x x 1x 2 x2 1 x，求 f(x)； (2)已知 f( x1)x2 x，求 f(x). 解 方法一 (换元法)令 x1t(t1)， 则x(t1)2， f(t)(t1)22t12t21. f(x)x21(x1). 方法二 (配凑法)x2 x( x1)21， f( x1)( x1)21. 又 x11，f(x)x21(x1). 解析答案 反思与感悟 解析答案 跟踪训练4 已知函数f(x1)x22x，则f(x)_. 解析 方法一 (换元法)令x1t，则xt1，可得f(t)(t1)22(t 1)t24t3，即
8、f(x)x24x3. 方法二 (配凑法)因为x22x(x22x1)(4x4)3(x1)24(x 1)3， 所以f(x1)(x1)24(x1)3， 即f(x)x24x3. x24x3 解析答案 题型五 分段函数求值 例 5 已知函数 f(x) x1，x2， x22x，2x2， 2x1，x2. (1)求 f(5)，f( 3)，f(f(5 2)的值； 解析答案 (2)若f(a)3，求实数a的值. 解 当a2时，a13， 即a22，不合题意，舍去. 当2a2时，a22a3，即a22a30. (a1)(a3)0，得a1，或a3. 1(2,2)，3(2,2)，a1符合题意. 当a2时，2a13，即a2符合
9、题意. 综上可得，当f(a)3时，a1，或a2. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练 5 (1)若 f(x) x2，x0， x，x1 时，x2， x2(舍去)，故 x1 3. 1 3 解析答案 忽略函数的定义域致误 易错点 例 6 已知 f( x1)2x x，求 f(x). 错解 令 t x1，则 x(t1)2， 所以f(t)2(t1)2t12t25t3， 所以f(x)2x25x3. 正解 令 t x1，则 t1，x(t1)2， 所以f(t)2(t1)2t12t25t3， 所以f(x)2x25x3(x1). 易错警示 解析答案 跟踪训练 6 已知 f(11 x) 1 x21，求 f(x). 解 令
10、 t11 x(x0)，则 x 1 t1(t1)， 所以f(t)(t1)21t22t(t1)， 所以f(x)x22x(x1). 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1.已知f(x2)6x5，则f(x)等于( ) A.18x17 B.6x5 C.6x7 D.6x5 解析答案 解析 设x2t，得xt2， f(t)6(t2)56t7，f(x)6x7，故选C. C 1 2 3 4 5 解析答案 2.已知函数 f(x) 1 x1，x1， 则 f(2)等于( ) A.0 B.1 3 C.1 D.2 C 解析 f(2)211. 1 2 3 4 5 解析答案 3.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3)_.
11、x 1 2 3 4 f(x) 3 2 4 1 解析 由题设给出的表知f(3)4，则f(f(3)f(4)1.故填1. 1 1 2 3 4 5 4.已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，则f(x)的解 析式为_. 解析答案 解析 设f(x)axb(a0)， 则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2baxb5a2x 17， 所以a2，b7，所以f(x)2x7. f(x)2x7 1 2 3 4 5 答案 5.如图所示，函数图像是由两条射线及抛物线的一部分组成，则函数的 解析式为_. y x2，x1， x24x2，1x3， x2，x3 课堂小结 1.函数三种表示法的优缺点 2.理解分段函数应注意的问题： (1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域 是各段“值域”的并集.写定义域时，区间的端点需不重不漏. (2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的 解析式. (3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数 的图像时，可先将各段的图像分别画出来，从而得到整个函数的图像. 3.求函数解析式常用的方法有(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法； (4)消元法等. 返回
