1、第一章第一章 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算矩阵是线性代数的一个主要研究对矩阵是线性代数的一个主要研究对象，也是数学上的一个重要工具。矩阵象，也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经渗透到了包括自然科学、人的应用已经渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各个领域。在文科学、社会科学在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的作矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的作用，本章主要讨论有关矩阵运算的一些用，本章主要讨论有关矩阵运算的一些基本规则与技巧。基本规则与技巧。一、矩阵的基本概念一、矩阵的基本概念二、矩阵的线性运算二、矩阵的线性运算三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法四、四、初等变换与初等
2、矩阵初等变换与初等矩阵1.1矩阵的基本概念矩阵的基本概念1 1、某班级同学早餐情况、某班级同学早餐情况这个数表反映这个数表反映了学生的早餐了学生的早餐情况情况.姓名姓名馒头馒头包子包子鸡蛋鸡蛋粥粥张三张三4221李四李四0000王五王五4986422100004986 为了方便，常用下面的数表表示为了方便，常用下面的数表表示2、某航空公司在、某航空公司在，四城市之间的航线图四城市之间的航线图广州广州成都成都北京北京上海上海为了方便，常用下面的数表表示为了方便，常用下面的数表表示其中其中 表示有航班表示有航班.为了便于计算为了便于计算,把表把表中的中的 改成改成,空白空白地方填上地方填上,就得到
3、一就得到一个数表个数表:这个数表反映这个数表反映了四城市间交了四城市间交通联接情况通联接情况.0111111100000000北京北京成都成都广州广州上海上海发站发站北京北京 成都成都 广州广州 上海上海到站到站0110101010010100 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121113.线性方程组线性方程组的解取决于的解取决于 ,2,1,njiaij 系数系数 n,ibi21 常数项常数项 nnnnnnnbaaabaaabaaa21222221111211对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张表的研究这张表的
4、研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为类似的矩形数表在许多问题中都存在着，经过科类似的矩形数表在许多问题中都存在着，经过科学的抽象就形成一个重要的数学概念学的抽象就形成一个重要的数学概念矩阵矩阵.111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 元素元素行标行标列标列标 由由 个数个数排成的排成的 行行 列的数表列的数表nm mn njmiaij,2,1;,2,1 称为称为 型矩阵型矩阵.简称简称 矩阵矩阵.nm nm 元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.()ijm nA
5、a 记作：记作：()ijAa m nA 例如例如 34695301是一个是一个 实矩阵实矩阵,42 2222222613i是一个是一个 复矩阵复矩阵,33 421是一个是一个 矩阵矩阵,13 9532是一个是一个 矩阵矩阵,41 4是一个是一个 矩阵矩阵.11 定义定义 由矩阵由矩阵 元素的相反数构成的矩阵元素的相反数构成的矩阵ij m nAa111212122212()nnijm nmmmnaaaaaaaaaa 称为矩阵称为矩阵A的的负矩阵负矩阵，记作，记作A负矩阵负矩阵nm定义定义 由矩阵由矩阵 的各行换成序号相同的列，的各行换成序号相同的列，同时把各列换成同序号的行，所得到的同时把各列换
6、成同序号的行，所得到的 矩阵矩阵ij m nAanm称为矩阵称为矩阵A的的转置矩阵转置矩阵，记作，记作 或或TAA转置矩阵转置矩阵11121naaa21222naaa12mmmnaaa111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 例如例如 2222222613i是一个是一个3 阶方阵阶方阵.三、几种特殊矩阵三、几种特殊矩阵(1)(1)行数与列数都行数与列数都等于等于n的矩阵的矩阵A，称为，称为n阶阶.nA方阵方阵.也可记作也可记作111212122211nnnnnnaaaaaaAaaa 主对角线主对角线副对角线副对角线方阵方阵(2)(2)只有一行的矩阵只有一行的矩阵 ,21naaa
7、A 称为称为行矩阵行矩阵(或或行向量行向量).,21 naaaB只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量).).称为称为(或或）.n 00000021（3）形如形如 的方阵的方阵,OO不全为不全为0记作记作 .,21ndiagA （4）主对角线左下方或右上方的）主对角线左下方或右上方的元素全为零元素全为零的方阵的方阵11121222000nnnnaaaaaa11212212000nnnnaaaaaa或或 分别称为分别称为上三角矩阵上三角矩阵或或下三角矩阵下三角矩阵.OO （5）元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵，零零矩阵记作矩阵记作 或或 .nm n
8、mo o注意注意 .00000000000000000000 不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.例如例如(6)方阵方阵 100010001nEE称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵）.OO全为全为1(7)元素之间满足关系元素之间满足关系 的方阵的方阵(,1,2,)ijjiaai jn111211222212nnnnnnaaaaaaaaa称为称为对称矩阵对称矩阵元素之间满足关系元素之间满足关系 的方阵的方阵(,1,2,)ijjiaai jn 12112212000nnnnaaaaaa称为称为反对称矩阵反对称矩阵TAATAA(8)当当 为复矩阵时，以为复矩阵时，以 的共
9、轭复数的共轭复数为元素为元素的方阵的方阵ijaij m nAaija111211222212nnnnnnaaaaaaaaa称为称为A的的共轭矩阵，共轭矩阵，记作记作ij m nAa 2.2.两个矩阵两个矩阵 为为同型矩阵同型矩阵,并且并且对应元素相等对应元素相等,即即ijijAaBb与 ,2,1;,2,1njmibaijij 则称则称矩阵矩阵 相等相等,记作记作BA与与.BA 例如例如 9348314736521与与为为同型矩阵同型矩阵.四、四、同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念 1.1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等,列数相等时列数相等时,称为称为同同型矩阵型矩阵.例例1 设设,131,213321 zyxBA.,zyxBA求求已知已知 解解,BA .2,3,2 zyx
