1、1 直线与直线的方程 1.1 直线的倾斜角和斜率 第二章 解析几何初步 2 直线直线最简单的几何图形最简单的几何图形 飞逝的流星沿不同的飞逝的流星沿不同的 方向运动方向运动 在空中形成美丽的直线在空中形成美丽的直线 观察下面的跷跷板，跷跷板的位置固定吗？观察下面的跷跷板，跷跷板的位置固定吗？ 我们学过函数我们学过函数y=x+1,y=x+1,它的图像是什么？它的图像是什么？ 如何在平面直角坐标系内确定它的位置如何在平面直角坐标系内确定它的位置? ? y 1 x o -1 两点两点确定一条直线确定一条直线. . 一条直线一条直线. 1 1正确理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握直线正确理解直线的倾斜
2、角和斜率的概念，掌握直线 的倾斜角和斜率的定义和范围的倾斜角和斜率的定义和范围. . （重点）（重点） 2 2理解直线的倾斜角的唯一性和斜率的存在性理解直线的倾斜角的唯一性和斜率的存在性. . （难点）（难点） 3 3了解斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的了解斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的 斜率公式斜率公式 思考思考1 1：我们知道，两点确定一条直线一点能确定一我们知道，两点确定一条直线一点能确定一 条直线的位置吗？已知直线条直线的位置吗？已知直线l经过原点，直线经过原点，直线l的位置能的位置能 够确定吗？够确定吗？ 过定点过定点(0,0)(0,0)的直线有多少条的直线有多少条?
3、? x y O l 提示：提示：一点不能确定一点不能确定 一条直线，一条直线， 无数条无数条 探究点探究点1 1 直线的确定直线的确定 思考思考3 3：过原点且与过原点且与x轴正方向所成的轴正方向所成的 角为角为3030的直线有多少条？的直线有多少条？ 一条一条 思考思考4 4：过点过点P P（- -2,02,0）且与）且与 x轴正方向所成的角等于轴正方向所成的角等于120120 的直线有多少条？的直线有多少条？ 一条一条 l1 l2 l3 X y 思考思考2 2： 0 30x与 轴正方向所成的角为的直线的位置能确定吗？ 不能确定，有无数条不能确定，有无数条 P O 在平面直角坐标系中，确定直
4、线位置的几何条件是：在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是： 已知直线上的一个点和这条直线的方向已知直线上的一个点和这条直线的方向 一个点和一个一个点和一个 方向就能确定方向就能确定 一条直线一条直线. . x y O P l 交流归纳交流归纳 思考思考1 1：在直角坐标系中，过点在直角坐标系中，过点P P的一条直线绕点的一条直线绕点P P旋旋 转，不管旋转多少周，它对转，不管旋转多少周，它对x x轴的相对位置有几种情轴的相对位置有几种情 形，请画出来？形，请画出来？ O O O 探究点探究点2 2 直线的倾斜角直线的倾斜角 直线的倾斜角直线的倾斜角 当直线当直线l和和x x轴平行时，我
5、们规定直线的倾斜角为轴平行时，我们规定直线的倾斜角为0 0. . 在平面直角坐标系中，对于一条与在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线轴相交的直线l，把，把 x轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所重合所 成的角，叫作成的角，叫作直线直线l的倾斜角的倾斜角 明确直线的明确直线的 旋转方向旋转方向 思考思考2 2：由倾斜角的定义你能说出倾斜角由倾斜角的定义你能说出倾斜角 的范围吗？的范围吗？ 0 180 思考思考1 1：在平面直角坐标系中，直线的倾斜角刻画了在平面直角坐标系中，直线的倾斜角刻画了 直线倾斜的程度，在日常生活中，还有没
6、有表示倾直线倾斜的程度，在日常生活中，还有没有表示倾 斜程度的量？斜程度的量？ 前进量前进量 升升 高高 量量 前进量前进量 升高量升高量 坡度（比）坡度（比） 探究点探究点3 3 直线的斜率直线的斜率 前进量前进量 升升 高高 量量 例如，“进例如，“进2 2升升3”3”与“进与“进2 2升升2”2”比较，前者更陡比较，前者更陡 一些，因为坡度（比）一些，因为坡度（比） 32 . 22 前进量前进量 升高量升高量 坡度（比）坡度（比） 通常用小写字母通常用小写字母k表示，即表示，即 tan k 倾斜角是倾斜角是 的直线有斜率吗？的直线有斜率吗？ 90 倾斜角是倾斜角是 的直线的斜率不存在的直
7、线的斜率不存在 90 )90( 直线的斜率直线的斜率 如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡 度（比）”实际就是“倾斜角度（比）”实际就是“倾斜角 的正切”的正切” 一条直线的倾斜角 的正直线切值叫作的斜率. 如：倾斜角如：倾斜角 时，直线的斜率时，直线的斜率 45 ktan451. 如：倾斜角如：倾斜角 时，时， 135 ktan1351 即这条直线的斜率为即这条直线的斜率为- -1.1. 倾斜角倾斜角 不是不是9090的直线都有斜率，并且倾斜角不同，的直线都有斜率，并且倾斜角不同， 直线的斜率也不同因此，可以用斜率表示直线的倾直线的斜率也不同因
8、此，可以用斜率表示直线的倾 斜程度斜程度 x . p y O x . p y O x . p y O x . p y O 90 0 o o 标出下列图中直线的倾斜角，并说出各自斜率的符号？标出下列图中直线的倾斜角，并说出各自斜率的符号？ （1） （2） （3） （4） k0 k0 k=0 k不存在不存在 思考思考2 2：当当0 0 9090时，斜率是非负的，倾斜时，斜率是非负的，倾斜 角变化时，直线斜率如何变化？角变化时，直线斜率如何变化？ 提示：提示：倾斜角越大，直线的斜率就越大倾斜角越大，直线的斜率就越大. 思考思考3 3：当当9090 180180时，斜率是负的，倾斜时，斜率是负的，倾斜
9、 角变化时，直线的斜率如何变化？角变化时，直线的斜率如何变化？ 提示：提示：倾斜角越大，直线的斜率就越大倾斜角越大，直线的斜率就越大. 倾斜角与斜率的对应关系倾斜角与斜率的对应关系 图示图示 倾斜角倾斜角 （范围）（范围） 斜率斜率 （范围）（范围） =0 090 =90 900 斜率不存斜率不存 在在 k0 【提升总结提升总结】 下列哪些说法是正确的下列哪些说法是正确的（ ） A A任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B B直线的倾斜角越大，斜率也越大直线的倾斜角越大，斜率也越大 C C平行于平行于x x轴的直线的倾斜角是轴的直线的倾斜角是0 0或或 D D
10、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等 E E两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等 F F过原点的直线，斜率越大，越靠近过原点的直线，斜率越大，越靠近y y轴轴 E 概念辨析概念辨析 123123 , ,图中的直线的斜率的大小 关系为_. l l lkk k l1 l2 l3 132 kkk x y O 思考：思考：已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？ 探究点探究点4 4 两点的斜率公式两点的斜率公式 已知两点已知两点P P1 1（x x1 1 ， ，y y1 1），）， P
11、P2 2（x x2 2 ， ，y y2 2），并且），并且x x1 1 x x2 2， 如何计算直线如何计算直线P P1 1 P P2 2的斜率 的斜率k k 当当 为锐角时，为锐角时， 121212 QPP ,xx ,yy . 在在Rt Rt 中中 12 P P Q 设直线设直线P1 P2的倾斜角为的倾斜角为（ 90），当直线），当直线P1 P2的方向的方向 （即从（即从P1指向指向P2的方向）向上的方向）向上 时，过点时，过点P1作作 x 轴的平行线，轴的平行线， 过点过点P2作作 y 轴的平行线，两线轴的平行线，两线 相交于点相交于点 Q，于是点，于是点Q的坐标的坐标 为（为（ x2，y
12、1 ） 221 12 121 |QP |yy tantanQP P. |PQ|xx tantan(180)tan . 当当 为钝角时，为钝角时， 12 180QP P , 12 xx , 12 yy . 在在Rt Rt 中中 12 P P Q 22121 11221 |QP |yyyy tan. |PQ|xxxx 21 21 yy tan. xx 两点的斜率公式两点的斜率公式 l P1 P2 同样，当同样，当 的方向向上时，也有的方向向上时，也有 21 P P 21 21 yy tan. xx 两点的斜率公式两点的斜率公式 l P1 P2 l 问题问题1 1：已知直线上两点已知直线上两点 ，运
13、用上，运用上 述公式计算直线述公式计算直线 的斜率时，与的斜率时，与 两点坐标两点坐标 的顺序有关吗？的顺序有关吗？ 111222 P (x ,y ),P (x ,y ) AB 12 P ,P 无关无关 两点的斜率公式两点的斜率公式 问题问题2 2：当直线平行于当直线平行于y y 轴，或与轴，或与y y 轴重合时，上述轴重合时，上述 斜率公式还适用吗？为什么？斜率公式还适用吗？为什么？ 不适用不适用,因为分母为零因为分母为零 问题问题3 3：当直线当直线 与与x 轴平行或重合时，上述式子还轴平行或重合时，上述式子还 成立吗？为什么？成立吗？为什么？ 21 P P 经过两点经过两点 的直线的斜率
14、公式为：的直线的斜率公式为： 11122212 P (x ,y ),P (x ,y )(xx ) 21 21 yy tan. xx 成立成立, ,此时为此时为0 0 其中其中x x1 1xx2 2 例例1 1 求过已知两点的直线的斜率：求过已知两点的直线的斜率： （1 1）直线）直线PQPQ过点过点P P（2,32,3），），Q Q（6,56,5）. . （2 2）直线）直线ABAB过点过点A A（- -3,53,5），），B B（4 4，- -2 2）. . 解解: : （1 1）直线）直线PQPQ的斜率的斜率 531 . 622 k （2 2）直线）直线ABAB的斜率的斜率 25 1. 4
15、( 3) k 例例2 2 如图，已知如图，已知A(3A(3，2),B(2),B(- -4 4，1),C1),C（0 0，- -1 1）, ,求求 直线直线ABAB，BCBC，CACA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是的斜率，并判断这些直线的倾斜角是 锐角还是钝角锐角还是钝角 O x y A C B 211 3+47 111 , 42 21 1. 3 解解：， AB BC CA k k k 所以直线所以直线ABAB的倾斜角为锐角，直线的倾斜角为锐角，直线BCBC的倾斜角的倾斜角 为钝角，直线为钝角，直线CACA的倾斜角为锐角的倾斜角为锐角. . 求经过点求经过点A A（- -2 2，0 0），），
16、B B（- -5 5，3 3）两点的直线的斜）两点的直线的斜 率和倾斜角率和倾斜角. . 30 1 5+2 tan1, 0180 . 135. k， 所以 因为 所以 解： 即直线的斜率为即直线的斜率为- -1 1，倾斜角为，倾斜角为 135 . 【变式练习变式练习】 1.1. 下列四个选项中，正确的是（下列四个选项中，正确的是（ ） A.A. 若直线的倾斜角为若直线的倾斜角为，则此直线的斜率为，则此直线的斜率为tan B.B. 若直线的斜率为若直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为，则此直线的倾斜角为 C.C. 任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率任何一条直线都有倾斜角，但不是
17、每一条直线都存在斜率 D.D. 直线的斜率为直线的斜率为 0 0，则此直线的倾斜角为，则此直线的倾斜角为0或或180 2.2. 若直线经过原点和点若直线经过原点和点( (- -3 3, ,- -3 3) )，则直线的倾斜角为（，则直线的倾斜角为（ ） A.A.45 B. B. 135 C. C. 45或或135 D. D.- - 45 C A A. B. C. D. A. B. C. D. 4 4. .经过点经过点 P(2,3P(2,3) )，Q Q（8 8，5 5）的直线的斜率为）的直线的斜率为_. . 5 5. .直线直线 ABAB 过点过点 A(A(- -3,5),B(43,5),B(4
18、，- -2)2), ,则直线的则直线的倾斜角倾斜角为为_. . 6 6. .若三点若三点 A(2,3),A(2,3),( ,4),(8, )B aCa共线共线, ,则实数则实数a=_=_. . 135 0或0或5 5 1 3 3 3若直线的倾斜角为若直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为（，则直线的斜率为（ ） 3 120 3 3 3 3 3 B B . . 7.7.经过经过P P（0 0，- -1 1）作直线）作直线l，若直线，若直线l与连接与连接A A（1 1， - -2 2），），B B（2,12,1）的线段总有公共点，求直线）的线段总有公共点，求直线l的倾斜角的倾斜角 与斜率的范围与斜率的范围. . P A B x y 0000 2( 1) 1, 1 0 1 ( 1) 1, 20 045135180 ; PA PB k k l lk 如图所示： 由图可观察出： 直线 倾斜角 的范围是和 直线 的斜率 的范围是 解： -1,1. 1.1.直线的倾斜角及范围直线的倾斜角及范围. . 2.2.直线的斜率及范围直线的斜率及范围. . 3.3.直线的斜率公式直线的斜率公式. .
