1、第2课时 点到直线的距离公式 小伟家小伟家 小伟家住在公路的一侧，最近他爸爸买了一辆轿车，他小伟家住在公路的一侧，最近他爸爸买了一辆轿车，他 家为了方便准备修一条水泥路和公路连接，请问怎样修家为了方便准备修一条水泥路和公路连接，请问怎样修 才能使他家距离公路最近，请画出所修的路线才能使他家距离公路最近，请画出所修的路线.你认为哪你认为哪 种方案最节省材料？你的理由是什么？种方案最节省材料？你的理由是什么？ 最短距离应是垂线段最短距离应是垂线段ABAB，所画的这条线段我们给它，所画的这条线段我们给它 起了一个名字，叫作起了一个名字，叫作点到直线的距离！我们本点到直线的距离！我们本 节课来研究它！
2、节课来研究它！ 小伟家小伟家 A B 1.1.知道点到直线的距离公式的推导过程知道点到直线的距离公式的推导过程. . （重点）（重点） 2 2. .会利用点到直线的距离公式求点到直线的距离会利用点到直线的距离公式求点到直线的距离. . （难点难点） 3 3. .会求两条平行直线之间的距离会求两条平行直线之间的距离. . 思考思考1 1：平行四边形的面积公式平行四边形的面积公式 是什么？是什么？ O x y ( 1,3)A (3, 2)B (6, 1)C (2,4)D 思考思考2 2：如图如图, ,如何计算平行如何计算平行 四边形四边形ABCDABCD的面积？的面积？什么量什么量 可以先求出来？
3、可以先求出来？ 底乘以高底乘以高 提示：提示：由两点间的距离公式可求得由两点间的距离公式可求得 41.AB 只要知道边上的高，即点（或点）到直线只要知道边上的高，即点（或点）到直线 的距离，就能求出四边形的面积的距离，就能求出四边形的面积 思考思考3 3：如何计算点如何计算点( (，) )到直线到直线AB:5AB:5x+4+4y- -7=07=0 的距离呢？的距离呢？ 提示：提示：过点作过点作，垂，垂 足为，则点到直线的距足为，则点到直线的距 离就是线段的长离就是线段的长 通过求点的坐标，用两点间通过求点的坐标，用两点间 的距离公式求的距离公式求 O x y ( 1,3)A (3, 2)B (
4、2,4)D 5x+4y-7=0 4 4用两点间的距离公式，求出点到的距离用两点间的距离公式，求出点到的距离 22 138819 (2)(4). 414141 DE 1 1由由，可知所在直线的斜率为，可知所在直线的斜率为 4 . 5 2 2求出的方程即求出的方程即4x4x- -5y+12=0.5y+12=0. 3.3.由和所在直线的方程由和所在直线的方程 5 5x+4+4y- -7=07=0， 4 4x- -5 5y+12=0+12=0， 得垂足的坐标得垂足的坐标 13 88 (,) 41 41 Q P y x o l 思考：思考：已知点已知点P P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )和直线
5、和直线l:Ax+By+C=0, :Ax+By+C=0, 怎样怎样 求点求点P P到直线到直线l的距离的距离? ? 如图，如图，P P到直线到直线l的距离，就是指从点的距离，就是指从点P P到直线到直线l的的垂线段垂线段 PQPQ的长度，其中的长度，其中Q Q是垂足是垂足. . 当当A=0A=0或或B=0B=0时时, ,直线方程为直线方程为y=y1或或x=x1的形式的形式. . x y o x=x1 P(x0,y0) - 01 PQyy - 01 PQxx y o y=y1 p(x0,y0) x Q(x0,y1) Q(x1,y0) (1)(1)点点P(P(- -1,2)1,2)到直线到直线3 3
6、x=2=2的距离是的距离是_._. (2)(2)点点P(P(- -1,2)1,2)到直线到直线3 3y=2=2的距离是的距离是_._. 练一练练一练 5 3 4 3 直线直线 的方程的方程 l 直线直线 的斜率的斜率 l lPQ 直线直线 的方程的方程 l 直线直线 的方程的方程 PQ 交点交点 PQ点点 之间的距离之间的距离 （ 到到 的距离）的距离） P Q,Pl 点点 的坐标的坐标 P 直线直线 的斜率的斜率 PQ 点点 的坐标的坐标 P点点 的坐标的坐标 Q 两点间距离公式两点间距离公式 x y O Pl Q 下面设下面设A0,B 0, A0,B 0, 我们进一步探求点到直线的距我们进
7、一步探求点到直线的距 离公式离公式: : 思路思路1 1： 若直线不平行于坐标轴若直线不平行于坐标轴( (即即A 0且且B0) ), ,由由 0AxByC 可得它的斜率是可得它的斜率是 , A B 直线的方程是直线的方程是 00 (), B yyxx A 00, BxAyBxAy即即与与 0AxByC联立，解得联立，解得 2 00 22 , B xAByAC x AB 2 00 22 A yABxBC y AB 22 0000 2222 y (,) B xAByACAABxBC Q ABAB 22 220000 002222 |()() B xAByACA yABxBC PQxy ABAB 2
8、222 0000 222222 ()() ()() AAxByCBAxByC ABAB 00 22 AxByC AB Q y x l O 0 ,)y 0 P(x 10 ( ,)N x y 01 (,)M xy 一般地，对于直线一般地，对于直线 0 :0(0,0),),l AxByCABy 0 外一点P(x ,PPQlQPyx过点 作垂足为过点 分别作 轴 轴的平行线 l 0110 交直线 于点（，）,（，） 思路思路2 2：三角形的面积公式：三角形的面积公式 y x l Q O 0 ,)y 0 P(x 01 (,)M xy 10 ( ,)N x y 001 0,0,ByCAxByC 1 由 A
9、x 00 1 ,. ByCAxC y AB 1 得 x 00 10 . AxByC xx A 所以 PN 00 10 AxByC PMyy B PQPQ是是RtRt PMNPMN斜边上的高斜边上的高, ,由三角形面积可知由三角形面积可知 00 2222 . PMPNPMPNAxByC PQ MN AB PMPN 由此我们得到，由此我们得到， :0l AxByC 的距离的距离 00 22 . AxByC d AB 点到直线的距离公式点到直线的距离公式 00 (,)P x y点点 到直线到直线 直线方程为直线方程为 一般式一般式 例例1 1.(1).(1)求原点到直线求原点到直线l1 1:5x:5
10、x- -12y12y- -9=09=0的距离；的距离； (2)(2)求点求点P(P(- -1,2)1,2)到到直线直线l2 2:2x+y:2x+y- -10=010=0的距离的距离. . 分析：分析：根据点到直线的距离公式求解根据点到直线的距离公式求解 22 |501209|9 ; 13 5( 12) d ? = + - 解解: : (1)(1)原点到直线原点到直线l1的的的距离的距离 22 |2 ( 1)210| 2 5. 21 d ?+- = + (2)(2)点点P P到直线到直线l2 2的的距离距离 求下列点到直线的距离：求下列点到直线的距离： (1)(0,0),3x(1)(0,0),3
11、x- -2y+4=0 (2)(2,2y+4=0 (2)(2,- -3),x=y3),x=y 答案答案: : (1) (2)(1) (2) 5 2 2 4 13 13 【变式练习变式练习】 例例2.2.用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点 到两腰的距离之差等于一腰上的高到两腰的距离之差等于一腰上的高. . 证明：证明：在在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，P P 为为BCBC延长线上一点，延长线上一点，PDPDABAB于于 D D，PEPEACAC于于E E，CFCFABAB于于F.F.以以 BCBC所在直线为所在直线为x轴，以轴，以BCBC的
12、中的中 垂线为垂线为y y轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系 如图如图. . y A D F B O C E P x 设设A(0,b),BA(0,b),B（- -a,0),C(a,0)(a0,b0),a,0),C(a,0)(a0,b0),则直线则直线ABAB方方 程为程为bx-ay+ab=0,=0,直线直线ACAC方程为方程为bx+ay- -ab=0,ab=0,取取 P(xP(x0 0,0),0),使使x0a,a, 则点则点P P到直线到直线ABAB，ACAC的距离分别为的距离分别为 00 2222 |0| |, bxabbxab PD abab -+ = + 00 2222 |0| |.
13、bxabbxab PE abab +- = + 则点则点C C到直线到直线ABAB的距离为的距离为 2222 |2 |, ababab CF abab + = + 22 2 |. ab PDPECF ab -= + 则则 由线到线的距离由线到线的距离 点到线的距离点到线的距离 分析：分析： 例例 3.两平行直线两平行直线 12 ,l l分别过分别过(1,0)A与与(0,5)B，若，若 1 l与与 2 l的的 距离为距离为 5，求这两直线方程，求这两直线方程. 解：解：显然，直线 12 ,l l均不与 x 轴垂直.设 1 l的方程为(1)yk x=-， 即0kxyk-=，则点 B 到 1 l的距
14、离为 2 |5| 5 1 k k + = + , 所以 k=0 或 5 12 k =. 当 k=0 时， 1 l的方程为0y =, 2 l的方程为 y=5. 当 k= 5 12 时， 1 l的方程为51250xy-=, 2 l的方程为 5 5 12 yx=+. 故所求两直线方程分别为 12 :0,:5lyly=; 或 12 :51250,:512600lxylxy-=-+=. 一般地，已知两条平行直线一般地，已知两条平行直线 22 :0lAxByC 11 :0lAxByC 12 ().CC 00 (,)P xy 2 l 设设 是直线是直线 上任意一点，上任意一点， 002 0AxByC 则则
15、002. AxByC 即即 于是点于是点 00 (,)P xy 到直线到直线 11 :0lAxByC 的距离的距离 00112 2222 AxByCCC d ABAB 2 l 1 l 就是直线就是直线 和和 的距离的距离 注意：注意：两条直线的未知量的系数相同才能使用上式两条直线的未知量的系数相同才能使用上式 思考：思考：直角坐标系中两条平行直线的距离如何求呢？直角坐标系中两条平行直线的距离如何求呢？ 【变式练习变式练习】 求下列两条平行直线的距离：求下列两条平行直线的距离： (1) 3(1) 3x- -2 2y- -1=0,31=0,3x- -2 2y+6=0 +6=0 (2) (2) x+
16、2+2y=0,2=0,2x+4+4y- -7=07=0 22 |0( 7)|7 5 (2) 10 24 - = + 解析解析: :(1)(1) 22 |6( 1)|7 13 13 3( 2) - = + - 1.1.若直线若直线3x+4y3x+4y- -3=03=0与直线与直线6x+my+2=06x+my+2=0平行，则它们平行，则它们 之间的距离为（之间的距离为（ ） A.1 B. 1 2 4 5 2 5 D. A.2x+y=0 B.2x+yA.2x+y=0 B.2x+y- -2=02=0 C.2x+y=0C.2x+y=0或或2x+y+2=0 D. 2x+y=02x+y+2=0 D. 2x+
17、y=0或或2x+y2x+y- -2=02=0 C. D D 2.2.与直线与直线2x+y+1=02x+y+1=0平行且距离等于平行且距离等于 的直线方程的直线方程 为（为（ ） C C 5 5 3.3.求点求点( (- -1,3)1,3)到直线到直线3 3x+4+4y- -5=05=0的距离的距离. . 22 |( 1)( 6)| 1 34 - = + 22 |3 ( 1)3 45|4 5 34 ?+ ? = + 4.4.求两条平行直线求两条平行直线3 3x+4+4y- -1=01=0与与3 3x+4+4y- -6=06=0之间的距离之间的距离. . 5.5.已知点已知点P P（2 2，- -
18、1 1）, ,求下列问题：求下列问题： （1 1）过点）过点P P且与原点距离为且与原点距离为2 2的直线的方程的直线的方程. . （2 2）过点）过点P P且与原点距离最大的直线且与原点距离最大的直线l的方程，最大的方程，最大 距离是多少？距离是多少？ （3 3）是否存在过点）是否存在过点P P且与原点距离为且与原点距离为6 6的直线的方程？的直线的方程？ 若存在，求出方程；若不存在，请说明理由若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. . 2 12; +1= (2),1 20. 213 2,.34100. 4 1 234100. x lyk xkxyk k klxy k lxxy （）若斜率
19、不存在，其方程为 若斜率存在，设 的方程为即 由已知，得解得的方程为 综上，直线 的方程为或 解： (2) 1 ,1,2. lOPl OP POPPO lOPk kk k 作图可得过 点与原点 距离最大的直线是过点 且与垂直的直线， 由得所以 12(2),250. 250 -5 = 5. 5 yxxy xyPO 所以直线方程为即 即直线是过点 且与原点 距离最大的直线， 最大距离为 325P PO （ ）由（ ）可知，过 点不存在到原点距离超过的直线，因此不 存在过点 且与原点 距离为6的直线. 平面内的几种距离公式小结平面内的几种距离公式小结 平面上平面上 的距离的距离 两点间的距离两点间的距离 点到直线的距离点到直线的距离 两条平行线间的距离两条平行线间的距离 22 122121 PP(xx )(yy ) 00 22 Ax +By +C d A +B 21 22 C -C d A +B
