1、1 1 研究任务：流体在静止状态下的平衡规律及其应用。根据平研究任务：流体在静止状态下的平衡规律及其应用。根据平衡条件研究静止状态下压力的分布规律，进而确定静止流体作衡条件研究静止状态下压力的分布规律，进而确定静止流体作用在各种表面的总压力大小、方向、作用点。用在各种表面的总压力大小、方向、作用点。2 2 静止：是一个相对的概念，流体质点对建立的坐标系没有相静止：是一个相对的概念，流体质点对建立的坐标系没有相对运动。对运动。绝对静止：流体整体相对于地球没有相对运动。绝对静止：流体整体相对于地球没有相对运动。重力重力压力压力 相对静止：流体整体（如装在容器中）对地球有相对运动，相对静止：流体整体
2、（如装在容器中）对地球有相对运动，但液体各部分之间没有相对运动。但液体各部分之间没有相对运动。重力重力压力压力重力重力直线惯性力直线惯性力压力压力质量力质量力重力重力离心惯性力离心惯性力压力压力共同点：不体现粘性，无切应力共同点：不体现粘性，无切应力3 3 适用范围：理想流体、实际流体适用范围：理想流体、实际流体4 4 主要内容：主要内容：流体平衡微分方程式流体平衡微分方程式 静力学基本方程式（重点）静力学基本方程式（重点）等压面方程（测压计）等压面方程（测压计）作用于平面和曲面上的力（难点）作用于平面和曲面上的力（难点）一、一、基本概念基本概念 1、流体静压强：静止流体作用在单位面积上的力。
3、流体静压强：静止流体作用在单位面积上的力。设微小面积设微小面积上的总压力为上的总压力为 ，则，则P平均静压强：平均静压强：APp点静压强：点静压强：APpAlim0AP即流体单位面积上所受的垂直于该表面上的力。单位：即流体单位面积上所受的垂直于该表面上的力。单位：N/mN/m2 2 (Pa)(Pa)1 1、2 2、总压力：作用于某一面上的总的静压力。总压力：作用于某一面上的总的静压力。P P 单位：单位：N N(牛牛)国际单位：国际单位：N/mN/m2 2PaPa物理单位：物理单位：dyn/cmdyn/cm2 2 1N=10 1N=105 5dyn dyn，1Pa=10 dyn/cm1Pa=1
4、0 dyn/cm2 2工程单位：工程单位：kgf/mkgf/m2 2混合单位：混合单位：1kgf/cm1kgf/cm2 2=1at(=1at(工程大气压工程大气压)1atm()1atm(标准大气压标准大气压)1 at=1 kgf/cm1 at=1 kgf/cm2 2=9.8=9.810104 4Pa=10mPa=10m水柱水柱1atm1atm1.0131.01310105 5PaPa10.3 m10.3 m水柱水柱1、1 1、静压强作用方向永远沿着作用面内法线方向静压强作用方向永远沿着作用面内法线方向方方向特性。向特性。（垂直并指向作用面）（垂直并指向作用面）证明：证明：反证法证明之。反证法证
5、明之。2-1 流体静压强及其特性流体静压强的两个特性流体静压强的两个特性n 特性一：流体静压特性一：流体静压强的作用方向沿作用强的作用方向沿作用面的内法线方向面的内法线方向有一静止流体微团，用任意平面将其切割为两部分，取阴影部有一静止流体微团，用任意平面将其切割为两部分，取阴影部分为隔离体。设切割面上任一点分为隔离体。设切割面上任一点m m处静压强方向不是内法线方处静压强方向不是内法线方向，则它可分解为和切应力。而静止流体既不能承受切应力，向，则它可分解为和切应力。而静止流体既不能承受切应力，也不能承受拉应力，如果有拉应力或切应力存在，将破坏平衡，也不能承受拉应力，如果有拉应力或切应力存在，将
6、破坏平衡，这与静止的前提不符。所以静压强的方向只能是沿着作用面内这与静止的前提不符。所以静压强的方向只能是沿着作用面内法线方向。法线方向。1、2 2、静止流体中任何一点上各个方向的静压强大小相等，而与静止流体中任何一点上各个方向的静压强大小相等，而与作用面的方位无关，即只是位置的函数作用面的方位无关，即只是位置的函数=(x,y,z)=(x,y,z)大小特性。（各向相等）大小特性。（各向相等）证明思路：证明思路：1 1、选取研究对象（微元体）、选取研究对象（微元体）2 2、受力分析（质量力与表面力）、受力分析（质量力与表面力）3 3、导出关系式、导出关系式 4 4、得出结论、得出结论1、选取研究
7、对象（微元体）、选取研究对象（微元体）从静止流体中取出一微小四面体从静止流体中取出一微小四面体OABCOABC，其坐标如图，三个垂直，其坐标如图，三个垂直边的长度分别为边的长度分别为dxdx、dydy、dzdz，设，设、（、（n n方向是任意方向是任意的）分别表示作用在的）分别表示作用在OACOAC、OBCOBC、OABOAB、ABCABC表面上的静压强，与表面上的静压强，与x x、y y、z z轴的夹角为轴的夹角为、。xpypzpnp2 2、受力分析（质量力与表面力）、受力分析（质量力与表面力）流体微元所受力分为两类：表面力和质量力。流体微元所受力分为两类：表面力和质量力。（1 1）表面力）
8、表面力表面力与作用面的面积成正比。作用在表面力与作用面的面积成正比。作用在OACOAC、OBCOBC、OABOAB、ABCABC面上的总压力分别为：（特性一：垂直并指向作用面）面上的总压力分别为：（特性一：垂直并指向作用面）dydzpPxx21dxdzpPyy21dxdypPzz21dApSpPnABCnn（2 2）质量力）质量力质量力与微元体的体积成正比。质量力与微元体的体积成正比。四面体的体积：四面体的体积：dxdydzVOABC61四面体的质量：四面体的质量：dxdydzM61设单位质量流体的质量力在坐标轴方向上的分量为设单位质量流体的质量力在坐标轴方向上的分量为X X、Y Y、Z Z，
9、则质量力则质量力F F在坐标轴方向的分量是：在坐标轴方向的分量是：XdxdydzFx61YdxdydzFy61ZdxdydzFz61 0F因流体微团平衡，据平衡条件因流体微团平衡，据平衡条件 ，其各方向，其各方向作用力之和均为零。作用力之和均为零。则在则在x x方向上，有：方向上，有：0),cos(xnxFxnPP将上面各表面力、质量力表达式代入后得将上面各表面力、质量力表达式代入后得061cos21XdxdydzdApdydzpnx又 即为即为ABCABC在在yozyoz平面上的投影面积，平面上的投影面积，cosdAdydzpdApnn21cos0612121Xdxdydzdydzpdydz
10、pnx031Xdxppnx则当则当dxdx、dydy、dzdz趋于零时也就是四面体缩小到趋于零时也就是四面体缩小到o o成为一个质点时，成为一个质点时，有：有：nxpp 同理：nypp nzpp nzyxpppp4、得出结论、得出结论 因因n n方向是任意选定的，故上式表明，静止流体中同一点各个方向是任意选定的，故上式表明，静止流体中同一点各个方向的静压强均相等。在连续介质中，方向的静压强均相等。在连续介质中，p仅是位置坐标的连续仅是位置坐标的连续函数函数p=p(x,y,z).=p(x,y,z).同一点受力各向相等，但位置不同，同一点受力各向相等，但位置不同，大小不同。呈什么关系？大小不同。呈
11、什么关系？第二节第二节中讨论中讨论说明：以上特性不仅适用于流体内部，而且也适用于流体与说明：以上特性不仅适用于流体内部，而且也适用于流体与固体接触的表面。如：固体接触的表面。如：2-2 流体平衡微分方程式一、方程式的建立一、方程式的建立它是流体在平衡条件下，质量力与表面力所满足的关系式。它是流体在平衡条件下，质量力与表面力所满足的关系式。l l 根据流体平衡的充要条件，静止流体受的所有力在各个坐根据流体平衡的充要条件，静止流体受的所有力在各个坐标轴方向的投影和都为零，可建立方程。标轴方向的投影和都为零，可建立方程。0ifl 方法：微元分析法。在流场中取微小六面体，其边长为方法：微元分析法。在流
12、场中取微小六面体，其边长为dxdx、dydy、dzdz，然后进行受力分析，列平衡方程。，然后进行受力分析，列平衡方程。2-2 流体平衡微分方程式以以x x轴方向为例，如图所示轴方向为例，如图所示 1 1、取研究对象、取研究对象微元体：无穷小平行六面体，微元体：无穷小平行六面体，dxdx、dydy、dzdz 0 0 微元体中心：微元体中心：A(x,y,z)A(x,y,z)A A1 1点坐标：点坐标：A A1 1(x-dx/2(x-dx/2，y y，z)z)A A2 2点坐标：点坐标：A A2 2(x+dx/2(x+dx/2，y y，z)z)2 2、受力分析、受力分析（1 1）表面力）表面力 设设
13、A A 处压强：处压强：p p(x(x，y y，z)z)因压强分布是坐标的连续函数，则因压强分布是坐标的连续函数，则A A1 1点、点、A A2 2点的压强点的压强p p1 1、p p2 2可按泰勒级可按泰勒级数展开，数展开，nnndxxpndxxpdxxpzyxpzydxxp2!12212,22221略去二阶以上无穷小量，得到略去二阶以上无穷小量，得到A A1 1、A A2 2处的压强分别为：处的压强分别为：22dxxppp21dxxppp则表面力在则表面力在x x方向的合力为：方向的合力为：dzdydxxpdzdydxxppdxxppdzdypp2221（2 2）质量力）质量力微元体质量：
14、微元体质量：M Mdxdydzdxdydz设作用在单位质量流体的质量力在设作用在单位质量流体的质量力在x x方向上的分量为方向上的分量为X X。则质量力在则质量力在x x方向的合力为：方向的合力为：X Xdxdydzdxdydz3、导出关系式：、导出关系式：对微元体应用平衡条件对微元体应用平衡条件，则，则 0F0dxdydzxpdxdydzX4、结论：、结论：01xpX同理，在同理，在y y和和z z方向可求得：方向可求得：01ypY01zpZ 欧拉平衡微分方程式欧拉平衡微分方程式X X、Y Y、Z Z单位质量力在单位质量力在x x、y y、z z轴方向的分量轴方向的分量 xp1yp1zp1单
15、位质量流体所受的表面力在单位质量流体所受的表面力在x x、y y、z z轴方向上的分量轴方向上的分量说明：说明：公式的物理意义：公式的物理意义：平衡流体中单位质量流体所受的质量力与表面力在三个坐标轴方向平衡流体中单位质量流体所受的质量力与表面力在三个坐标轴方向的分量的代数和为零。的分量的代数和为零。2 2）公式适用条件：）公式适用条件：理想流体、实际流体；绝对、相对静止；可压缩与不可压缩流体。理想流体、实际流体；绝对、相对静止；可压缩与不可压缩流体。二、方程的积分（压强分布公式）二、方程的积分（压强分布公式）1 1、利用、利用EulerEuler平衡微分方程式求解静止流体中静压强的分布，可将平
16、衡微分方程式求解静止流体中静压强的分布，可将EulerEuler方程分别乘以方程分别乘以dxdx，dydy，dzdz，然后相加，得，然后相加，得)(ZdzYdyXdxdzzpdyypdxxp因为因为 p pp p（x x，y y，z z），所以上式等号左边为压强），所以上式等号左边为压强p p的全微分的全微分dpdp，则上，则上式可写为式可写为 )(ZdzYdyXdxdp2 2、势函数（力函数）、势函数（力函数）对于不可压缩流体：对于不可压缩流体：constconst因为因为式左边是压强式左边是压强p p的全微分，从数学角度分析，方程式的右边也的全微分，从数学角度分析，方程式的右边也应该是某个
17、函数应该是某个函数U U(x,y,zx,y,z)的全微分，即：的全微分，即：dUZdzYdyXdx又因为又因为 dzzUdyyUdxxUdU则有 xUXyUYzUZ该函数该函数 U U(x,y,zx,y,z)称为势函数。称为势函数。显然，显然，U U(x,y,zx,y,z)在在 x x，y y，z z 方向的偏导数正好等于单位质量力分方向的偏导数正好等于单位质量力分别在各坐标轴上的投影。因为在所有的空间上的任一点都存在质量力，别在各坐标轴上的投影。因为在所有的空间上的任一点都存在质量力，因此，这个空间叫质量力场或势力场。因此，这个空间叫质量力场或势力场。（）（）dzzUdyyUdxxUdU代入
18、代入式得式得 dUdp所以 CUp令令pp0时，时，UU0，则则Cp0U000UUpp（）帕斯卡（帕斯卡（PascalPascal）定律：）定律：在平衡状态下的不可压缩流体中，作用在其边界上的压力，将等值、在平衡状态下的不可压缩流体中，作用在其边界上的压力，将等值、均匀地传递到流体的所有各点。均匀地传递到流体的所有各点。三、等压面三、等压面1 1、定义：同种连续静止流体中，静压强相等的点组成的面。、定义：同种连续静止流体中，静压强相等的点组成的面。（p pconstconst）2 2、方程：、方程：)(ZdzYdyXdxdp由由 pconstdp00ZdzYdyXdx3 3、等压面性质等压面性
19、质 等压面就是等势面。因为等压面就是等势面。因为 。作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面。作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面。dUdp 等压面不能相交等压面不能相交 相交相交 一点有一点有2 2个压强值：错误个压强值：错误 绝对静止流体的等压面是水平面绝对静止流体的等压面是水平面X XY Y0 0，Z Zg +g +性质性质 两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面证明：在分界面上任取两点证明：在分界面上任取两点A A、B B，两点间势差为，两点间势差为dUdU，压差，压差为为dpdp。因为它们同属于两种流体，设
20、一种为。因为它们同属于两种流体，设一种为1 1，另一种为，另一种为2 2，则有：，则有：dpdp 1 1 dUdU 且且 dpdp 2 2 dUdU因为因为 1 1 2 20 0所以所以 只有当只有当dpdp、dUdU均为零时，方程才成立。均为零时，方程才成立。说明：说明：等压面可能是水平面、斜面、曲面、分界面。等压面可能是水平面、斜面、曲面、分界面。2-3 重力场中流体的平衡流体静力学基本方程式 cgzp1cgpz0yxffgfzgdzdp或2-3 重力场中流体的平衡gpzgpz2211静力学基本方程形式之一静力学基本方程形式之一 2-3 重力场中流体的平衡物理意义物理意义在重力作用下，静止
21、的不在重力作用下，静止的不可压缩流体中单位重量流可压缩流体中单位重量流体的总势能保持不变体的总势能保持不变phzgpzgphp2-3 重力场中流体的平衡几何意义几何意义在重力作用下，静止的不可压缩流体的静水头线和计示静水头线均为水平线2-3 重力场中流体的平衡帕斯卡原理 gphzgpz0ghpp0静压强静压强 1自由表面的压强自由表面的压强 2 淹深为淹深为 、密度为、密度为 的流体柱产生的压强的流体柱产生的压强hgh静力学基本方程形式之二。静力学基本方程形式之二。推广：已知某点压强求任一点压强推广：已知某点压强求任一点压强 hpp12（3）（3 3）静止流体中，压强随深度呈线性变化）静止流体
22、中，压强随深度呈线性变化用几何图形表示受压面上压强随深度而变化的图，称为压强分用几何图形表示受压面上压强随深度而变化的图，称为压强分布图。布图。大小：静力学基本方程式大小：静力学基本方程式 方向：垂直并且指向作用面（特性一）方向：垂直并且指向作用面（特性一）2-3 重力场中流体的平衡绝对压强绝对压强：以完全真空为基准计量的压强：以完全真空为基准计量的压强计示压强计示压强：以当地大气压强为基准计量的：以当地大气压强为基准计量的压强压强真空真空：ghppaghpppaeppppaev注：注：只有当时只有当时，才用真空度的概念，才用真空度的概念 气体的压强都是绝对压强气体的压强都是绝对压强 尽可能用
23、表压：尽可能用表压：p pa a在液体内部等值传递的在液体内部等值传递的0表p2-3 重力场中流体的平衡换算 工程大气压工程大气压标准大气压标准大气压巴巴Pa41080665.9Pa51001325.1Pa510静力学基本方程式的意义静力学基本方程式的意义 Cpz1 1、几何意义几何意义z位置水头：该点到基准面的高度。位置水头：该点到基准面的高度。p压力水头压力水头:该点压强的液柱高度。该点压强的液柱高度。pz 测压管水头：为一常量测压管水头：为一常量静止流体中各点的测压管水头是一个常数静止流体中各点的测压管水头是一个常数2-3 重力场中流体的平衡液柱式测压计 测压管测压管 appghppag
24、hpeappghppaghpv2-3 重力场中流体的平衡液柱式测压计 U形管测压计形管测压计 2211ghpghpaapp1122ghghppa1122ghghpe2-3 重力场中流体的平衡液柱式测压计 U形管测压计形管测压计 app1122ghghppa1122ghghpv2-3 重力场中流体的平衡液柱式测压计 测量压差测量压差 ghghpghpBA22111hghghhgpppBA12112122-3 重力场中流体的平衡液柱式测压计 倾斜式微压计倾斜式微压计 12pp 212AAlh sin1lh 2121sinAAlhhhkllAAgghppp2112sink微压计系数微压计系数，0.2
25、、0.3、0.4、0.6、0.82-4 液体的相对平衡水平直线等加速运动容器中液体的相对平衡 静压强的分布规律静压强的分布规律 代入公式代入公式 X-a，Y0，Z-g)(ZdzYdyXdxdp)(gdzadxdp2-4 液体的相对平衡令令dpdp0 0，则，则:积分得 gaarctg倾斜角为 水平直线等加速运动容器中液体的相对平衡结论：结论：a.a.等压面是一簇平行斜平面等压面是一簇平行斜平面b.b.等压面与等压面与x x轴夹角为轴夹角为 ：（等压面与：（等压面与重力和惯性力的合力垂直）重力和惯性力的合力垂直）adx+gdz0Cgzax 等压面方程等压面方程 2-4 液体的相对平衡 自由液面自
26、由液面：x0，z0 C0得 xgazs水平直线等加速运动容器中液体的相对平衡则自由液面方程为：则自由液面方程为：0sgzaxz zs s自由液面上点的自由液面上点的z z坐标坐标 静压强分布静压强分布 设设constconst，对（，对（1 1）式积分，得）式积分，得 Cgzaxp)(由边界条件：由边界条件：x x0 0，z z0 0时，时，p pp p0 0得：得：C Cp p0 0则：则：)(0gzaxpphpzzpzxgagpps000)()(符合静力学基本方程式符合静力学基本方程式 例例1 1：如图，汽车上有一长方形水箱，高：如图，汽车上有一长方形水箱，高H H1.2m1.2m，长，长
27、L L4m4m，水箱，水箱顶盖中心有一供加水用的通大气压孔，试计算当汽车以加速度为顶盖中心有一供加水用的通大气压孔，试计算当汽车以加速度为3m/s3m/s2 2向前行驶时，水箱底面上前后两点向前行驶时，水箱底面上前后两点A A、B B的静压强（装满水）。的静压强（装满水）。解：解：分析：自由液面在哪里？分析：自由液面在哪里？水箱处于顶盖封闭状态，当加速水箱处于顶盖封闭状态，当加速时，液面不变化，但由于惯性力而引时，液面不变化，但由于惯性力而引起的液体内部压力分布规律不变，自起的液体内部压力分布规律不变，自由液面仍为一倾斜平面，符合由液面仍为一倾斜平面，符合 0sgzax等压面与等压面与x x轴
28、方向之间的夹角轴方向之间的夹角 gatgPaLtgHhpAA177552PaLtgHhpBB576022-4 液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡 二、等角速旋转容器中液体的相对平衡二、等角速旋转容器中液体的相对平衡1 1、问题描述：、问题描述：容器以容器以角速度绕轴旋转时，由于粘性角速度绕轴旋转时，由于粘性作用，靠近壁处流体首先被带动旋转，作用，靠近壁处流体首先被带动旋转，平衡后，各流体质点具有相同的角速平衡后，各流体质点具有相同的角速度，此时，液体与容器一起旋转。相度，此时，液体与容器一起旋转。相对于作等角速运动的圆桶而言，流体对于作等角速运动的圆桶而言，流体处于相对平衡状态。处于
29、相对平衡状态。2-4 液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡 受力分析：液体中任一质点所受的质量力有受力分析：液体中任一质点所受的质量力有 重力重力 ：G G 惯性力：惯性力：F F，且，且 F Fmwmw2 2r r 则则 随随 r r 增大而增大。增大而增大。FGR2 2、压强分布、等压面方程、压强分布、等压面方程 坐标固定在容器上，坐标原点坐标固定在容器上，坐标原点O O在旋转轴与自由液面的交点，在旋转轴与自由液面的交点，z z轴竖轴竖直向上。直向上。因为因为 （力）（力）rMF2所以所以 （单位质量力）（单位质量力）rMFf2所以所以 （1 1）xrfXx22cos2-4 液体的
30、相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡 （2）yrfYy22singZ（3 3）把（把（1 1）、（）、（2 2）、（）、（3 3）式代入）式代入EulerEuler方程的积分式方程的积分式)()(22gdzydyxdxZdzYdyXdxdp 等压面方程等压面方程令（令（4 4）式）式dpdp0 0，得，得022gdzydyxdxCgdzyx222221所以得等压面方程所以得等压面方程 Cgzr2221结论：等压面是一簇绕结论：等压面是一簇绕z z轴旋转的抛物面。轴旋转的抛物面。（4）2-4 液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡 自由液面方程自由液面方程 对于自由液面，对于自由液面，r
31、 r0 0，z z0 0得得 C C0 0 则得到自由液面方程则得到自由液面方程 02122sgzr（7）grzs222（7）z zs s为水面高出为水面高出xoyxoy平面的垂直距离。平面的垂直距离。2-4 液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡 流体静压强分布流体静压强分布 不可压不可压constconst，积分（，积分（4 4）式得：）式得：Cgzyxp)22(2222Czgrp)2(22代入边界条件：代入边界条件：r r0 0，z z0 0时，时，p pp p0 0 得：得：C Cp p0 0hpzzpzgrpps00220)()2(结论：在同一高度上，其静压强沿径向按二次方增长
32、。结论：在同一高度上，其静压强沿径向按二次方增长。2-4 液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡 例例1 1：（1 1）装满液体容器在顶盖中心处开口的相对平衡）装满液体容器在顶盖中心处开口的相对平衡分析：容器内液体虽然借离心惯性力向外分析：容器内液体虽然借离心惯性力向外甩，但由于受容器顶限制，液面并不能形甩，但由于受容器顶限制，液面并不能形成旋转抛物面，但内部压强分布规律不变：成旋转抛物面，但内部压强分布规律不变：Czgrp)2(22（不能体现绝压、表压）（不能体现绝压、表压）作用于顶盖上的压强：作用于顶盖上的压强：（表压）（表压）grp222（2 2）装满液体容器在顶盖边缘处开口的相对
33、平衡）装满液体容器在顶盖边缘处开口的相对平衡 压强分布规律：压强分布规律：Czgrp)2(22边缘边缘A、B处：处：rR，z0时，时，p0 gRC222作用于顶盖上的压强：作用于顶盖上的压强：2222rRgp例例2：已知：已知：r r1 1，r r2 2，h h求：求：0 0解：解：0212120szgr0222220szgrhzzss12212202rrhg因为因为 所以所以 2-4 液体的相对平衡特例一 顶盖中心开口的旋转容器（离心式铸造机）zgrppa2220z222rpe0r0epRr 222Rpe等角速旋转容器中液体的相对平衡 2-4 液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡 特
34、例二 顶盖边缘开口的旋转容器（离心式水泵、离心式风机）Czgrgp2222-4 液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡 特例二 边界条件 0zRr app 222RpCa时得zgrRgppa2222气罐、锅炉、水池等盛装流体的结构物在结构气罐、锅炉、水池等盛装流体的结构物在结构设计时需要计算作用于结构物表面上的流体静设计时需要计算作用于结构物表面上的流体静压力？压力？结构物表面分平面和曲面两种情况。结构物表面分平面和曲面两种情况。2-5静止液体作用在平面上的总压力 作用面上的总压力作用面上的总压力1 1 解决问题：力的大小、方向、作用点解决问题：力的大小、方向、作用点2 2 预备知识预备
35、知识hpp0pdAdP AyydAcAdAyJx2AyJJccx2面积矩面积矩 惯性矩惯性矩 移轴定理移轴定理 力矩原理力矩原理平行力系合成平行力系合成微积分微积分3 3 作用面：作用面：平面：平面：水平、垂直、倾斜水平、垂直、倾斜 曲面：曲面：二向（柱面）、三向（球面）二向（柱面）、三向（球面）4 4 方法：解析法、图解法方法：解析法、图解法5 5说明：说明：p p一般用相对压强（表压）表示一般用相对压强（表压）表示静止液体作用在平面上的总压力 2-5静止液体作用在平面上的总压力静止液体作用在平面上的总压力 平行力系问题。平行力系问题。1 1、问题描述：、问题描述：设静止液体中有一任意设静止
36、液体中有一任意形状的平面，它与水平面形状的平面，它与水平面的夹角为的夹角为，面积为，面积为A A。2 2、坐标：选坐标如图、坐标：选坐标如图原点原点取在自由液面上；取在自由液面上；X X轴轴平面或其延伸面平面或其延伸面与自由液面的交线；与自由液面的交线；Y Y轴轴垂直于垂直于oxox轴沿着轴沿着平面向下。平面向下。2-5静止液体作用在平面上的总压力3 3、分析、分析（一）（一）总压力的大小总压力的大小在在A A上取微元面积上取微元面积dAdA，坐标为，坐标为y y，其上所受总压力为，其上所受总压力为dPdP，dAdA对应对应水下深度为水下深度为h h。则：。则：dAyhdAdApdPsin在面
37、积在面积A A上积分：上积分：AAAydAdAydPPsinsin面积面积A A对对oxox轴的面积矩，即轴的面积矩，即 AyydAcA所以所以:ApAhAyPcccsin总压力计算公式总压力计算公式结论：总压力形心处压强结论：总压力形心处压强平面面积平面面积问题：平面形心处压强与平面的平均压强大小一样么？（一样）问题：平面形心处压强与平面的平均压强大小一样么？（一样）（二）（二）总压力的方向：总压力的方向：垂直并指向平面垂直并指向平面（三）（三）总压力的作用点（压力中心）总压力的作用点（压力中心）设总压力设总压力P P的作用点为的作用点为D D点，对应坐标为点，对应坐标为y yD D。根据平
38、行力系的力矩原理：每一微小面积上所受的对根据平行力系的力矩原理：每一微小面积上所受的对x轴的静力矩之轴的静力矩之和应该等于作用在面积和应该等于作用在面积A上的合力对上的合力对x轴的静力矩。即：轴的静力矩。即：2-5静止液体作用在平面上的总压力dPyyPD因为（因为（*）式）式 dAydPsinApAyAhPcccsindAyyAyyDcsinsin得得 2-5静止液体作用在固体壁面上的总压力所以所以 AyJAydAyycxcD2dAyJx2其中：其中：是面积是面积A A对对 ox ox 轴的惯性矩。由于轴的惯性矩。由于y y坐标，计算不便，可利用平行移轴坐标，计算不便，可利用平行移轴定理换算成
39、：对通过面积形心定理换算成：对通过面积形心c c且平行于且平行于oxox轴的轴线的惯性矩轴的轴线的惯性矩JcJc据平行移轴定理，据平行移轴定理，有：有：AyJJccx2AyAyJAyJyccccxD2所以所以 AyJyycccDeyycD0AyJecc其中偏心距其中偏心距 其中，其中，J Jc c 平面对通过形心平面对通过形心 c c 并与并与 x x 轴平行的轴的惯性矩，单轴平行的轴的惯性矩，单位位m m4 4。y yc c 形心形心 c c 到坐标原点的距离。到坐标原点的距离。压力中心（作用点）压力中心（作用点）D D永远在平面形心永远在平面形心C C的下边，距离为偏心距的下边，距离为偏心
40、距e e2-5静止液体作用在平面上的总压力静止液体作用在平面上的总压力 结论：作用在任意位置、任意形状平面上的水静压力值等于受压面面积结论：作用在任意位置、任意形状平面上的水静压力值等于受压面面积与其形心点所受水静压强的乘积。与其形心点所受水静压强的乘积。水静压力的方向：沿着受压面的内法线方向。水静压力的方向：沿着受压面的内法线方向。2-5静止液体作用在平面上的总压力（四）（四）说明：说明：当当9090，；，；当当00，hDhC，yDyC 两侧都有液体：两侧都有液体：PP1P2 形心形心yc 若若p p0 00 0 折算成水柱高度：折算成水柱高度：p p0 00 0（等效自由液面）（等效自由液
41、面）AhJhhcccDyc=?5m?10m?2.5m?7.5m?静止液体作用在平面上的总压力 2-5静止液体作用在平面上的总压力它是利用画出流体静压强的分布图来它是利用画出流体静压强的分布图来计算作用在平面上总压力的方法。此计算作用在平面上总压力的方法。此法适用于沿深度为等宽的矩形平面。法适用于沿深度为等宽的矩形平面。如图：如图：P Pb b （9 9）b b 受压面宽受压面宽压强分布图面积压强分布图面积在如图情况下的计算方法：在如图情况下的计算方法：22121HHH压力方向：水平向右。压力方向：水平向右。压力作用点：在受压面对称轴上，且作用线通过压强分布图的形心。压力作用点：在受压面对称轴上
42、，且作用线通过压强分布图的形心。静止液体作用在平面上的总压力 2-5静止液体作用在平面上的总压力5、例题：、例题：闸门宽闸门宽1.2m1.2m，铰在，铰在A A点，压力表点，压力表G G的读数为的读数为14700Pa14700Pa，在右侧箱中，在右侧箱中装有油，其重度装有油，其重度0 08.33KN/m8.33KN/m3 3，问在，问在B B点加多大的水平力才能使闸点加多大的水平力才能使闸门门ABAB平衡？平衡？静止液体作用在平面上的总压力 解：把解：把p p0 0折算成水柱高折算成水柱高：mph5.19800147000相当于液面下移相当于液面下移1.5m1.5m，如图示虚构液面，如图示虚构
43、液面则左侧：则左侧：NAhPc7056022.11298001mAhJhhcccD11.311.0322.131222.11231压力中心距压力中心距A A点：点：3.113.112 21.11m 1.11m 右侧：右侧：KNAhPco992.192.122233.82静止液体作用在平面上的总压力 mAhJhhcccD33.122.111222.1132设在设在B B点加水平力点加水平力F F使闸门使闸门ABAB平衡，对平衡，对A A点取矩点取矩 M MA A0 0ABFhPhPDD2211KNF87.25233.1992.1911.156.70静止液体作用在平面上的总压力 2-6 静止流体作
44、用在曲面上的总压力静止流体作用在曲面上的总压力静止液体作用在曲面上的总压力 它包括压力的大它包括压力的大小、作用点及作小、作用点及作用方向三个方面。用方向三个方面。求解时，通常将求解时，通常将总压力分解成空总压力分解成空间坐标系的三个间坐标系的三个分量，求出各分分量，求出各分量后再合成。量后再合成。工程上遇到最多工程上遇到最多的是二向曲面的是二向曲面（柱面）。因此，（柱面）。因此，我们只推导如图我们只推导如图所示曲面总压力所示曲面总压力计算公式。计算公式。求总压力问题就是空间力系的合成问题。求总压力问题就是空间力系的合成问题。取坐标如图，取坐标如图，原点原点自由液面上；自由液面上；y y轴轴与
45、二向曲面的母线平行。与二向曲面的母线平行。设设为为dAdA法线方向与法线方向与x x轴方向夹角，则轴方向夹角，则 一、总压力大小一、总压力大小 化整为零化整为零变不平行为平行变不平行为平行即曲面上所受的液体总静压力即曲面上所受的液体总静压力P P可分解为在可分解为在oxox轴方向的水平分力轴方向的水平分力P Px x和和在在ozoz轴方向的垂直分力轴方向的垂直分力P Pz z。2-6 静止流体作用在曲面上的总压力静止流体作用在曲面上的总压力静止液体作用在曲面上的总压力 2-6 静止流体作用在曲面上的总压力静止流体作用在曲面上的总压力1 1、水平分力、水平分力xxhdAhdAdPcosxcxcA
46、xxApAhhdAP所以所以 xcxcxAPAhP式中 为面积为面积A A在在yozyoz平面上的投影面对平面上的投影面对oyoy轴的面积矩。轴的面积矩。xcAxAhhdA（1）2-6 静止流体作用在曲面上的总压力静止流体作用在曲面上的总压力2 2、垂直分力、垂直分力 zzhdAhdAdPsin因为因为（2）令令C C，对（，对（2 2）式积分）式积分 压VhdAPAzz（3）为压力体体积为压力体体积 3 3、总压力：、总压力：22zxPPP静止液体作用在曲面上的总压力 AzhdAV压二、总压力的方向二、总压力的方向总压力的方向与垂线夹角为总压力的方向与垂线夹角为，则，则zxPPtan三、总压
47、力的作用点三、总压力的作用点P P应通过应通过P Px x与与P Pz z的汇交点的汇交点E E，于是根据，于是根据E E点和点和角可确定角可确定P P作作用线位置，此线与曲面交点用线位置，此线与曲面交点D D即为所求。即为所求。四、压力体四、压力体用于求垂直分力（用于求垂直分力（或或）1、定义：、定义：静止液体作用在曲面上的总压力 AzhdAV压n由承受压力的曲面、曲面边缘向上引垂面与自由液面或延长线（面）由承受压力的曲面、曲面边缘向上引垂面与自由液面或延长线（面）相交形成的无限多微小体积的总和。相交形成的无限多微小体积的总和。n1 1、组成：组成：na.a.自由液面或其延伸面自由液面或其延
48、伸面nb.b.曲面曲面nc.c.沿曲面的周界垂直至液面（或其延伸面）的铅垂面沿曲面的周界垂直至液面（或其延伸面）的铅垂面n2 2、压力体的画法压力体的画法na.a.找自由液面（或其延伸面）找自由液面（或其延伸面）p表表0（当（当p p表表0 0，等效方法：，等效方法：h=p/h=p/）nb.b.找出液固分界面找出液固分界面nc.c.据静压力作用方向的不同（据静压力作用方向的不同（或或）找特殊点，分段。）找特殊点，分段。nd.d.做虚实压力体。做虚实压力体。静止液体作用在曲面上的总压力 4 4、分类、分类a.a.a.a.实压力体实压力体b.b.b.b.虚压力体虚压力体c.c.c.c.综合压力体综
49、合压力体例如：例如：实压力体（实压力体（a a）：）：PzPz 充满液体充满液体 虚压力体（虚压力体（b b）：）：PzPz 空空n1）水平分力是受压面边界线封闭的面积在铅水平分力是受压面边界线封闭的面积在铅直面上的投影面积上的液体压力。直面上的投影面积上的液体压力。n2）压力体：通过受压曲面的边界线，向相对）压力体：通过受压曲面的边界线，向相对压强为压强为0的液面作铅直投射柱面来决定。的液面作铅直投射柱面来决定。2-6 静止流体作用在曲面上的总压力静止流体作用在曲面上的总压力结论：结论：五、例题：五、例题：一示压水箱的横剖面如图所示，压力表的读数为一示压水箱的横剖面如图所示，压力表的读数为0
50、.140.14个大气压，个大气压，圆柱体长圆柱体长L L1.2m1.2m，半径，半径R R0.6m0.6m，求：圆柱体保持如图所示位置时所静，求：圆柱体保持如图所示位置时所静水压力的大小（圆柱体重量不计）。水压力的大小（圆柱体重量不计）。静止液体作用在曲面上的总压力 解：解：水平分力：水平分力：NAhPxcx2.119952.16.07.19800垂直分力：垂直分力：NVPz8.1320133912.0008.1980046.02.12.16.04.198002压静止液体作用在曲面上的总压力 静止液体作用在曲面上的总压力 压力体压力体 曲面和自由液面或者自由曲面和自由液面或者自由液面的延长面包
