1、 第第 十十 四四 讲讲 算符的共同本征函数算符的共同本征函数 (1)Schwartz(1)Schwartz不等式不等式 如果，如果，,是任意两个平方可积的波函是任意两个平方可积的波函数，则数，则1 2 2212211,(2)算符算符“涨落涨落”之间的关系测不准关之间的关系测不准关系：系：如令如令 )AA(1 )BB(22B,A iBA 例例1 ，所以，所以，这即为海森堡（这即为海森堡（Heisenberg）的测不准）的测不准关系的严格证明。关系的严格证明。xAxp B ip ,xB,Ax2pxx 例例2 但在特殊态但在特殊态 时时 但这仅是某一特殊态。但这仅是某一特殊态。例例3 3 在态在态
2、 下下 zyxLiL,L 41Y00 xzyLiL,LlmY0Lx0Ly0LLyx这时这时 (3)算符的共同本征函数组算符的共同本征函数组 定理定理1.1.如果两个力学量相应的算符有一组如果两个力学量相应的算符有一组正交，归一，完备的共同本征函数组，则算符正交，归一，完备的共同本征函数组，则算符 ，必对易必对易 ，。定理定理2 2：如果两力学量所相应算符对易，则如果两力学量所相应算符对易，则它们有共同的正交，归一和完备的本征函数组它们有共同的正交，归一和完备的本征函数组。0L2z2/m)1l(l L222yAB0B,A0LLzy (4)角动量的共同本征函数组角动量的共同本征函数组球谐函数球谐函
3、数 因因 ，它们有共同本征函数组。，它们有共同本征函数组。A.本征值本征值：设：设：是它们的共同本征函数，则是它们的共同本征函数，则 0L,Lz2 LL,LzLL,Lzlmu 的本征值为的本征值为 的本征值为的本征值为 这表明，角动量的本征值是量子化的。它与这表明，角动量的本征值是量子化的。它与能量量子化不同在于它并不需要粒子是束缚的。能量量子化不同在于它并不需要粒子是束缚的。自由粒子的角动量是量子化的自由粒子的角动量是量子化的。B.本征函数本征函数2L21)l(l zLmlml 已求得已求得 的共同本征函数组的共同本征函数组-球谐函数球谐函数 称为缔合勒让德函数（称为缔合勒让德函数（Asso
4、ciated Legendre function）。）。zL,L2 immlmlme)(cosP)!ml()!ml()l()(Y4121 lmlmlmlmlsin)cosdd(sin)!ml()!ml()l(!l)()(cosP21412211 当当 给定，也就是给定，也就是 的本征值给的本征值给定，那就唯一地确定了本征函数定，那就唯一地确定了本征函数 。其性质：其性质：1.1.正交归一正交归一 2 2封闭性封闭性 z2L,L),(Ylm mmd),(Y),(Yl lml*lm )()(sin1),(Y),(Y0llmlm*lmlm m,l 3 所以，所以，)(cosP)!ml()!ml()1
5、()(cosPmlmml 0m immlmmle)(cosP)!ml()!ml(4)1l 2()1(Y immle)(cosP)!ml()!ml(4)1l 2(*lmmmlY)1(Y 因此，因此，4.4.宇称宇称 即即 5.5.递推关系递推关系 *lmmmlY)1(Y,rr ，l)1(1lmlmY)1ml)(ml(YL1lmlmY)1ml)(ml(YLml1m1lmY (4)力学量的完全集力学量的完全集 量子力学描述与经典描述大不一样，量子力学描述与经典描述大不一样，在量在量子力学中，是确定体系所处的状态。如对体系子力学中，是确定体系所处的状态。如对体系测量力学量的可能值及相应几率。如能充分确
6、定测量力学量的可能值及相应几率。如能充分确定状态，则认为是完全描述了。但是，如何才能将状态，则认为是完全描述了。但是，如何才能将状态描述完全确定呢？状态描述完全确定呢？设：设：是力学量所对应的算符，并且对易是力学量所对应的算符，并且对易 如如 是是 的本征函数。的本征函数。B,A)x(uaA 的本征函数不简并，则的本征函数不简并，则 当当 的本征值是两重简并。那问题就的本征值是两重简并。那问题就不不一样了。一样了。测量测量 取值取值 时，并不知处于那一态，时，并不知处于那一态，可能为可能为 尽管尽管 也是也是 的本征态。的本征态。但一般而言但一般而言 AA)2(a2)1(a1uu)1(auBA
7、aaabuuBA)2(a22)1(a12)2(aububuB)2(a21)1(a11)1(aububuB)uu)(bbbb()uu(B)2(a)1(a22122111)2(a)1(a)b(a1)b(a11vbvB)b(a2)b(a22vbvB可求得可求得 的本征值。的本征值。若若 ，则，则 一起就唯一地决定一起就唯一地决定函数函数 )2(a)i(2)1(a)i(1)b(auauavi21bb B,A)b(aiv0bbbbbb22211211B 的共同本征态没有一个是简并的。的共同本征态没有一个是简并的。力学量完全集力学量完全集：设：设力学量力学量 彼此对彼此对易；它们的共同本征函数易；它们的共
8、同本征函数 是不简并的是不简并的，也就是说，本征值也就是说，本征值a,b,ca,b,c仅对应一个独立的本仅对应一个独立的本征函数，征函数，则称这一组力学量为力学量完全集则称这一组力学量为力学量完全集 。所以，以后要描述一个体系所处的态时，我所以，以后要描述一个体系所处的态时，我们首先集中注意力去寻找一组独立的完全集，以们首先集中注意力去寻找一组独立的完全集，以给出特解，然后得通解。给出特解，然后得通解。有了力学量完全集，则可得有了力学量完全集，则可得 B,AC,B,A abcunabcu 完全集相应的本征函数为完全集相应的本征函数为4.5 力学量平均值随时间的变化，运动常数（守力学量平均值随时
9、间的变化，运动常数（守 恒量）恩费斯脱定理（恒量）恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem）（1）力学量的平均值，随时间变化，运动常数）力学量的平均值，随时间变化，运动常数 rd)0,r()r(uc*nabcnabc z2L,L),(Ylm c,b,a,n/tiEnabcnabcneuc)t,r(它随时间演化为它随时间演化为)t(A),t(A rd)t(A),t(dtddtAd*rdt)t(A)t(rd)t(tA)t(rd)t(At)t(*rd)t(A)t()t(Hi1rd)t(HA)t(i1rd)t(tA)t(*iH,AtAdtAd 若若 不显含不显含t，则，则当当 ，则，则 （对体
10、系任何态）不随（对体系任何态）不随t变。变。而取而取 的几率的几率 也不随也不随 t 变。变。我们称我们称与体系与体系 对易的不显含时间的力学量算对易的不显含时间的力学量算符为体系的运动常数。符为体系的运动常数。A iH,AdtAd0H,A0dtAdAsAn2nscH 运动常数并不都能同时取确定值。运动常数并不都能同时取确定值。因尽因尽管它们都与管它们都与 对易，但它们之间可能不对易。对易，但它们之间可能不对易。如如 都是运动常数，但都是运动常数，但 彼此不对易，不能同时取确定值。彼此不对易，不能同时取确定值。（2 2）Vivial Theorem Vivial Theorem 维里定理维里定
11、理 不显含不显含t t的力学量，在定态上的平均与的力学量，在定态上的平均与 t t 无无关。关。H)r(Vm2pH2 zyx2L,L,L,LzyxL,L,L,iH,p r 0dtp rd)r(V,p r i1m2p,p r i1iH,p r 2)r(V,p ri1p m2p,r i12)r(Vrmp 2 若若 是是x,y,z的的n次齐次函数，则次齐次函数，则 例例：谐振子势是：谐振子势是x,y,z的的2次齐次函数次齐次函数 例例：库仑势是：库仑势是x,y,z的的 1 次齐次函数次齐次函数)r(VrT 2)r(VnT 2)z,y,x(V)r(VT)r(VT 2 (3)能量能量-时间测不准关系时间
12、测不准关系 由算符的由算符的“涨落涨落”关系，有关系，有如如 ，则有，则有 若若 是不显含时间的算符，则有是不显含时间的算符，则有B,A i21BAHBH,A i21EAA 取取则有则有这即为能量和时间的测不准关系。这即为能量和时间的测不准关系。iH,AdtAddtAdAA 2EA （4 4）恩费斯脱定理）恩费斯脱定理（Ehrenfest TheoremEhrenfest Theorem）以以 ,表示表示 的平均值。的平均值。体系的坐标平均值的时间导数等于其速度体系的坐标平均值的时间导数等于其速度 算符的平均值算符的平均值。xp ,xxAxxpmp dtxdx 体系体系动量算符平均值的时间导数
13、等于作用力动量算符平均值的时间导数等于作用力的平均值。的平均值。于是有于是有xxFdtp dxp A xVdtxdm22称为的恩费斯脱定理。称为的恩费斯脱定理。我们可以看到，上面三个式子与经典力学看我们可以看到，上面三个式子与经典力学看起来非常相似。起来非常相似。mpdtdxxclclclclxclxVdtdpclcl2cl2xVdtxdm 但决不能无条件地认为但决不能无条件地认为 如果这样，即得如果这样，即得 但事实上，一般而言但事实上，一般而言clxx x)r(Vdtxdm22 但在但在 V(x)随随 x 的变化很缓慢，以及的变化很缓慢，以及 比较小的条件下，上式近似相等比较小的条件下，上
14、式近似相等.以一维运动来讨论以一维运动来讨论 xVx)r(V2xxFx)x(V 当场随空间变化非常缓慢，且当场随空间变化非常缓慢，且 很小很小时，我们有不等式时，我们有不等式 2)x()x()x()xx(F!21)xx(FF)x(2)x(Fx!21FxV2x23x3xxxV!21xV 这样，量子力学中粒子运动与经典力学规这样，量子力学中粒子运动与经典力学规律相似。经典运动是一好的近似。律相似。经典运动是一好的近似。当然，根据测不准关系，当然，根据测不准关系，x)x(VFxV)x(222xx4p 因此，当因此，当 较小时，较小时，比较大。比较大。所以要有所以要有 2x2xpx22FxVdtxdm
15、)x(Fx)x(Vdtxdmclxclcl2cl2 要有两个条件：要有两个条件：势随空间作缓慢变化：势随空间作缓慢变化：动能很大：动能很大：23x3xxxV!21xV2x2xpp 第五章第五章 变量可分离型的三维定态问题变量可分离型的三维定态问题 不显含不显含 t 时，时，有特解有特解 HHti/tiEnnne)r(u)t,r()r(uE)r(u)p ,r(Hnnn 处理的是变量可分离型的位势问题。处理的是变量可分离型的位势问题。5.1 5.1 有心势有心势 能量本征方程可写为能量本征方程可写为 )r(V)r(V)r(uE)r(u)r(Vnnn)rLrrr1(m2(222222 我们可看到我们
16、可看到 因此，因此，是两两对易。当共同本征是两两对易。当共同本征函数组不简并时，它们构成一组力学量完全集函数组不简并时，它们构成一组力学量完全集（球对称势的体系都有这一特点）。（球对称势的体系都有这一特点）。0L,Lz20L,H20L,Hzz2L,L,H 以以 的本征值（即量子数）对能的本征值（即量子数）对能 量本征方程的特解进行标识。量本征方程的特解进行标识。于是归结到解具有不同位势于是归结到解具有不同位势 的径向方程的径向方程 z2L,L,H),(Y)r(R)r(ulmnlnlm 0212222 )r(rR()r(VE(m)r(rR(r)l(l)r(rR(drd)r(V 首先要研究边条件的
17、共性。首先要研究边条件的共性。对于束缚态，对于束缚态，对于对于 ，波函数行为？，波函数行为？（1）不显含时间的薛定谔方程解在）不显含时间的薛定谔方程解在 的渐近行为的渐近行为 A若若 时，仅当时，仅当 0m2 时时 才有束缚态。才有束缚态。0u,rnlm0r 0r mrA)r(V 根据维里定理：如根据维里定理：如 是是x,y,zx,y,z的的n n次齐次齐次函数，则有次函数，则有 （在定态上）。（在定态上）。对于上述势对于上述势即即 )r(VVnT2VmT2T)m21(VTE 在这类位势下，束缚态在这类位势下，束缚态E0。所以存在束缚所以存在束缚态的条件为态的条件为0m2 即仅当即仅当 时，才
18、有束缚态。时，才有束缚态。B在在 时，径向波函数应满足时，径向波函数应满足 由径向方程由径向方程 0r 0)r(rR0)r(rR()r(VE(m2)r(rR(r)1l(l)r(rR(drd22220)r(Vr0r2 当当 时，方程的渐近解为时，方程的渐近解为 ，所以有所以有 （2）三维自由粒子运动）三维自由粒子运动 因因 ，所以可选力学量完全集，所以可选力学量完全集0)r(rR0r 0r 1lr0)r(Vz2L,L,H于是有于是有 令令 0)r(Rk)r(Rr)1l(ldrdr2drd222222mE2k kr 0)(R)1l(l1)(Rdd2)(Rdd222 这即为球贝塞尔函数满足的方程。而
19、在这即为球贝塞尔函数满足的方程。而在 处为有限的解是处为有限的解是 而在而在 处为无穷的解是处为无穷的解是 0 sin)dd1()(c)(cj)(Rlll0 cos)dd1()(1(c)(c)(Rlll0)3l 2(21!)!1l 2()(j2ll )3l 2(21)1(1l 2!)!1l 2()(21ll )2lsin(c)(cj)(Rl )2lcos(c)(c)(Rl 由于由于 的条件，所以自的条件，所以自由粒子的本征函数为由粒子的本征函数为 对于自由粒子，亦可选对于自由粒子，亦可选 作为作为力学量完全集，力学量完全集，其共同本征函数其共同本征函数为为0)r(rR0r),(Y)kr(j2k
20、),r(ulmlklm 。22klmkm2E)p,p,p(zyx 而前述，而前述，作为力学量完全集，有作为力学量完全集，有共同本征函数组共同本征函数组/rpi23pppe)2(1uzyx rki23kkke)2(1uzyx z2L,L,H),(Y)kr(j2k),r(ulmlklm 可按它展开可按它展开 如取如取 方向在方向在z方向（即为方向（即为z轴），则轴），则 rkie),r(uaeklm0lllmlmrki ),(Y)kr(jalml0lllmlm k),(Y)kr(jaee0ll0l0lcosikrrki a.a.对对 kr求导，得求导，得 )(cosP)kr(jcll0ll)(co
21、sP)kr(jc)(cosPcos)kr(jcill0llll0ll )(cosP)1l()(coslP1l 21)(cosPcos1l1ll 于是有于是有)kr(j)1l()kr(lj1l 21)kr(j1l1ll)(cosP)kr(j)1l()kr(lj1l 21cl1l1l0ll)(cosP)1l()(coslP1l 2ijc1l1l0lll 1llc1l 21l 2ic0lc)1l 2(i0l1llll1l1l)(cosPj1l 2)1l(ic)(cosPj3l 2)1l(ic 0ll1ll1ll1l)(cosP)kr(j1l 2)1l(c)(cosP)kr(j3l 21lc b.b.
22、当当 时时 于是于是 当当 在任意方向，则在任意方向，则0kr 1c0)(cosP)kr(j)1l 2(iell0llikz k)(cosP)kr(j)1l 2(iell0llrki 为为 和和 之间的夹角之间的夹角 r),(Y),(Y1l 24)(cosPlmllmkk*lml 0lllmkk*lmlmllrki),(Y),(Y)kr(j4ie k m,l),r(klmkk*lmlrki23u),(Ykie)2(1 现可求现可求 的归一化因子：的归一化因子：而根据展开有而根据展开有 )kk()2(rdee3rkirki lm),(*lm),(lm23kkkkYY)kk(k1)2(klmu m
23、,lkklmkk*lmll22),(Y),(Y)rk(j)kr(j)4(drr lm),(*lm),(lm23kkkkYY)kk(k1)2(),(Y),(Y)rk(j)i(4),(Y),(Y)kr(ji4 rdm,lkklm*lmllm,lkk*mlmlll 从而有从而有 即即于是有于是有)kk(k1)2()rk(j)kr(j)4(drr23ll22 。)kk(k2)rk(j)kr(jdrr2ll2 ),(Y)kr(j2k),r(ulmlklm （3）球方势阱：考虑位势为）球方势阱：考虑位势为 令令 arVar0)r(V0 lmRYu ar0)rR(r)1l(lmE2)rR(drd2222ar0)rR(r)1l(l)EV(m2)rR(drd22022
