1、材料力学材料力学交通与车辆工程学院交通与车辆工程学院李丽君李丽君5-4 弯曲切应力弯曲切应力横力弯曲横力弯曲横截面上内力横截面上内力 既有弯矩又有剪力；既有弯矩又有剪力；横截面上应力横截面上应力 既有正应力又有切应力。既有正应力又有切应力。FAFBFA=FB=PFsMPPPaPPaaLCA观察观察AC段内力段内力Fs=PM线性规律上升线性规律上升横截面上的切应力合成剪力横截面上的切应力合成剪力横截面上的剪力产生切应力横截面上的剪力产生切应力关于切应力的假设关于切应力的假设距中性轴等远距中性轴等远的各点处切应的各点处切应力大小相等。力大小相等。在在AC 段取长为段取长为dx的微段的微段FsMPP
2、Pa分析微段上的应力分析微段上的应力zIMy1zIydMM)(2切开微段分析切开微段分析分析微段的平衡条件分析微段的平衡条件0)(12sFFFdAFA122计算右侧截面正应力形成的合力计算右侧截面正应力形成的合力11)(AzdAIydMM11)(AzdAyIdMM*)(ZSIdMMz同理同理*1ZSIMFzzbISdxdMZ*微元体的平衡方程微元体的平衡方程012bdxFF*2)(ZSIdMMFz*1ZSIMFz0*bdxSIdMZzzsbISFZ*zsbISFZ*距离中性轴为距离中性轴为y的直的直线上点的切应力计线上点的切应力计算公式算公式切应力计算公式切应力计算公式zsybISFZ*zsy
3、bISFZ*各项的物理意义各项的物理意义Fs欲求切应力的点所在截面的剪力；欲求切应力的点所在截面的剪力；Iz欲求切应力的点所在截面对中欲求切应力的点所在截面对中性轴的惯性矩；性轴的惯性矩；b欲求切应力的点处截面的宽度；欲求切应力的点处截面的宽度；Sz*横截面上距离中性轴为横截面上距离中性轴为y的横线以外部分的横线以外部分的面积的面积A1对中性轴的静矩。对中性轴的静矩。AFS23 切应力分布规律切应力分布规律max切应力沿截面高度按切应力沿截面高度按抛物线规律变化。抛物线规律变化。中性轴处中性轴处最大正应力所在的点最大正应力所在的点工字形截面梁切应力沿高度的分布规律工字形截面梁切应力沿高度的分布
4、规律maxzsybISFZ*切应力危险点切应力危险点中性轴处中性轴处fsAFmax最大切应力最大切应力腹板上的切应力呈抛物线变化；腹板上的切应力呈抛物线变化；腹板部分的切应力合力占总剪力的腹板部分的切应力合力占总剪力的9597%。工字形截面的翼缘工字形截面的翼缘)(z翼缘部分的水平切应力沿翼缘翼缘部分的水平切应力沿翼缘宽度按直线规律变化；宽度按直线规律变化；翼缘部分的切应力强度计算时一般不予考虑。翼缘部分的切应力强度计算时一般不予考虑。并与腹板部分的竖向剪力并与腹板部分的竖向剪力形成形成“剪应力流剪应力流”。)(ysFT形截面梁切应力沿高度的分布规律形截面梁切应力沿高度的分布规律zsybISF
5、Z*计算公式计算公式切应力危险点切应力危险点中性轴处中性轴处max圆形截面梁切应力沿高度的分布规律圆形截面梁切应力沿高度的分布规律zsybISFZ*切应力危险点切应力危险点中性轴处中性轴处maxAFs34max最大切应力最大切应力2 横截面上同一高度各点的切应力汇交于一点横截面上同一高度各点的切应力汇交于一点3 竖直分量沿截面宽度相等，沿高度呈抛物线规律变化竖直分量沿截面宽度相等，沿高度呈抛物线规律变化1 在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切。在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切。max=2.0FsA圆环截面的最大切应力圆环截面的最大切应力zymaxsF切应力的危险点切应力的危险点能否
6、说：能否说：“切应力的最大值一定发生在中性轴上切应力的最大值一定发生在中性轴上”？当中性轴附近有尺寸突变时当中性轴附近有尺寸突变时最大切应力不发生在中性轴上；最大切应力不发生在中性轴上；当中性轴附近有没有尺寸突变时当中性轴附近有没有尺寸突变时 最大切应力发生在中性轴上；最大切应力发生在中性轴上；切应力强度条件切应力强度条件)(maxmax,maxzzSbISF对于等宽度截面，对于等宽度截面，发生在中性轴上；发生在中性轴上；max在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：(1)对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条
7、件是主要的，剪应力的强度条件是次要的。应力的强度条件是次要的。max对于宽度变化的截面，对于宽度变化的截面，不一定发生在中性轴上。不一定发生在中性轴上。一般情况下，一般情况下，以正应力设计为主，以正应力设计为主，切应力校核为辅；切应力校核为辅；(2)对于较粗短的梁，当集中力较大时，对于较粗短的梁，当集中力较大时，(4)薄壁截面梁时，也需要校核切应力。薄壁截面梁时，也需要校核切应力。截面上的剪力较大，需要校核切应力强度条件。截面上的剪力较大，需要校核切应力强度条件。(3)载荷离支座较近时，载荷离支座较近时，截面上的剪力较大；截面上的剪力较大；(5)木梁顺纹方向，抗剪能力较差木梁顺纹方向，抗剪能力
8、较差;(6)工字形截面梁，要进行切应力校核工字形截面梁，要进行切应力校核;（7）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该处的切应力为零；该处的切应力为零；切应力的最大值发生在中性轴上，切应力的最大值发生在中性轴上，该处的正应力为零。该处的正应力为零。对于横截面上其余各点，同时存在正应力、切应力。对于横截面上其余各点，同时存在正应力、切应力。这些点的强度计算，应按强度理论进行计算。这些点的强度计算，应按强度理论进行计算。例题例题 悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切。胶合面的许可切应力为应力为0.34MPa，
9、木材的，木材的=10 MPa，=1MPa，求许可载荷，求许可载荷F。100505050lFzWMmaxmax1 画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和弯矩图2 按正应力强度条件计算许可载荷按正应力强度条件计算许可载荷 lbhF621AFS2/3max3 按切应力强度条件计算许可载荷按切应力强度条件计算许可载荷 kN013/22bhFxFsxMFFLF 216bhlF3.75kN bhF2/32 gZZSbISF*g4 按胶合面强度条件计算许按胶合面强度条件计算许可载荷可载荷 3.825kN3F5 梁的许可载荷为梁的许可载荷为 minminkN825.3kN10kN75.3iFF 100505050
10、 xFsxMFFLF gbbhF12505010033 3.75kNF例例2 铸铁梁的截面为铸铁梁的截面为T字形，受力如图。已知材料许用拉应力字形，受力如图。已知材料许用拉应力为为 ，许用压应力为，许用压应力为 ，。试校核梁的正应力强度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情试校核梁的正应力强度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情况又如何？况又如何？MPa35MPa100MPa40AB2m1m3mP=20KNCDq=10KN/m20030200302003020030(a)确定中性轴的位置确定中性轴的位置2320102035.21203ASyzCcm75.1546013 cm23)1075.15(20
11、3203121zI23 5.1)75.1520(320320121(c)最大静矩：最大静矩：88.775.153max,zS3372 cmzzC(b)计算图形对形心主轴的惯性矩计算图形对形心主轴的惯性矩(1)平面图形几何性质计算平面图形几何性质计算157.5（2）绘剪力图、弯矩图）绘剪力图、弯矩图计算约束反力：计算约束反力：,30KNFAy,10KNFByAB2m1m3mCDP=20KNq=10KN/mFAyFBy作内力图作内力图FsM10KN10KN.m20KN.m20KN10KN（3）正应力强度计算）正应力强度计算对于对于A截面：截面：z82max10013.610)325.4()(AAM
12、MPa1.2482max10013.61075.15)(AAMMPa4.52P=20KNq=10KN/mFAyFByFs10KN20KN10KNM10KN.m20KN.m20030zC157.546013 cmIzMPa100MPa40（3）正应力强度计算）正应力强度计算对于对于D截面：截面：zP=20KNq=10KN/mFAyFByFs10KN20KN10KNM10KN.m20KN.m20030zC157.546013 cmIzMPa100MPa4082max10013.61075.15)(DDMMPa2.2682max10013.61025.7)(DDMMPa12MpaMPaD402.26
13、)(maxmaxMpaMPaD1004.52)(maxmax正应力强度足够。正应力强度足够。结论结论（4）切应力强度校核）切应力强度校核在在A截面左侧截面左侧zzSbISFmax,max,max56310013.603.0103721020MPa12.4切应力强度足够。切应力强度足够。P=20KNq=10KN/mFAyFByFs10KN20KN10KNM10KN.m20KN.m20030zC157.546013 cmIz3372cmSzMPa35危险截面危险截面（5）若将梁的截面倒置）若将梁的截面倒置此时强度不足会导致破坏。此时强度不足会导致破坏。yczzcyP=20KNq=10KN/mFAy
14、FByFs10KN20KN10KNM10KN.m20KN.mz82max10013.61075.15)(AAMMPa4.52MPa405-6 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施ZmaxmaxWM max maxMmaxzzyI=W zI zW合理布置支座合理布置支座降低降低 Mmax 合理布置载荷合理布置载荷降低降低 Mmax FL/65FL/36安装齿轮安装齿轮靠近轴承一侧；靠近轴承一侧；集中力分散集中力分散降低降低 Mmax F梁的合理截面梁的合理截面maxyIWzzdAyIz2ZmaxmaxWM增大抗弯截面系数增大抗弯截面系数y截面面积几乎不变的情况下，截面面积几乎不变的情况下，截面的
15、大部分分布在远离中性轴的区域截面的大部分分布在远离中性轴的区域1 合理设计截面合理设计截面抗弯截面系数抗弯截面系数WZ越大、横截面面积越大、横截面面积A越小，越小，截面越合理。截面越合理。AWz来衡量截面的经济性与合理性来衡量截面的经济性与合理性合理截面合理截面合理截面合理截面伽利略伽利略1638年年关于两种新科学的对话和证明关于两种新科学的对话和证明 空心梁能大大提高强度，而无须增加重量，空心梁能大大提高强度，而无须增加重量，所所以在技术上得到广泛应用。在自然界就更为普遍了，以在技术上得到广泛应用。在自然界就更为普遍了，这样的例子在鸟类的骨骼和各种芦苇中可以看到，这样的例子在鸟类的骨骼和各种
16、芦苇中可以看到，它们既轻巧而又对弯曲和断裂具有相当高的抵抗能它们既轻巧而又对弯曲和断裂具有相当高的抵抗能力。力。矩形截面中性轴附近的材料未充矩形截面中性轴附近的材料未充分利用，工字形截面更合理。分利用，工字形截面更合理。根据应力分布的规律：根据应力分布的规律：z合理截面合理截面合理截面要求上下危险点同时达到各自的许用应力。合理截面要求上下危险点同时达到各自的许用应力。对于塑性材料对于塑性材料宜设计成关于中性轴对称的截面宜设计成关于中性轴对称的截面对于脆性材料对于脆性材料宜设计成关于中性轴不对称的截面宜设计成关于中性轴不对称的截面且使中性轴靠近受拉一侧。且使中性轴靠近受拉一侧。62bhWZ左62
17、hbWZ右2 合理放置截面合理放置截面竖放比横放更合理。竖放比横放更合理。为降低重量，可在中性轴附近开孔。为降低重量，可在中性轴附近开孔。等强度梁等强度梁 maxzWM工程中的等强度梁工程中的等强度梁 工程中的等强度梁工程中的等强度梁 工程中的等强度梁工程中的等强度梁 T型铸铁梁，承受正弯矩的条件下，下列哪一种放型铸铁梁，承受正弯矩的条件下，下列哪一种放置中，强度最高？置中，强度最高？abcd梁发生平面弯曲时，横截面绕梁发生平面弯曲时，横截面绕 旋转旋转A：轴线；：轴线；B：中性轴；：中性轴；C：横截面对称轴；：横截面对称轴；EI均相同，哪一个截面承担的最大弯矩均相同，哪一个截面承担的最大弯矩
18、M最大？最大？abcdT型截面铸铁梁，受主动力偶型截面铸铁梁，受主动力偶M作用，从强度的角度看，如作用，从强度的角度看，如何放置？阐述原因。何放置？阐述原因。M弯曲时，梁的横截面中性轴过形心。对吗？弯曲时，梁的横截面中性轴过形心。对吗？从哪些方面考虑提高梁的承载力？从哪些方面考虑提高梁的承载力？梁在横力弯曲时，横截面上梁在横力弯曲时，横截面上 。A：正应力不等于零，剪应力等于零；：正应力不等于零，剪应力等于零；B：正应力等于零，剪应力不等于零；：正应力等于零，剪应力不等于零；C：正应力、剪应力均不等于零；：正应力、剪应力均不等于零；D：正应力、剪应力均等于零；：正应力、剪应力均等于零；材料、横
19、截面均相同的两梁，变形后轴线为两个同心圆，那材料、横截面均相同的两梁，变形后轴线为两个同心圆，那么，最大弯曲正应力哪一个大？么，最大弯曲正应力哪一个大？ab用一块板与用一块板与4块不等边角钢组成复合型截面梁，请画出合理块不等边角钢组成复合型截面梁，请画出合理截面的组合形式。截面的组合形式。梁的某段承受正弯矩时，靠近顶面或底面的纵向纤维分梁的某段承受正弯矩时，靠近顶面或底面的纵向纤维分别别 。简支梁材料为普通碳钢，承受均布载荷，采用简支梁材料为普通碳钢，承受均布载荷，采用 截面截面形式最合理。如果材料为铸铁，哪种截面合理？为什么？形式最合理。如果材料为铸铁，哪种截面合理？为什么？13 等强度梁各
20、个横截面上的等强度梁各个横截面上的 。A：最大正应力相等；：最大正应力相等；B：最大正应力相等且等于许用正应力；：最大正应力相等且等于许用正应力；C：最大剪应力相等：最大剪应力相等；D：最大剪应力相等且等于许用剪应力；：最大剪应力相等且等于许用剪应力；厂房中的厂房中的“鱼腹梁鱼腹梁”是根据简支梁上是根据简支梁上 而设计的等强而设计的等强度梁。度梁。A：受集中力、截面宽度不变：受集中力、截面宽度不变 B：受均布力、截面宽度不变；：受均布力、截面宽度不变；C：受集中力、截面高度不变：受集中力、截面高度不变 D：受均布力、截面高度不变；：受均布力、截面高度不变；小结小结1 了解梁纯弯曲正应力的推导方法了解梁纯弯曲正应力的推导方法2 熟练掌握弯曲正应力的计算、弯曲正应力强度条熟练掌握弯曲正应力的计算、弯曲正应力强度条 件及其应用件及其应用4 了解提高梁弯曲强度的主要措施了解提高梁弯曲强度的主要措施3 掌握弯曲切应力的计算公式、强度条件及其应用掌握弯曲切应力的计算公式、强度条件及其应用谢谢！谢谢！2009年年4月月
