1、第6章 总体均数和总体率的估计第一节 均数抽样误差与t分布 欲了解总体的特征，最直接的方法是对总体中的每个观察单位进行测量，通过整理分析得到总体参数，但这在医学研究实际中往往是不可能实现的。通常应用抽样研究，通过样本指标来了解总体特征。抽样研究所得样本均数会不会恰好等于未知的总体均数呢？如果固定样本含量n从同一总体中进行多次抽样，所得样本均数又会如何呢？假设已知某地30岁-40岁正常男性血清总胆固醇的均值为5.0mmol/L，标准差为0.6mmol/L。现从该总体中进行随机抽样，每次抽取30名正常男子，并测得他们的血清总胆固醇水平，最终共抽取100份样本，并计算出每份样本的均数。由个体变异产生
2、的，随机抽样引起的样本统计量与总体参数之间的差异称为抽样误差（sampling error）。抽样造成的样本均数与总体均数间的差异就称为均数的抽样误差。在抽样研究中，抽样误差是不可避免的，但抽样误差分布具有一定的规律性。图图3-1 从正态分布总体从正态分布总体N（5.0,0.62）中随机抽样所得样本均数的分布）中随机抽样所得样本均数的分布 样本均数大部分分布在总体均数5.0的左右，中间多、两边少，左右基本对称，服从正态分布，并且样本均数的变异范围比原变量的变异范围要小很多。样本均数的标准差称为均数的标准误，简称标准误，用符号 表示。均数的标准误说明各样本均数 围绕总体均数 的离散程度，可用来反
3、映样本均数的抽样误差大小。XX中心极限定理从正态总体 N(,2)中，随机抽取例数为 n 的样本，样本均数也服从正态分布；即使从偏态总体随机抽样，当 n 足够大时(n 50)，样本均数近似正态分布。从均数为，标准差为 的正态或偏态总体中，抽取例数为 n 的样本，样本均数的总体均数也为 ，标准差与原标准差成正比，与样本例数的平方根成反比。22,nXXNXN Xn 越大，样本均数的分布越分散，样本均数与总体均数的差别越大，抽样误差越大，由样本均数估计总体均数的可靠性越小。反之，越小，样本均数的分布越集中，样本均数与总体均数的差别越小，抽样误差越小，由样本均数估计总体均数的可靠性越大。XX 的大小与
4、成正比，与 成反比。当固定不变时，样本含量n增大，减小。因此，在实际工作中，可通过适当增加样本含量来减小抽样误差。XnX 常未知，用 S 估计，因此均数标准误的估计值为XSSnt 分布的演化2,0,1XXNN 2,0,1XXXXNN 常未知，若用 ，这时对样本均数进行的不是 Z变换而是 t 变换 XXXSXXXtSSn 统计量 t 不再服从N(0,1)标准正态分布 英国统计学家 W.S.Gosset 于1908年以“Student”笔名发表论文，证明统计量 t 服从v=n-1的t分布 又称为Student t分布(Students t-distribution),1XXXttnSSn分布t 分
5、布的图形及特征t 分布的特征为：以0为中心，左右对称的单峰分布 越小，t值越分散，峰越矮，尾越高 增大，t分布逐渐逼近Z分布，时，t分布即为Z分布 t 界值表 横标目：自由度 纵标目：概率 P(曲线下面积)表中数字：自由度为，概率P 为时，所对应的 t 界值，记为t,t 2,t222,t单侧：或双侧：即,P tt,P tt 22,P ttP tt 221,Pttt 在相同自由度时，t 的绝对值越大，P 越小 在相同 P 值时，自由度越大所对应的 t 界值越小 在相同 t 值时，双侧概率 P 为单侧概率 P 的两倍 时，t界值即为Z界值 第二节 总体均数的点估计与区间估计 点估计（point e
6、stimation）：将样本统计量直接作为总体参数的估计值 区间估计（interval estimation）：按事先给定的概率，估计包含未知总体参数的一个可能范围 区间估计的实质假设某个总体的均数为，需要找到两个量A和B，使得在一个比较高的可信度下(如95%)，区间(A,B)能包含。即P(A 50)22,XXXZSXZS2XXZS1.96XXS 例6-3中，因n=120，试求该地正常成年男性 血清胆固醇平均水平的95可信区间。1.73/smmol L3.86/xmmol L即（3.55，4.17）mmol/L 1.731.963.86 1.963.860.31120 xxs 例6-1 从某地
7、随机抽取120名30岁-40岁正常男性，得其血清总胆固醇水平的均数为4.95mmol/L，标准差为0.64mmol/L，试估计该地30岁-40岁正常男性血清总胆固醇平均水平的95%可信区间。因n=120，属于未知但n足够大，又均数为4.95mmol/L，标准差为0.64mmol/L，故该地30岁-40岁正常男性血清总胆固醇平均水平的95%可信区间为 即（4.84，5.06）mmol/L0.641.964.95 1.964.950.11120XXS3.当未知n 较小2,2,XXXtSXtS/2,/2,/2,/2,/2,/2,()1()1()1XXXPtttXPttSP XtSXtS -t/2,v
8、 0 t/2,v 可信区间的涵义 从总体中作随机抽样，每个样本可以算得一个可信区间。如95%可信区间意味着做100次抽样，算得100个可信区间，平均有95个估计正确。在实际研究中，一般只进行一次抽样，算得一个可信区间，对于这个可信区间来说，我们就认为该区间包含了总体均数，把握度为95%。图6-5 从N（0,1）中随机抽样算得的100个95可信区间（n=10）可信区间的两个要素 可信度：可靠性，即1-。一般取90%、95，可人为控制 区间的宽度：区间的大小（区间的长度），越小越好 必须二者兼顾均数的可信区间与参考值范围的区别均数的可信区间与参考值范围的区别区别点均数的可信区间参考值范围意义按预先
9、给定的概率，确定的未知参数的可能范围“正常人”的解剖、生理、生化、某项指标的波动范围计算公式已知或未知但 n 较大未知：正态分布：偏态分布：PX P100-X用途估计总体均数判断观察对象的某项指标正常与否2XZS2()XZn2()SXZn2,()SXtn第三节 总体率的点估计与区间估计一、二项分布如某实验中小白鼠染毒后死亡概率如某实验中小白鼠染毒后死亡概率P为为0.8,则生存概率为则生存概率为=1-P=0.2，1、对一只小白鼠进行实验的结果为：死（概率为、对一只小白鼠进行实验的结果为：死（概率为P）或生（概率为）或生（概率为1-P）2、对二只小白鼠（甲乙）进行实验的结果为：甲乙均死（概率为、对
10、二只小白鼠（甲乙）进行实验的结果为：甲乙均死（概率为P2）、）、甲死乙生甲死乙生概率为概率为P(1-P)、乙死甲生、乙死甲生概率为概率为(1-P）P或甲乙均生或甲乙均生概率概率为为(1-P）2，概率相加得，概率相加得P2+P(1-P)+(1-P）P+(1-P）2=P+(1-P)23、依此类推，对、依此类推，对n只小白鼠进行实验，所有可能结果的概率相加得只小白鼠进行实验，所有可能结果的概率相加得Pn+cn1P(1-P)n-1+.+cnxPx(1-P)n-x+.+(1-P)x=P+(1-P)n 其中其中n为样为样本含量本含量,即事件发生总数，即事件发生总数，x为某事件出现次数为某事件出现次数,cn
11、xPx(1-P)n-x为二项式为二项式通式，通式，cnx=n!/x!(n-x)!,P为总体率。为总体率。因此，二项分布是说明结果只有两种情况的因此，二项分布是说明结果只有两种情况的n次实验中发生某种结次实验中发生某种结果为果为x次的概率分布。其概率密度为：次的概率分布。其概率密度为：P(x)=cnxPx(1-P)n-x,x=0,1,.n。：。：二项分布的图形 4 8 12 16 0 2 4 0 2 4 6 4 8 12 16 X 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 n=20 =0.5 n=5 =0.3 n=10 =0.3 n=30 =0.3 P(X)当=0.5时，分布对称；当 0.5，分布
12、呈偏态；当0.5时分布呈负偏态；特别是当n值不是很大时，偏离0.5愈远，分布愈偏 随着n的增大，二项分布逐渐逼近正态分布。如=0.30，n=5和n=10时，图形呈偏态，当n=30时，图形已接近正态分布。一般地说，如果n或n(1-)大于5时，常可用正态近似原理处理二项分布问题二项分布的性质：累积概率（1）二项分布的概率之和等于10(1)11nnXXn XnXC（2）单侧累积概率至多有m例阳性的概率（下侧累积概率）mXXnXXnCmXP0)1()(至少有m例阳性的概率（上侧累积概率）()1(1)P XmP Xm二项分布的性质：均数和方差 阳性结果发生数X的总体均数 总体方差 总体标准差n)1(2
13、n)1(n二项分布的抽样分布及其性质 二项分布的随机抽样性质仍然被中心极限定理所反映 在n足够大时，样本率近似服从正态分布 样本率p的均数等于 样本率p的标准差（率的标准误）1pn1pppsnp二、Poisson 分布 当二项分布中n很大，p很小时，二项分布就变为Poisson分布，Poisson分布实际上是二项分布的极限分布 法国数学家Simeon Denis Poisson(1781-1840)1837年在关于判断的概率之研究一文中提出的描述随机现象的一种常用分布 Poisson分布也是一种重要的离散型概率分布，用于研究单位时间、单位人群、单位空间内，某稀有事件发生次数的分布 单位体积水中
14、细菌数 单位体积空气中粉尘数 单位时间内放射性物质放射出的质点数 单位空间中某些昆虫数 一定人群中恶性肿瘤或罕见非传染性疾病患病数或死亡数 可以认为满足以下三个条件的随机变量服从Poisson分布：平稳性：X的取值与观察单位的位置无关，只与观察单位的大小有关 独立性：在某个观察单位上X的取值与前面各观察单位上X的取值独立（无关）普通性：在充分小的观察单位上X的取值最多为1Poisson分布的概率函数)()!XP XeX若随机变量的概率函数为：则称此变量服从Poisson分布，记为Poisson分布的累计概率 011(0)11P X kP XP XP X kP X kP X kPeP XP XX
15、 Poisson分布的图形 P(X)X 0 4 8 0 4 8 12 4 8 12 16 20 8 12 16 20 24 28 32 0.0 0.1 0.2 =3 =5 =10 =20 Poisson分布的性质 均数和方差 Poisson分布的均数和方差相等，均为分布的均数和方差相等，均为；即即2XXX Poisson分布中均数的抽样分布及其性质 在足够大时，Poisson分布的平均计数近似正态分布 平均计数的标准误 n=1时(1个单位)，Sn S 三、总体率的估计 根据样本率，也可以对总体率做出点估计和区间估计。我们用样本率p作为总体率的点估计值。总体率的点估计亦未考虑其抽样误差大小，而总
16、体率的区间估计克服了点估计的缺陷。利用样本资料可估计二项分布总体率的1-可信区间，取0.05或0.01。对于 ，且 接近于0或1时，可直接查表得到总体率的（1-）可信区间。50n 例6-6 某医院应用氨苄青霉素治疗呼吸道感染，45例患者中有2例发生过敏反应。试估计过敏反应发生率的95%可信区间。p70 对例6-6资料，查百分率的可信区间表，n=45 的行与X=2 的列交叉处的数值为1-15，即氨苄青霉素过敏反应发生率的95%可信区间为（1%，15%）。当n足够大，且p和1-p 均不太小，如np和n(1-p)均大于5时，的抽样分布逼近正态分布。此时，可根据正态分布的特性计算总体率的可信区间。22
17、(,)pppZSpZS 例6-7 为了解某地18岁以上城市居民的高血压患病率，从社区中随机抽取500人进行调查，得高血压的患病率为32%，试估计该地18岁以上城市居民高血压患病率的95%可信区间。即该地18岁以上城市居民高血压患病率的95%可信区间为（28%，36%）。20.05 210.32(1 0.32)0.32 1.960.320.04500ppppZSpZn 对于稀有事件发生率的可信区间可以根据Possion分布的性质进行估计。当 20时就可以用正态分布来近似地处理Poisson分布的问题，未知可以用X代替，估计单位时间或单位空间中稀有事件发生数的1-可信区间为2XZX 例6-7 某地疾病控制中心在对该地人群的健康调查中，抽样调查得该地人群鼻咽癌的发病率为40/10万，试据此估计该地人群鼻咽癌发病率的95%可信区间。本例中若以10万人为观察单位，当X=40，时，计算95%可信区间为 ，即27.60/10万-52.40/10万。40 1.96 40
