1、本章教学目的通过本章学习，要求学生理解确定年金的概念及相互关系，特别是年金给付期与利息结算期之间的关系。正确掌握确定年金的计算原理和方法。本章重点与难点年金的概念与分类、年金给付期不等于利息结算期时的确定年金是采取什么样的方法进行计算？变额年金的现值与终值的计算。本章教学内容主要介绍利息理论中有关确定年金的基本概念，年金现值和年金终值的计算方法。一、年金的定义与分类一、年金的定义与分类n定义n按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。二、基本年金 基本年金 等时间间隔付款 付款频率与利息转换频率一致 每次付款金额恒定 一般年金
2、:不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金 分类 付款时刻不同：期初付年金/期末付年金 付款期限不同：有限年金/永久年金基本年金图示 0 1 2 3 -n n+1 n+2-1 1 1 -1 0 0-1 1 1 -1 0 0 0-1 1 1 -1 1 1-1 1 1 -1 1 1-期末付年金期初付年金期初付永久年金期末付永久年金3.1 每期支付一次的等额确定年金 3.1.期末付年金期末付年金在在n个时期中，每个时期末付款个时期中，每个时期末付款1的年金为期末付的年金为期末付年金。其时间图为年金。其时间图为 012n 1111nt设每个时期的利率为设
3、每个时期的利率为i，则年金在，则年金在0时刻的现时值记为时刻的现时值记为 ，在，在n时刻的积累值记为时刻的积累值记为 。|na|ns1显然显然vvvn11ivvviiv11)1(11而而故故 ivivvvannn11|(3.1.1)(3.1.1)nnvvva.2|同理同理iin11(3.1.2)|nnsa 与 的值一般可通过的值一般可通过复利函数表复利函数表或或EXCEL来计来计算，故以后往往将复杂的年金表示成它们的函数。算，故以后往往将复杂的年金表示成它们的函数。注注1：若每时期的利息为：若每时期的利息为i，可记为，可记为 ininsa|与注注2：nnnias)1(|或或nnnvsa|12|
4、1.111nniiisnnvia|1字面解释：考虑初始投资字面解释：考虑初始投资1，历时，历时n个时期。在每个时个时期。在每个时期，此投资期，此投资1将产生在期末支付的利息将产生在期末支付的利息i.这些利息这些利息的现时值为的现时值为 .在第在第 n 个时期，原始投资的本金个时期，原始投资的本金1仍收回，它的现时值为仍收回，它的现时值为Vn.这样，方程两边都表这样，方程两边都表示投资示投资1在投资之日的现时值。在投资之日的现时值。注注3:|nia例例3.1.3.1.一辆新汽车的现金价为一辆新汽车的现金价为$10000$10000，某顾客想，某顾客想以月度转换以月度转换18%18%利率的分期付款
5、来购买此车，如果利率的分期付款来购买此车，如果它在四年内每月末付款它在四年内每月末付款$250$250，问现付款需为多少？，问现付款需为多少？解：18%4 1248,0.015,25012nipmt|481111.01534.040.015nnivai|$10000250na现付款$10000$8510$1490现付款例例3.2.3.2.某人以季度转换年利某人以季度转换年利8%8%投资投资$1000,$1000,问他每季问他每季度之末能取回多少使这笔钱在第十年末正好用完？度之末能取回多少使这笔钱在第十年末正好用完？解解:设每季度之末能取回设每季度之末能取回x x.8%14 1040,0.02,
6、41.02niv4040|11000vxxai401000$36.561ixv有一笔有一笔$1000$1000的贷款，为期的贷款，为期1010年。若实质利率为年。若实质利率为9%9%，试对下面三种还款方式比较其利息总量。试对下面三种还款方式比较其利息总量。(1)(1)整个贷款加上积累的利息在第十年末一次还清整个贷款加上积累的利息在第十年末一次还清.(2)(2)每年产生利息即付，而本金则在第十年末一次每年产生利息即付，而本金则在第十年末一次还清还清.(3)(3)贷款在贷款在1010年期内按每年付款数相同的原则还清。年期内按每年付款数相同的原则还清。期末付年金小结 1 2 3有关 和 的关系式21
7、nnnvavvvi1(1)11(1)(1)nnniSiii nianiS =niSni)1(nia3.2 期初付年金期初付年金在在n个时期中，每个时期初付款个时期中，每个时期初付款1的年金为初付年的年金为初付年金。其时间图为金。其时间图为 012n 1111nt设每个时期的利率为设每个时期的利率为i i，则年金在，则年金在0 0时刻的现时值记为时刻的现时值记为 ,在在n n时刻的积累值记为时刻的积累值记为 。|na|ns 1思考：思考：与与 有何关系？有何关系？与与 有何关系？有何关系？|na|na|ns|ns 例例3.3.3.3.有一位有一位4040岁的工人打算通过在岁的工人打算通过在252
8、5年内每年年内每年初存款￥初存款￥10001000来积蓄一笔退休金，从来积蓄一笔退休金，从6565岁开始，岁开始，此工人打算在以后的此工人打算在以后的1515年内每年初取款一次。试年内每年初取款一次。试确定他从确定他从6565岁开始每年取款金额。其中头岁开始每年取款金额。其中头2525年实年实质利率为质利率为8%8%，而此后仅为，而此后仅为7%7%。解解:n1=25,k1=1000,i1=8%;:n1=25,k1=1000,i1=8%;n2=n2=1515,k2=?,i2=7%;,k2=?,i2=7%;40岁4165岁 1000100064岁t1000 x 25|25|1000(1 8%)78
9、954.372SS15|7%15|7%78954.37278954.3728101.66xaxa79岁x前前25年积累年积累:后后15年年:EX1 EX1 某君某君4040岁购买一项养老保险，每年初缴纳保费岁购买一项养老保险，每年初缴纳保费16201620元，缴费期至元，缴费期至5959岁共岁共2020年。从年。从6060岁开始，每岁开始，每年初保险公司给付年初保险公司给付33603360元养老金直至该君死亡。元养老金直至该君死亡。i)i)若此君活到若此君活到7979岁，则此项投资的收益率是多少？岁，则此项投资的收益率是多少？ii)ii)若此君活到若此君活到9999岁，则保险公司在这一保险业务
10、上岁，则保险公司在这一保险业务上是否合算？是否合算？(答答:i)3.713%;ii)5.3%):i)3.713%;ii)5.3%)EX2 EX2 某君为其某君为其3 3岁的孩子投保某险种，每年初缴纳岁的孩子投保某险种，每年初缴纳保费保费21052105元，缴费其为元，缴费其为1515年。按年利率年。按年利率4.77%4.77%，到，到1515年末此项投资的积累值是多少？若从第年末此项投资的积累值是多少？若从第1616年初开年初开始，每年取出始，每年取出50005000元，共取元，共取4 4年，则到第年，则到第1919年末此年末此项投资的积累值又是多少？项投资的积累值又是多少？(答答:i)22.
11、22;ii)33856):i)22.22;ii)33856)例例3.3.1 3.3.1 证明并解释证明并解释nnnnnnissbvaaa11)1)|012n 1111nt1期末付年金与期初付年金的关系nana nsns 证证:从时间图易见从时间图易见,如果在如果在0时刻之前在加上一个时期时刻之前在加上一个时期,则这一系列付款相当于从则这一系列付款相当于从-1时刻开始的延付年金时刻开始的延付年金.于是于是|1)(1)#nnnnnnvaaaiaa iaii|11)(1)#nnnnnnibSSiSS iSii字面解释字面解释:从时间图易见从时间图易见,期初付款序列相当于期初付款序列相当于0时刻付款时
12、刻付款1,再再加上每时期末付款加上每时期末付款1的的n期期末付年金期期末付年金,减去减去n时刻的时刻的付款付款1.现时值为现时值为a),积累值为积累值为b)三、年金在任一日期的值 1、年金在第一次支付前若干期的值。2、年金在最后一次支付后若干期的值。3、年金在第一次支付与最后一次支付之间的某个时点的值。3.1 每期支付一次的等额确定年金3.1 每期支付一次的等额确定年金 延付年金 1 2mmninm nmav aaammninm nmav aaa3.1 每期支付一次的等额确定年金 四、永久年金 1 211vavi111avd 基本年金公式推导小结211(1)1111(1)1(1)(1)11(1
13、)(1)1(1)1(1)(1)(1)(1)11limlim11limlimnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnvvvavvvvivavvi adiisiiiiisiii sdvaaiivaadd 基本年金公式总结年金有限年金永久年金现时值积累值现时值期末付期初付ivann1iisnn1)1(dvann1 disnn1)1(ia1da1 例3.4 某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。问：（1）他每月等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱？例3.4答案（1）（2）2464
14、300000%465.01215RRa04.22621500465.130000004.226215%465.0606060%465.012060RsPVRaPV或者例3.5 假定现在起立即开始每6个月付款200直到满4年，随后再每6个月付款100直到从现在起满10年，若 求这些付款的现时值。06.0)2(i例3.5答案 方法一：方法二：88 0.0312 0.032001001446.06809.352255.41ava80.0320 0.03100100723.03 1532.382255.41aa例3.6 某人在30岁时计划每年初存入银行300元建立个人帐户，假设他在60岁退休，存款年利
15、率假设恒定为3。（1）求退休时个人帐户的积累值。（2）如果个人帐户积累值在退休后以固定年金的方式在20年内每年领取一次，求每年可以领取的数额。例3.6答案（1）退休时个人帐户积累值计算（2）退休后每年可领取退休金30303%1.031300300147000.03/1.03s30303%20303%203%203%300300(1.031)300959.341 1.03ssXaXa例3.7 永久年金 有一企业想在一学校设立一永久奖学金，假如每年发出5万元奖金，问在年实质利率为20%的情况下，该奖学金基金的本金至少为多少？0.255250.2Pa例3.8 永久年金 A留下一笔10万元的遗产。这笔
16、财产头10年的利息付给受益人B，第2个10年的利息付给受益人C，此后的利息都付给慈善机构D。若此项财产的年实质利率为7%，试确定B，C，D在此笔财产中各占多少份额？例3.8答案25842)(7000:24993)(7000:4946570007000%710000007.02007.007.01007.02007.010aaDaaCaBI：例3.9 有一笔1000元的投资用于每年年底付100元，时间尽可能长。如果这笔基金的年实质利率为5%，试确定可以作多少次正规付款以及确定较小付款的金额，其中假定较小付款是：（1）在最后一次正规付款的日期支付。（2）在最后一次正规付款以后一年支付（3）按精算公
17、式，在最后一次付款后的一年中间支付。（精算时刻）例3.9答案0.051414140.05141414151414140.050.2114.2114100100014.21(1)1000(1.05)10020.07120.07()(2)20.071.0521.07()(3)1000(1.05)10020.071.0520.27nanFDsRR FDballoon paymentFDRFDdrop paymentFDsRFD 3.2 每k期支付一次的等额确定年金 即年金给付期大于利息结算期（或者说是计息频率大于给付频率）的确定年金 n为整个付款期的计息次数，每个计算期的利率为i，每k次计息付款一次
18、，付款次数为n/k，且均为整数。1、期末付 3.2 每k期支付一次的等额确定年金11111理解：2、期初付用等价图进行理解：3、其他的付款频率小于计息频率的情况v支付频率小于利息转换频率的支付频率小于利息转换频率的年金的进一步总结年金的进一步总结设设k为一个支付时期内利息转换时期的个数，为一个支付时期内利息转换时期的个数，n为年为年金以利息转换时期来度量的时期数金以利息转换时期来度量的时期数，i为每个利息转为每个利息转换时期内的利率。换时期内的利率。假定每个支付时期包含整数个利息转换时期，这样假定每个支付时期包含整数个利息转换时期，这样k和和n都是整数。年金的支付次数都是整数。年金的支付次数n
19、/k也是整数。也是整数。结论结论1.每每k个利息转换时期之末付个利息转换时期之末付1的的n期年金的期年金的|knsa现时值为现时值为，积累值为，积累值为|knss（4.1.1)结论结论2.每每k个利息转换时期之初付个利息转换时期之初付1的的n期年金的期年金的|knaa现时值为现时值为，积累值为，积累值为|knas结论结论3.每每k个利息转换时期之末付个利息转换时期之末付1的永久年金的的永久年金的|1kis现时值为现时值为结论结论4.每每k个利息转换时期之初付个利息转换时期之初付1的永久年金的的永久年金的|1kia现时值为现时值为（4.1.2)（4.1.3)（4.1.4)例例3.10 一项年金总
20、共有一项年金总共有r次付款次付款1，其中第一次付款，其中第一次付款是在第是在第7年末支付，其余的每隔年末支付，其余的每隔3年支付一次，年实年支付一次，年实质利率为质利率为i，试确定此项年金的现时值。，试确定此项年金的现时值。633vsar 即年金给付期小于利息结算期的确定年金，或者说是年金给付频率大于利息结算频率的确定年金。设每个计息期内付款m次，n为年金总的计息期数，i为每个计息期的实质利率，假设m、n均为正整数，显然总的付款次数为mn。3.3 每期支付m次的等额确定年金 考虑在年金的每个付款期期末付款1/m的情况，因为每个计息期内付款m次，所以每个计息期内全部付款总量为m1/m=1，而年金
21、总共有n个计息期，因此，年金总的付款量为n。支付频率大于利息转换频率0第m次每次支付第2m次每次支付第nm次每次支付计息支付12nim1m1m1年金分析方法 方法一：利率转换法 年金转换法12()()11()()11111mmnmmmnmnmmmmnvavvvmivavvmd延付：初付：()()()()(mmmninm jmmmndnmdiiijmaaddddmaa）延付：初付：)()(1111mnmnjjmnmnivjvmama)()(1)1(1)1(11mnmnjmnmniijjmsmsv支付频率大于利息转换频率的支付频率大于利息转换频率的年金的进一步分析年金的进一步分析设设m为一个利息转
22、换时期内支付时期的数目，为一个利息转换时期内支付时期的数目，n为年为年金以利息转换时期来度量的时期数金以利息转换时期来度量的时期数，i为每个利息转为每个利息转换时期内的利率。换时期内的利率。假定每个利息转换时期包含整数个支付时期，这样假定每个利息转换时期包含整数个支付时期，这样m和和n都是整数。年金的支付次数都是整数。年金的支付次数nm也是整数。也是整数。(4.1.5)结论结论1.若一项年金在总共若一项年金在总共n个利息转换时期内，每个利息转换时期内，每1/m个利息转换时期之末支付个利息转换时期之末支付1/m,此项年金的此项年金的)()(|1mnmniva现时值为现时值为积累值为积累值为)()
23、(|11mnmniis结论结论2.若一项年金在总共若一项年金在总共n个利息转换时期内，每个利息转换时期内，每1/m个利息转换时期之初支付个利息转换时期之初支付1/m,此项年金的此项年金的|)()()(|1nmmnmnadidva 现时值为现时值为积累值为积累值为|)()()(|11nmmnmnsdidis EX 求证求证|)()(|)()(|,nmmnnmmnsmiiisamiiia 结论结论3.每每1/m个利息转换时期支付个利息转换时期支付1/m的永久年金的的永久年金的现时值为现时值为 及及)()(|1mmia)()(|1mmda 例例4.5 在在10年期间每月支付年期间每月支付$400。设
24、年实质利率为。设年实质利率为i(1)试确定这些付款在第一次付款前试确定这些付款在第一次付款前2年的现时值表达年的现时值表达式，式，(2)试确定最后一次付款后试确定最后一次付款后3年积累值的表达式。年积累值的表达式。EX 一笔年金为每半年付一笔年金为每半年付$1，一直不断付下去，且，一直不断付下去，且第一笔付款为立即支付，问欲使此年金的现时值为第一笔付款为立即支付，问欲使此年金的现时值为$10,年实质利率应为多少？年实质利率应为多少？3.3 每期支付m次的等额确定年金小结 一、期末付年金(P39)1、现值：2、终值：12()()11(.)mnnmmmmmnvavvvmi121()()1(1)11
25、(1)(1).(1)mnnmmmmmniSiiimi 3.3 每期支付m次的等额确定年金小结 二、期初付年金 1、现值：2、终值：()()1nmmnvad()()(1)1nmmniSd3.3 每期支付m次的等额确定年金小结 三、期末付年金与期初付年金的关系p42期末付年金初付年金现时值积累值nmmnaiia)()(nmmnadda )()(nmmnsiis)()(nmmnsdds )()(3.3 每期支付m次的等额确定年金 五、永久年金 1 2()()1mmai()()1mmad例3.11 某购房贷款8万元,每月初还款一次,分10年还清,每次等额偿还,贷款年利率为10.98%,计算每次还款额.
26、例3.11答案 方法一:方法二:521.106880000%8719.012%98.10%8719.012012RaRii）（521.1068)1(12800008000012%3729.101)1()121(12)12()12(10)12(12)12(%98.10vdRaRdid 例3.12：永久年金 一笔年金为每6个月付1元，一直不断付下去，且第一笔付款为立即支付，问欲使该年金的现时值为10元，问年度实质利率应为多少？例3.12答案%46.239.0)1(9.010111015.05.05.05.0iivvvv方法一：(2)(2)(2)2(2)2100.22:1123.4%226addme
27、thoddii 3.4 变额年金一、按等差数列变化的变额年金1、期末付年金：A.递增年金：a.现值：b.终值：23()23.nnnnanvIavvvnvi()(1)()nnnnSnISiIai3.4 变额年金B.递减年金：a.现值：b.终值：23()(1)(2).nnnnaDanvnvnvvi(1)()(1)()nnnnnniSDSiDai3.4 变额年金2.期初付年金：A.递增年金：a.现值：B.终值：21()123.nnnnanvIavvnvd()(1)()nnnnSnISiIad3.4 变额年金B.递减年金：a.现值：b.终值：21()(1)(2).nnnnaDannvnvvd(1)()
28、(1)()nnnnnniSDSiDad等差年金 一般形式 现时值 积累值012nPP+QP+(n-1)QinvaQPaVnnn)0(insQPsnVnn)(特殊等差年金年金递增年金递减年金P=1,Q=1P=n,Q=-1现时值积累值10)(nttntnnnavinvaIa 10)(nttnnnsinsIs 10)(nttnnnaianDa10)1()1()(nttntnnnsiisinDs例3.13 某人第1年末存进银行1000元，以后每年都在前一年的基础上加存100元，假如此人共存了10年钱，在年实质利率为5的情况下，求第10年末此人帐户上的积累值。例3.13答案105%105%95%105%
29、10105%105%95%1010001001000100(1)0.051.05112.58(2)0.05100010017733.68ssIssssIs将(2)式代入(1)式得例3.14 有一项期末付年金，其付款额从1开始每年增加1直至n，然后每年减少1直至1，试求其现时值。（期末付虹式年金）例3.14答案111111(1)()()1111(1)1(1)(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnanvnaIaDavviianvnvvv aivv aivaia a二、二、按等比数列变化的变额年金按等比数列变化的变额年金:等比年金kikiikkvkvvVnnn ,)11(1)1()1()0(
30、1(1)(1)()(1)(0)nnnikV niVik1)1(nk012n11+k例3.15 某期末付永久年金首付款额为5000元,以后每期付款额是前一期的1.05倍,当利率为0.08时,计算该永久年金的现时值.例3.15答案67.16666603.0500005.008.0)08.105.1(15000lim)0(nnV例3.16 我国城镇职工基本养老保险采取社会统筹与个人帐户相结合的方式 个人帐户以个人缴费工资的8记入 如果某职工从20岁参加个人帐户保险，当年工资为6000元 工资年增长率为2，个人帐户的累计利率为4 求他在60岁退休时个人帐户的积累值。例3.16答案2239394040(
31、0)6000 81 1.021.021.021(1.02)1.0213280.63(40)(0)1.0464720.78VvvvvvVV（）=4801-3.5 3.5 连续年金连续年金支付频率大于利息转换频率的年金的一种特殊形式支付频率大于利息转换频率的年金的一种特殊形式是支付频率趋向于无限，即连续支付。在实际中它是支付频率趋向于无限，即连续支付。在实际中它可以作为支付频率很高（例如日付）年金的近似。可以作为支付频率很高（例如日付）年金的近似。定义:付款频率无穷大的年金叫连续年金.公式:00()00()00(1)ttnns dstnnns dstnavdtedtsi dtedt,10|nntn
32、vdtva其中其中 为利息效力，满足为利息效力，满足ventnndtiis0|)1(1)1(3.5.1)若有一年金连续支付若有一年金连续支付n个利息转换时期，在每个时个利息转换时期，在每个时期内总支付量为期内总支付量为1，用符号，用符号 分别记其现值分别记其现值和积累值。则和积累值。则|,nnsa记记tutduis0|)1(对对t求导得求导得ttisdtd)1(|再由再由(3.5.1)1)1(|ttis于是于是|1ttssdtd字面解释：考虑一项字面解释：考虑一项投资基金，其中款项投资基金，其中款项是以每个利息转换时是以每个利息转换时期存期存1的速度连续存的速度连续存入的。基金在时刻入的。基金
33、在时刻t的余额为的余额为 。基金余。基金余额瞬时变化是由于两额瞬时变化是由于两个原因。首先，新的个原因。首先，新的储蓄以每个利息转换储蓄以每个利息转换时期存时期存1的速度发生；的速度发生；其次，基金余额以效其次，基金余额以效力力 赚取利息。赚取利息。|ts类似可证类似可证|1ttaadtd(3.5.2)(3.5.3)可以将连续年金的值严格地利用利息效力可以将连续年金的值严格地利用利息效力 来来表示。此时公式表示。此时公式(3.5.1)化为化为,1|nnea1|nnes(3.5.4)它可以看作连续支付且利息以强度它可以看作连续支付且利息以强度 连续转换的连续转换的年金。年金。恒定利息效力场合()00()001lim1(1)limnnnttmnnmnnnttmnnmeav dtedtaesi dte dts例3.17 确定利息效力使10203ss)(0102ln1202313131010102010201020deleteeoreeeeess
