1、格林公式及其应用格林公式及其应用 一、格林公式一、格林公式二、格林公式的应用二、格林公式的应用第三节第三节(1)第十一章第十一章微积分学基本公式微积分学基本公式Newton-Leibnitz 公式公式:).()(d)(aFbFxxFba l 一个重要的数学关系一个重要的数学关系区域内部与边界的问题区域内部与边界的问题l 问题之间的联系问题之间的联系 Green 公式公式:.dddd)(LDyQxPyxyPxQP,Q 在在 D 上有一阶连续偏导数上有一阶连续偏导数;L 是是 D 的正向边界曲线的正向边界曲线.D单连通区域单连通区域1.单单(复复)连通区域及其正向边界连通区域及其正向边界.,称为复
2、连通区域称为复连通区域不是单连通的平面区域不是单连通的平面区域域域是平面单连通区是平面单连通区则称则称所围的有界区域都属于所围的有界区域都属于内任意一条闭曲线内任意一条闭曲线如果如果为一平面区域为一平面区域设设DDDD复连通区域复连通区域D单连通区域就是单连通区域就是没有没有“洞洞”的区域的区域.一、格林公式一、格林公式DL1L2LD当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区域区域 D 总在他的左边总在他的左边.:,的正向如下的正向如下的边界曲线的边界曲线规定规定平面上的闭区域平面上的闭区域是是设设LDxOyDxyO111D ,1),(:221 yxyxD例如例如.1),(22 yxyx位圆
3、周位圆周的单的单正向边界为逆时针走向正向边界为逆时针走向xyO112D1),(:222 yxyxD.1),(22 yxyx单位圆周单位圆周的的正向边界为顺时针走向正向边界为顺时针走向xyO11223D41),(:223 yxyxD .1),(4),(2222共同组成共同组成与顺时针走向的圆周与顺时针走向的圆周的圆周的圆周正向边界为逆时针走向正向边界为逆时针走向 yxyxyxyx2.格林公式格林公式上述公式称为格林公式上述公式称为格林公式,是英国数学家、物理是英国数学家、物理学家格林在学家格林在1825年发现的年发现的,是是微积分基本公式在二微积分基本公式在二重积分情形下的推广重积分情形下的推广
4、.定理定理1.设区域设区域 D 是由分段光滑是由分段光滑正向曲线正向曲线 L 围成围成,则有则有,),(yxP),(yxQ.dddd LDyQxPyxyPxQ函数函数在在 D 上具有连续一阶偏导数上具有连续一阶偏导数,DL baxd .型型的的型型的的又又是是既既是是区区域域 YXD.),()(:21bxaxyxD DyxyPdd.d)(,()(,(12 baxxxPxxP 证证:情形情形1.)()(21dxxyyP X-型型 baxd)()(21),(xxyxP x)(:22xyL )(:11xyL Oy xabDABCE DyxyPdd.d)(,()(,(12 baxxxPxxP LxPd
5、xxxPd)(,(1 baxxxPd)(,(1.dd DyxyP 21d),(d),(LLxyxPxyxPxxxPd)(,(2)(:22xyL )(:11xyL oy xabDABCE EALBCLxPxPxPxPdddd21 ba ab baxxxPd)(,(2.),()(:21dycyxyD .ddd LDyQyxxQ,两式相加则有两式相加则有型的型的是是型又型又既是既是由于区域由于区域 YXD.dddd LDyQxPyxyPxQY-型型)(:22yxL )(:11yxL 0y xDAEBCcdyxoL情形情形2.若若D不满足以上条件不满足以上条件,则可通过加辅助线将其则可通过加辅助线将其
6、 31dd)(kDyxyPxQkyxyPxQDdd)(.dd LyQxP分割为有限个上述形式的区域分割为有限个上述形式的区域,如图如图1D2D3DABCNPM MCBAMDyQxPyxyPxQ,dddd)(1 ABPADyQxPyxyPxQ,dddd)(2 BCNBDyQxPyxyPxQ,dddd)(3情形情形3.若若D为复连通区域为复连通区域,则将则将 D 沿辅助线沿辅助线 AB 割开割开,yxyPxQDdd)(.dd21 LLyQxP ABLBALyQxP21dd得到以得到以 为正向边界的单连通区域为正向边界的单连通区域.ABLBAL 21L1L2DAB证毕证毕.LDyxxyyxdddd)
7、1(1 1.计算平面区域的面积计算平面区域的面积.d),(d),(d)(LDyyxQxyxPyPxQ 则则令令,xQyP .dd21 LDxyyxA的面积的面积二、格林公式的应用二、格林公式的应用 的面积的面积DA2例例1所所围围成成图图形形的的面面求求椭椭圆圆 sin,cosbyax .A积积解：解：LxyyxAdd21 20d21 ab 2022d)sincos(21 abab.ab Oxy.20:,sincos:byaxL)cos(d sin)sin(d cos abba 2021 10d x.)1,0(),0,1(),0,0(,dd4正正向向边边界界为为顶顶点点的的三三角角形形区区域域
8、的的是是以以其其中中计计算算LyxyxxL 2.计算曲线积分计算曲线积分.61 例例2.解解:,4xyQxP Lyxyxxdd4 Dyxydd xyy10d xyO11Dy=0y=1-xxyPxQ Dyxd)d (10d x2)1(21 x 21a.,:,dd 22222逆逆时时针针方方向向其其中中计计算算ayxLyxyxxyL LyxxyddxQyP ,Dyxadd)1(112.2 例例3.解解:xyOLa-a不能直接应用格林公式不能直接应用格林公式!原式原式=21a 2a Lyxxydd DyxyPxQdd)(解解:22222)(yxxyyP lLyxxyyx22dd,22yxyP ,22
9、yxxQ ,xQ .,1:,dd 222222逆逆时时针针方方向向其其中中计计算算 byaxLyxyxxyL例例4.xyOLabD在在D 内作圆周内作圆周,:222ryxl 取顺时针方向取顺时针方向.,1D记记 L 和和 l 所围的区域为所围的区域为lr1D则令则令 1dd)(DyxyPxQ=0.:),(1Dyx.2 Lyxxyyx22dd lyxxyyx22dd0dd dd 2222 lLyxxyyxyxxyyxxyOLabDlr1D lyxxyyx22ddyAxoL例例5.计算计算,d)(d)3(22yxyxyxL 其中其中L 为上半为上半24xxy 从从 A(4,0)到到 O(0,0).
10、解解:添加辅助线段添加辅助线段,OA它与它与L 所围区域为所围区域为D,则则原式原式yxyxyxOALd)(d)3(22 Dyxdd4 OAyxyxyxd)(d)3(22 402dxx圆周圆周.3648 DyxyyxxxyDdd)3()(22 0d)0(d)03(22xxx L不是闭曲线不是闭曲线!40.)0,(),0(,dOABOrBrArLyxL和和的的部部分分及及到到的的圆圆周周在在第第一一象象限限从从是是半半径径为为计计算算,),(,0),(xyxQyxP .0,1 yPxQ Dyxdd.42r 例例6.解解:xyOABL LyxdL 的方向是的方向是负方向负方向!LyxdL 的逆方向
11、是的逆方向是正方向正方向!DyxyPxQdd)(.)4,2(),2,3(),1,1(:,dd 2为为顶顶点点的的三三角角形形闭闭区区域域以以计计算算CBADyxxD 3.计算二重积分计算二重积分则则令令,3,03xQP .2xyPxQ Dyxxdd2例例7.解解:CABCAByxyxyxd 31d 31d 31333O)1,1(A)2,3(BxyDC(2,4)CABCAByxxd3d0 3.31 :,1)1(21 :xxyABxxd21313 .12125dd 2 Dyxx AByx d 3O)1,1(A)2,3(BxyDC(2,4)CAyx d 3 BCyx d 3.10.23 :,2)3(
12、2 :xxyBC.12 :,1)1(3 :xxyCAxxd)2(233 .265 xxd3123 .445 OABxy.)1,0(),1,1(),0,0(:,dde2为顶点的三角形闭区域为顶点的三角形闭区域以以计算计算BAODyxDy 则则令令,e,02yxQP .e2yyPxQ BOABOAyDyyxxyxded0 dde22例例8.解解:D BOyAByOAyyxyxyxdedede222.01 :,1 :xyAB AByyxde 2d(1)e010 x;0.01 :,0 :yxBO BOyyxde 2yyde0012 .0);e1(211 OAyyxde 2 10de2xxx.10 :,
13、:xxyOA Dyyxdde2).e1(211 故故OABxyD11xyABCO1 21.)0,1()1,0(1)1,0()0,2(22,d)e3(d)2(22接而成的定向曲线接而成的定向曲线的一段连的一段连到到上从点上从点圆弧圆弧的一段及的一段及到到上从点上从点由直线由直线是是其中其中计算计算 CByxBAyxLyyxxyxLy.CA添加定向线段添加定向线段.CALL 定向闭曲线定向闭曲线,22yxP ,e3yyxQ ,2 yP.3 xQ根据格林公式得根据格林公式得思考思考:1.解解 Dyxdd)2(3 Lyyyxxyxd)e3(d)2(2 CALyyyxxyxd)e3(d)2(2).14(5dd5 Dyx.21:,0:xyCA CAyyyxxyxd)e3(d)2(2.3d212 xx Lyyyxxyxd)e3(d)2(23)14(5 .245 xyABCO1 21作业作业P213:1(2);2(1);3;5(1)(4).
