1、第三节第三节 不定积分的分部积分法不定积分的分部积分法一、基本内容一、基本内容问题问题?dxxex解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.设函数设函数 u=u(x)和和 v=v(x)具有连续导数具有连续导数,)(vuvuuv ,)(vuuvvu ,ddxvuuvxvu .dduvuvvu 分部积分公式分部积分公式例例1 1 求不定积分求不定积分.d xxex解解,xu 设设xevxdd xxexd xexexxd.Cexexx )(dxex分部积分法的关键是正确选择分部积分法的关键是正确选择 u 和和 v.选择选择 u 和和 v 的原则是的原则是:,)1复杂复杂不
2、比不比 vv.)2更简单更简单比比 uu,dduvuvvu ,dxe 例例2 2 求不定积分求不定积分.dcos xxx若若 xxxdcos xxxxxdsin2cos222显然显然,u 和和 dv 选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.解解 xxxdcos )(sindxx xxxxdsinsin.cossinCxxx )2(dcos2xx例例3 3 求不定积分求不定积分.d)1(2 xexx解解 xexxd)1(2 xxeexxxd2)1(2.)(2)1(2Cexeexxxx .)32(2Cexxx )(d)1(2xex再次使用再次使用分部积分法分部积分法 )(d2)1(2xxex
3、ex例例4 4 求不定积分求不定积分.dcos)2(2 xxxx解解 xxxxdcos)2(2 xxxxxxdsin)1(2sin)2(2 )(sind)2(2xxx )cos(d)1(2sin)2(2xxxxxdcos)cos)(1(2sin)2(2 xxxxxxxCxxxxxx sin2)1(cos2sin)2(2.)1(cos2sin)22(2Cxxxxx 说明：说明：口诀（反、对、幂、三、指）口诀（反、对、幂、三、指）例例5 5 求不定积分求不定积分解解 xxxdarctanxxxxxd112arctan2222 xxxxd)111(21arctan222 .)arctan(21arc
4、tan22Cxxxx )2(darctan2xx.darctan xxx例例6 6 求不定积分求不定积分解解 xxdarcsin)(arcsindarcsinxxxx xxxxxd1arcsin2.darcsin xx.1arcsin2Cxxx 说明：说明：单纯的反三角函数、对数函数积分，单纯的反三角函数、对数函数积分，可直接运用分部积分；可直接运用分部积分；例例7 7 求不定积分求不定积分.dln3 xxx解解 xxxdln3 xxxxd41ln4134.161ln4144Cxxx )4(dln4xx例例8 8 求不定积分求不定积分.dsin xxex解解 xxexdsin )cosd(xe
5、x xxexexxdcoscos )d(sincosxexexx xxexxexxdsin)cos(sin xxexdsin)cos(sin2xxex 注意循环注意循环形式形式.C 说明：说明：不定积分可通过解方程求得，但要注意不定积分可通过解方程求得，但要注意结果结果+C；可连续几次利用多次分部，但每次应可连续几次利用多次分部，但每次应选同一类函数；选同一类函数；例例9 9 求不定积分求不定积分.dsec3 xx解解 dxx3sec xxxdsecsec2 )(secdtantansecxxxx xxdsec3 )(tandsecxx xxxxxdsectantansec2 xxxxxd)s
6、ec(sectansec3 xxxxxxdsectanseclntansec3Cxxxx )tanseclntan(sec21例例1010 求不定积分求不定积分.d)sin(ln xx解解 xx d)sin(ln )sin(lnd)sin(lnxxxx xxxxd)cos(ln)sin(ln )cos(lnd)cos(ln)sin(lnxxxxxx xxxxxd)sin(ln)cos(ln)sin(ln xx d)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 例例 求不定积分求不定积分.d)sin(ln xx解解,lnux 令令,uex 则则,dduexu xx d)sin(ln uu
7、eudsin例例1111 求不定积分求不定积分 .d12sinxx解解,12ux 令令 xxd12sin uuudsin,212 ux则则,dduux )cos(duu uuuudcoscosCuuu sincos.12sin12cos12Cxxx 说明：说明：有时应结合换元积分，先换元后再分部；有时应结合换元积分，先换元后再分部；例例 1 12 2 已已知知)(xf的的一一个个原原函函数数是是 2xe,求求 xxfxd)(.解解 xxfxd)()(dxfx,d)()(xxfxxf,d)(2 Cexxfx由已知可得由已知可得两边同时对两边同时对 x 求导求导,得得,2)(2xxexf xxfx
8、d)(xxfxxfd)()(.2222Ceexxx 说明：说明：被积函数中含有抽象函数的导函数，常被积函数中含有抽象函数的导函数，常考虑用分部积分；考虑用分部积分；解解.d)(ln xxxn例例1 13 求积分求积分 xxxInnd)(ln )2d()(ln2xxn )(lnd21)(ln2122nnxxxx xxxnxxnnd)(ln2)(ln2112122)(ln21 nnInxx)1,(*nNn)(*Nn 递推公式为递推公式为),1,(,2)(ln21*12 nNnInxxInnn说明：利用分部积分法可得求不定积分的递说明：利用分部积分法可得求不定积分的递推公式推公式 xxxIdln1而
9、而 )2(dln2xx )(lnd2ln222xxxx xxxxd2ln22Cxxx 2ln222.,1nIn由递推公式都可求得由递推公式都可求得所以对任意确定的所以对任意确定的 练习：练习：求下列不定积分求下列不定积分 .d1arctan)1(2xxxx .d)1()2(2xxxex .d1)1()3(1xexxxx .d1arctan)1(2xxxx解解 xxxxd1arctan2 )1d(arctan2xx)(arctand1arctan122xxxx xxxxxd111arctan1222 .)1ln(arctan122Cxxxx xxxxd11arctan122 .d)1()2(2x
10、xxex解解 dxxxex2)1()11(dxxex )d(111xxxexxxe xexxexxd1Cexxexx 1Cxex 1解解 .d1)1()3(1xexxxx xexexxxxxxdd)1(11原式原式 xexexxxxxxdd)11(112 xeexxxxxd)(d11 xexexexxxxxxdd111.1Cxexx 二、小结二、小结.单纯的反三角函数、对数函数积分，单纯的反三角函数、对数函数积分，可直接运用分部积分；可直接运用分部积分；.口诀（反、对、幂、三、指）口诀（反、对、幂、三、指）;.不定积分可通过解方程求得，但要注意不定积分可通过解方程求得，但要注意结果结果+C；.
11、有时应结合换元积分，先换元后再分部；有时应结合换元积分，先换元后再分部；.被积函数中含有抽象函数的导函数，常被积函数中含有抽象函数的导函数，常考虑用分部积分；考虑用分部积分；.利用分部积分法可得求不定积分的递利用分部积分法可得求不定积分的递推公式。推公式。一、填空题：一、填空题：1 1、xdxxsin_；2 2、xdxarcsin_；3 3、计算、计算 xdxx ln2，u可设可设_ _,dv_；4 4、计算、计算 xdxexcos，u可设可设_ _ _,dv_；5 5、计算、计算 xdxx arctan2，u可设可设_ _,dv_；6 6、计计算算 dxxex，u可可设设_ _ _ _ _
12、_ _,dv_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .二、二、求下列不定积分：求下列不定积分：1 1、dxxx2cos22；2 2、dxxx23)(ln；练练 习习 题题3、nxdxeaxcos；4、dxex3；5、dxx)cos(ln；6、dxxxex232arctan)1(.三三、已已知知xxsin是是)(xf的的原原函函数数，求求 dxxxf)(.四四、设设 CxFdxxf)()(，)(xf可可微微，且且)(xf的的反反函函数数)(1xf 存存在在，则则 CxfFxxfdxxf )()()(111.一、一、1 1、Cxxx sincos；2 2、Cxxx 21arcsin；3 3、dxxx2,ln；4 4、,xe xdxcos；5 5、dxxx2,arctan；6 6、dxexx,.二、二、1、Cxxxxxx sincossin21623；2、Cxxxx 6ln6)(ln3)(ln123；3、Cnxnnxanaeax )sincos(22 4、Cxxex )22(33323；练习题答案练习题答案 5 5、Cxxx )sin(ln)cos(ln2；6 6、Cexxx arctan2121；7 7、Cexexexxxx 22.三、三、Cxxx sin2cos.
