1、2 第二型曲面积分 第二型曲面积分的典型物理背景是计算流体从曲面一侧流向另一侧的流量.与第二型曲线积分相类似,第二型曲面积分与曲面所取的方向有关,这就需要先定义“曲面的侧”.一、曲面的侧二、第二型曲面积分的概念 三、第二型曲面积分的计算 四、两类曲面积分的联系 一、曲面的侧 设连通曲面设连通曲面 S 上到处都有连续变动的切平面上到处都有连续变动的切平面 (或法或法 线线),曲面在其上每一点处的法线有曲面在其上每一点处的法线有两个方向：当取两个方向：当取 定其中一个指向为正方向时定其中一个指向为正方向时,另一个另一个指向就是负方指向就是负方 向向.又又设设 0M为为 S 上任一点上任一点,L为为
2、 S上上任一经过点任一经过点0,M且不超出且不超出 S 边界的闭边界的闭曲线曲线.当当 S 上的动点上的动点 M 从从 0M出发沿出发沿 L 连续移动一周而回到连续移动一周而回到 时时,如果有如果有如下特如下特0M0M征征:出发时出发时 M 与与 取相同的法线方向取相同的法线方向,而回来时仍而回来时仍 保持原来的法线方向不变保持原来的法线方向不变,则称该曲面则称该曲面 S 是双侧的是双侧的.否则否则,若若 M由某一点由某一点 0M出发出发,沿沿 S 上某一封闭曲线上某一封闭曲线 0M回到回到 时时,其法其法线方向与出发时的方向相反线方向与出发时的方向相反,则称则称 S 是单侧曲面是单侧曲面.我
3、们通常遇到的曲面大多是双侧曲面我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面.单侧曲面的单侧曲面的 一个典型例子是默比乌斯一个典型例子是默比乌斯(Mobius)带带.它的构造方它的构造方 法如下法如下:取一矩形长纸条取一矩形长纸条ABCD(如图如图22-4(a),将其将其 一端扭转一端扭转 180 后与另一端粘合在一起后与另一端粘合在一起(即让即让 A 与与 C 重合重合,B 与与 D 重合重合,如图如图22-4(b)所示所示).224 图图ABCD(a)ACBD0M(b)默比乌斯默比乌斯(Mbius,A.F.1790-1868,德国德国)通常由通常由 (,)zz x y所表示的曲面都是双侧曲面所表示的曲面
4、都是双侧曲面,其法其法 线方向与线方向与 z 轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧,另一侧称为下侧另一侧称为下侧.当当 S 为封闭曲面时为封闭曲面时,法线方向朝外法线方向朝外 的一侧称为外侧，另一侧称为内侧的一侧称为外侧，另一侧称为内侧.习惯上把上侧习惯上把上侧 作为正侧作为正侧,下侧作为负侧下侧作为负侧;又把封闭曲面的外侧作为又把封闭曲面的外侧作为 正侧正侧,内侧作为负侧内侧作为负侧.(,)i+(,)j+(,)kvP x y zQ x y zR x y z二第二型曲面积分的概念先考察一个计算流量的问题先考察一个计算流量的问题.设某流体以流速设某流体以流速 从曲面从
5、曲面 S 的负侧流向正侧的负侧流向正侧(图图22-5),其中其中 P,Q,R 为为 所讨论范围上的连续函所讨论范围上的连续函 数数,求在单位时间内流过求在单位时间内流过 曲面曲面 S 的总流量的总流量 E.设在设在 S 上任一点上任一点(,)x y z处的正向单位法向量为处的正向单位法向量为 225 图图S(,)iii nviS(cos,cos,cos),n 这里这里 ,都都是是 x,y,z 的函数的函数.则单位时间内流经则单位时间内流经 小曲面块小曲面块 iS的流量的流量 (,)(,)iiiiiiiivnS (,)cos(,)cosiiiiiiiiPQ (,)cos,iiiiiRS 其中其中
6、(,)iiiiiMS 是任意取定的一点是任意取定的一点;(cos,cos,cos)iiiin 是点是点 处的单位法向量处的单位法向量;iM分别是分别是 iScos,cos,cosiiiiiiSSS 在坐标面在坐标面 ()()()(,)(,)(,).iiii yziiii zxiiii xyPSQSRS ()(),.i zxi xySS iS于是单位时间内由于是单位时间内由 的负侧的负侧流向正流向正 所以所以,单位时间内由单位时间内由 S的负侧流向正侧的总流量的负侧流向正侧的总流量这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第 侧的流量侧的流量 也就近似
7、等于也就近似等于 i()|011lim(,)nniiiii yzTiiPS ()()(,)(,).iiii zxiiii xyQSRS 上投影区域的近似面积上投影区域的近似面积,分别记作分别记作 ,yz zx xy(),i yzS 的投影区域的面积的投影区域的面积,它们的符号由它们的符号由iS的方向来确定的方向来确定:()()(),i yzi zxi xySSSiS分别表示分别表示 在三个坐标面上在三个坐标面上 二型曲面积分二型曲面积分.定义定义1 设设 P,Q,R 为定义在双侧曲面为定义在双侧曲面 S 上的函数上的函数.对对 S 作分割作分割 T,它把它把 S 分为分为 12,nSSS分割分
8、割 T 1|max.iinTS 的的直直径径()0,0,ii xyiSSS ;取上侧取上侧取下侧取下侧的细度为的细度为 ()|01lim(,)niiii yzTiIPS ()|01lim(,)niiii xyTiRS (,),1,2,.iiiiSin 若若 ()0,0,ii yziSSS ;取前侧取前侧取后侧取后侧()0,0,.ii zxiSSS 取右侧取右侧取左侧取左侧()|01lim(,)niiii zxTiQS S在曲面在曲面 所指定所指定一侧上的一侧上的第二型曲面积分第二型曲面积分,记作记作 的选取无关的选取无关,则称此极限则称此极限 I 为向量函数为向量函数 (,)iii 中的三个极
9、限都存在中的三个极限都存在,且与分割且与分割 T 和和点点 的的(,)i+(,)j+(,)kFP x y zQ x y zR x y z(,)d d(,)d d(,)d d,SP x y zy zQ x y zz xR x y zx yI(1)(,)d d.SR x y zx yI(,)d d(,)d dSSP x y zy zQ x y zz x或或(,)vP Q RS据此定义据此定义,某流体以速度某流体以速度 从曲面从曲面 的的 负侧流向正侧的总流量即为负侧流向正侧的总流量即为 (,)d d(,)d d(,)d d.SP x y zy zQ x y zz xR x y zx y 又如又如,
10、若空间中的磁场强度为若空间中的磁场强度为 (,),(,),(,),EP x y z Q x y z R x y z(,)d d(,)d d(,)d d.SHP x y zy zQ x y zz xR x y zx yS则按指定方向穿过曲面则按指定方向穿过曲面的磁通量的磁通量(磁力线总数磁力线总数)为为若以若以S表示曲面表示曲面 S 的另一侧的另一侧,由定义易知由定义易知 d dd dd dSP y zQ z xR x yd dd dd d.SP y zQ z xR x y 第二型曲面积分有第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的性质类似于第二型曲线积分的性质:1.若若 d dd dd d(1,2
11、,)iiiSP y zQ z xR x y ik 存在存在,1d dd dd d,ikiiiiiScP y zQ z xR x y 111()d d()d d()d dkkkiiiiiiiiiSc Py zc Qz xc Rx y则有则有 其中其中(1,2,).ic ik是常数是常数2.若曲面若曲面S是由两两无公共内点的曲面是由两两无公共内点的曲面12,kS SS所组成所组成,则有则有 d dd dd dSP y zQ z xR x y1d dd dd d.ikiSP y zQ z xR x y三第二型曲面积分的计算定理定理22.2 设设(,)R x y z是定义在光滑曲面是定义在光滑曲面 (
12、):(,),(,).xyS zz x yx yD 上的连续函数上的连续函数,以以 S 的上侧为正侧的上侧为正侧(这时这时S的法线方的法线方 ()(,)d d(,(,)d d.(2)xySDR x y zx yR x y z x yx yz向与向与 轴正向成锐角轴正向成锐角),则有则有证证 由第二型曲面积分的定义由第二型曲面积分的定义,|max00.iTSd的的直直径径()|01(,)d dlim(,)niiii xyTiSR x y zx yRS ()01lim(,(,),niiiii xydiRzS 由于由于 R 在在 S 上连续上连续,()xyzD在在上连续上连续(曲面光滑曲面光滑),据据
13、 在在(,(,)R x y z x y()xyD复复合函数的连续性合函数的连续性,上也连续上也连续.由二重积分的定义由二重积分的定义,()max.i xydS的直径的直径这里这里 显然有显然有()()01(,(,)d dlim(,(,).xyniiiii xydiDR x y z x yx yRzS :(,),Sxx y z()(,)yzy zD()(,)d d(,),)d d.(3)yzSDR x y zy zR x y zy zy z()(,)d d(,(,)d d.xySDR x y zx yR x y z x yx y所以所以 这里这里 S 是取法线方向与是取法线方向与 x轴的正向成锐
14、角的那一轴的正向成锐角的那一 类似地类似地,当当 在光滑曲面在光滑曲面 (,)P x y z上连续时上连续时,有有 ():(,),(,)zxSyy z xz xD(,)d d(,(,),)d d.(4)zxSDQ x y zz xQ x y z x zz x一侧为正侧一侧为正侧.侧为正侧侧为正侧.当当 在光滑曲面在光滑曲面 (,)Q x y z上连续时上连续时,有有这里这里 S 是取法线方向与是取法线方向与 y轴的正向成锐角的那一轴的正向成锐角的那一 xyOz226图图 1S2Sd d,Sxyz x y例例1 计算计算 S2221xyz其中其中是球面是球面的外侧（图的外侧（图22-6）.解解
15、曲面曲面 S 在第一、五卦限部在第一、五卦限部 分的方程分别为分的方程分别为 22112222:1,:1.SzxySzxy 0,0 xy部分并取球面部分并取球面在在 它们在它们在xy平面上的投影区域都是单位圆在第一象限平面上的投影区域都是单位圆在第一象限 部分部分.因积分是沿因积分是沿12SS的的上上侧侧和和的下侧进行的下侧进行,故故 12d dd dd dSSSxyz x yxyz x yxyz x y()()22221d d1d dxyxyDDxyxyx yxyxyx y()2221d dxyDxyxyx y13220022dcos sin1d=.15rrr 其中其中22ed d,ySz
16、xxzS例例2 计算计算 是由曲面是由曲面221,2yxzyy 与与所围立体表面的外侧所围立体表面的外侧.解解 曲面曲面 123,SSSS 其中其中 221(,)1,1,Sx y xzy222(,)2,2,Sx y xzy221:1;Dxz 其投影为其投影为223(,),12,Sx y yxzy112222eed dd dySDz xz xxzxz 21001edd2e.r rr 2222222eed dd dySDz xz xxzxz223:12.Dxz 其投影为其投影为222:2;Dxz 其投影为其投影为2222001edd2 2e.r rr 22332222eed dd dyxzSDz
17、xz xxzxz 22201edd2(ee).rr rr 222ed d2(21)e.ySz xxz 因此因此如果光滑曲面如果光滑曲面 S 由参量方程给出由参量方程给出:(,),:(,),(,).(,),xx u vSyy u vu vDzz u v(,)(,)(,),(,)(,)(,)y zz xx yu vu vu v 若在若在 D 上各点它们的函数行列式上各点它们的函数行列式 不同时为零不同时为零,则分别有则分别有(,)d d(,),(,),(,)d d,(5)(,)SDy zP y zP x u v y u v z u vu vu v(,)d d(,),(,),(,)d d,(6)(,
18、)SDz xQ z xQ x u v y u v z u vu vu v(,)d d(,),(,),(,)d d,(7)(,)SDx yR x yR x u v y u v z u vu vu v注注(5),(6),(7)三式前的正负号分别对应三式前的正负号分别对应 S 的两个侧的两个侧,所选定的正所选定的正 uvS特别当特别当 平面的正方向对应于曲面平面的正方向对应于曲面 向一侧时向一侧时,式前取正号式前取正号,否则取负号否则取负号.3d d,Sxy z其中其中 S 为椭球面为椭球面 例例3 计算计算 2222221xyzabc的上半部分的上半部分,并取外侧并取外侧.sincos,sinsi
19、n,cos(0,02).2xaybzc()3333d dsincosd d,(8)SDxy zaA 由由(5)式有式有 解解 把曲面表示为参量方程把曲面表示为参量方程:其中其中2cos sinsin cos(,)sincos,(,)sin0bby zAbcc 积分是在积分是在 S 的正侧进行的正侧进行.由上述的注由上述的注,(8)式右端取正式右端取正 ()33332d dzsincossincos d dSDxyabc 235432002sindcosd.5a bca bc 号号,即即 五、两类曲面积分的联系与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建
20、立 两种类型曲面积分的联系两种类型曲面积分的联系.设设 S 为光滑曲面为光滑曲面,并以上侧为正侧并以上侧为正侧,R 为为 S 上的连续上的连续 函数函数,曲面积分在曲面积分在 S 的正侧进行的正侧进行.因而有因而有 ()|01(,)d dlim(,).(9)niiii xyTiSR x y zx yRS 由曲面面积公式（第二十一章由曲面面积公式（第二十一章6）,()1d d,cosi xyiSSx y iS其中其中 是曲面是曲面 的法线方向与的法线方向与 z 轴正向的交角轴正向的交角,它它 是定义在是定义在 ()i xyS上的函数上的函数.因为积分沿曲面正侧进行因为积分沿曲面正侧进行,所以所以
21、 是锐角是锐角.又由又由 S 是光滑的是光滑的,所以所以 cos 在闭域在闭域使这点的法线方向与使这点的法线方向与 z 轴正向的夹角轴正向的夹角 *i 满足等式满足等式 上连续上连续.应用中值定理应用中值定理,在在 内必存在一点内必存在一点,()i xyS()i xyS()*1,cosii xyiSS*()cos.i xyiiSS*()(,)(,)cos.(10)iiii xyiiiiiRSRS 或或与与 z 轴正向夹角的余弦轴正向夹角的余弦,则由则由 cos 的连续性的连续性,可推可推 于是于是 现以现以 cosi 的法线方向的法线方向 iS表示曲面在点表示曲面在点(,)iiix y z|0
22、T时时,(10)式右端极限存在式右端极限存在.因此由因此由(9)式式 得当得当 得到得到 (,)d d(,)cos d.(11)SSR x y zx yR x y zS 这里注意当改变曲面的侧向时这里注意当改变曲面的侧向时,左边积分改变符号左边积分改变符号;cos 右边积分中角右边积分中角 改为改为 .因而因而 也改变符号也改变符号,(,)d d(,)cos d,(12)SSP x y zy zP x y zS 其中其中 ,分别是分别是 S 上的法线方向与上的法线方向与 x 轴正向和与轴正向和与 y 所以右边积分也相应改变了符号所以右边积分也相应改变了符号.同理可证同理可证:(,)d d(,)
23、cosd,(13)SSQ x y zz xQ x y zS 轴正向的夹角轴正向的夹角.一般地有一般地有 cos,cos,cos 这样这样,在确定了余弦函数在确定了余弦函数 之后之后,由由(11),(12),(13),(14)式便建立了两种不同类型曲面积式便建立了两种不同类型曲面积 分的联系分的联系.()(,),(,)xyzz x yx yD 注注 当曲面由当曲面由 表示表示,且取上侧且取上侧 (,)d d(,)d d(,)d dSP x y zy zQ x y zz x R x y zx y(,)cos(,)cosSP x y zQ x y z(,)cosd.(14)R x y zS(,)d
24、d(,)d d(,)d dSP x y zy zQ x y zz x R x y zx y2222cos,cos,cos1;11yxxyxyzzzzzz ()(,)()(,)()(,)d d.xyxyDP x y zzQ x y zzR x y zx y因此因此 上式避免了同一曲面要向三坐标平面作投影上式避免了同一曲面要向三坐标平面作投影,从而从而使计算得到简化使计算得到简化.22d1d d,xySzzx y 时时,例例4 计算计算 22()d dd d()d d,Sy xzy zxz xyxzx y S225,zxy 1z 其中其中 为为 的部分的部分,并取上侧并取上侧.22():4;2,2.xyxyDxyzxzy22()d dd d()d dSy xzy zxz xyxzx y()2222(5)(2)(2)d dxyDy xxyxxyyxzx y()2223200d ddsind4.xyDyx yrr 解解 上面第二步计算后得到上面第二步计算后得到 是利用了积分区是利用了积分区 ()2d d,xyDyx y域的对称性和被积函数的奇偶性域的对称性和被积函数的奇偶性,除了这一项外除了这一项外,其其 他各积分项全都等于零他各积分项全都等于零.
