1、第二章算符及力学量的算符表示 一、算符 二、力学量的算符表示 三、力学量的平均值一、算符(Operators)BACBACBACBACxxfxf xxxxxfxfDxD ,.1)()()()(,如果如果算符的加法和乘法。，位置算符。如微分算符的数学运算符号。数变成另一个函数算符：算符是把一个函1,),()()()()()()(,:1,:,:,;,.2xxxfxfxxxfxxxfxfxxxxfxxfxxxxABBABABAABBA即：证明例如为算符的对易关系式定义算符的乘法不对易。一般情况下反之为非对易。对易与则称算符若算符的对易：等就不是线性算符。但算符就是线性算符。算符例如：就是线性算符。则
2、算符满足下列关系若算符线性算符算符的平方：log,)()()()()()()()(:.4 .322112211221122112xxfcxfcxfcxfcxAxfAcxfAcxfcxfcAAAAA就是线性算符。（例如哈密顿算符：也是线性算符。则是线性算符若一般而言线性算符满足下列关系 ),()2 )()()()(,)(,)(22222220111zyxVzyxmHxaAxaAxaAxaCABCACBACCBCACBAnnnn是本征值。能量是本征函数波函数就是本征方程，例如：薛定谔方程是本征值。本征函数就是算符的函数则该方程就是本征方程即乘以该函数上得到一个常数作用到函数如果算符本征值和本征函数
3、本征方程EEHkxfxkfxfAxfxfA、,)(,)()(:),()(ion)eigenfunctand eigenvalue tion,(eigenequa .5是厄米算符。练习：证明等同：上述定义与下面的定义为厄米算符。则算符即满足下列关系若算符定义算符厄米xipdfAffdAfAfAggAfdfAggdAfAx*)(*|:*)(*:(Hermite).6.,*)(*,*)(*)(*)(*0*|*,:是厄米算符因此即则有对于波函数证明是厄米算符。例题：证明AdxAdxAdxAdxxidxxidxxiidiiddxxidxAxiA是实数。，即厄米算符的本征值因此，即：可以得到：根据厄米算符
4、的定义，即：本征值为为它的本征函数，是厄米算符，证明：若实数。：厄米算符的本征值是定理*0*)(,*,*)(*)*(1 aadggaadggagdgadgAggdAggagAaggAagA相互正交。和因此，注意即：可以得到：根据厄米算符的定义，且，即：为它的本征函数，是厄米算符证明：若征函数一定互相正交。征值的两个本：厄米算符属于不同本定理jiijijijiiijijijijjijijjjiiijiddaaaadadadAdAaaaAaAA0*,0*)()*(,*,*)(*,2 。可以求出常数正交，和要求令征值具有相同的本和则关系满足下列和若存在函数对算符例如正交化方法。？这需要运用施米特数如
5、何保证它们正交呢相同本征值的本征函数一定互相正交。具有值的两个本征函厄米算符属于不同本征ccFGFGFaGGAaFFAGFA2121,:,:,)Schmidt(FdFdGFFGFFdFdGFcFdFcdGFdcFGFd*/*,*/*0*)(*2121的本征函数。即：征值的相互正交这样就得到两个具有本即：子轨道。求出两个相互正交的分法请根据施米特正交化方是不正交和为的键的两个能量大得到环丙烯基理论根据例题,)2(61 )2(61 :MO ,HMO:2131223211E132)(21),2(61:2/1)2)(2(61),(:,)1()2()12(61)2(61 3223211213123211
6、2132121232111分别为和一化的分子轨道因此两个相互正交且归且是归一的为实函数注意得到根据施米特正交化方法解：令dcdccccc 二、力学量的算符表示 在量子力学中每个力学量对应一个线性厄米算符,力学量算符的表达式如何写出呢?(1)时空算符就是它们自己:(2)动量算符定义为:(3)任意力学量Q的算符表达式为:ttzzyyxx,zipyipxipzyx,),(),(tziyixizyxQtpppzyxQzyx例如,动能算符的写法:在经典力学中,动能可以用动量来表示:将动量算符的形式代入上式,得到动能算符为:势能是空间坐标的函数,即:V=V(x,y,z)。因此,势能算符与它原来完全一样:m
7、pppmEzyxkin22122222222222222222222)(2 )()()(212mzyxmziyiximmpppKzyx),(),(zyxVzyxV角动量算符的写法:)()()()(),(),(:,)()()(222222222xyyxzxxzyzzyMxyyxiMzxxziMyzzyiMMMMMMMMMMkypxpjxpzpizpyppppzyxkjiprMzyxzyxzyxzyzxyzzyx因此Mrp练习题:1.函数sin(6x)是否是算符 的本征函数,若是求本征值.2.一个质量为m的粒子在长度为a的一维势箱中运动,求该粒子动量的平方p2为多少?3.下列算符,哪些是线性算符?
8、22 ,dxddxd cos,sin,log,22Hdxddxd法。下面来讨论。求这涉及力学量平均值的平均值是什么呢多次测量该力学量其为任意常数即的本征函数不是力学量算符若状态。力学量一定得到数值时测量该则在状态有本征方程状态时对处于若某一力学量对应算符力学量的平均值三?,:,:,、bbBBaaAA几率。的是测量力学量时得到的总次数是测量的次数，是力学量取其中对一般平均值有：jjjjjjjjjjNiiFpNFnFpNFnNFFF,1dxdydzdxdydzzyxFFdxdydzzyxFFdxdydzzyxFF*),(*:,),(*:,),(*公式成为未归一化时当即得到求平均值的公式：，可以因此根据波函数的意义22sin|)2sin(212)2sin2|21(1)2cos(1)2cos1(212)sin(2)sin(2000020000ldxlxnlxnxnllxnxdnlxldxlxnxxdxldxlxnxldxlxnlxlxnlxxllllllll的平均值。例题：求一维势阱中
