1、第六章第六章 二次型二次型6.1 二次型及其标准形二次型及其标准形6.2 用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形6.3 用初等变换法化二次型为标准形用初等变换法化二次型为标准形6.4 正定二次型正定二次型第十四次课第十四次课掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念 了解合同变换和合同矩阵的概念了解合同变换和合同矩阵的概念 掌握二次型的标准形式掌握二次型的标准形式掌握用配方法化二次型为标准形的方法掌握用配方法化二次型为标准形的方法 教学内容教学内容教学目标及基本要求教学目标及基本要求6.1 二次型及其标准形二次型及其标准形6.2 用配方法
2、化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形q二次型的矩阵表示及用配方法化二次型为标准形二次型的矩阵表示及用配方法化二次型为标准形重重 点点2022年年12月月28日星期三日星期三36.1 6.1 二次型及其标准形二次型及其标准形一、二次型及其矩阵表示一、二次型及其矩阵表示(P157定义定义6.1.1)quadratic form2022年年12月月28日星期三日星期三42.矩阵表示形式：矩阵表示形式：令令 1,2iiiiijjiijabaabij ,平方项保持不变，交叉项取平方项保持不变，交叉项取1/2 1/2 121212111212122212(,)(,)nnnnnnnTnnaaaaaaf
3、x xxxxxfxxaAaXaXx A为为实对称矩阵实对称矩阵2022年年12月月28日星期三日星期三5说明说明(1)：二次型二次型实对称矩阵实对称矩阵A一一对应一一对应Matrix of a quadratic form Rank of a quadratic form 2022年年12月月28日星期三日星期三6例例12022年年12月月28日星期三日星期三7二、二次型的标准形二、二次型的标准形给定二次型：给定二次型：TfX AX，怎样化二次型为标准形，怎样化二次型为标准形 （关键是寻找一个（关键是寻找一个可逆变换可逆变换）：）：TYY (P159定义定义6.1.2)12nddd 12,nf
4、yyy 12nyyy canonical form of a quadratic form 2022年年12月月28日星期三日星期三811111221221122221122nnnnnnnnnnxp yp yp yxp yp ypyxp ypypy 1111211221222212nnnnnnnnxpppyxpppyxpppy 即：即：(0)P 则：则：TTfX AXPYA PY TTYYP AP TYY XPY 2022年年12月月28日星期三日星期三9故：关键是寻找故：关键是寻找可逆变换可逆变换 ,XPY 使得使得 TP AP (P160定义定义6.1.3)congruence of ma
5、trices 2022年年12月月28日星期三日星期三10三、正交变换法化二次型为标准形三、正交变换法化二次型为标准形TTTTT()()()fX AXPYA PYYP AP YYY 2221122nnyyy(P161定理定理6.1.1)2022年年12月月28日星期三日星期三11正交变换法化标准形的步骤正交变换法化标准形的步骤2022年年12月月28日星期三日星期三12222123123121323(,)444f x xxxxxx xx xx x 用正交变换化为标准形。用正交变换化为标准形。例例1解解二次型的矩阵为：二次型的矩阵为：122212221A 122212221AE 1231,5 2
6、15 0 为为A的特征值的特征值2022年年12月月28日星期三日星期三13 0AE X两两正交正交的特征向量：的特征向量：12111,102 单位化得：单位化得：12116211,26026 当当121 时时2022年年12月月28日星期三日星期三14当当35时时 50AE X特征向量为：特征向量为：3111 取正交矩阵取正交矩阵 123,P 11163211126302163 则经正交变换则经正交变换单位化得：单位化得：3131313 XPY 化为标准形：化为标准形：2221235fyyy 2022年年12月月28日星期三日星期三156.2 6.2 用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形例例12022年年12月月28日星期三日星期三16例例2(P168例例6.2.2)2022年年12月月28日星期三日星期三17小小 结结q二次型：二次型：TfX AX 平方项保持不变，交叉项取平方项保持不变，交叉项取1/2 1/2 q正交变换法化标准形的步骤正交变换法化标准形的步骤q配方法化标准形配方法化标准形2022年年12月月28日星期三日星期三18提前预习提前预习作作 业业习题习题6(A)：175 176:1 2 3P、6.4 正定二次型正定二次型6.3 用初等变换法化二次型为标准形用初等变换法化二次型为标准形
