1、 静力学中研究了刚体和刚体系统的平衡问题。对于一般的静力学中研究了刚体和刚体系统的平衡问题。对于一般的非自由质点（包括可变形的刚体系统）而言，其平衡条件比刚非自由质点（包括可变形的刚体系统）而言，其平衡条件比刚体复杂。体复杂。例如，以无重刚体连接的两质点在等值，反向，共线的两例如，以无重刚体连接的两质点在等值，反向，共线的两轴向拉力和压力的作用下均可平衡，但是若将刚杆换为柔绳，轴向拉力和压力的作用下均可平衡，但是若将刚杆换为柔绳，则在轴向压力下，虽然力系也满足平衡条件，但此两质点所组则在轴向压力下，虽然力系也满足平衡条件，但此两质点所组成的系统却不能平衡。成的系统却不能平衡。由此可见，刚体平衡
2、必要充分条件对一般的非自由质点系由此可见，刚体平衡必要充分条件对一般的非自由质点系统来说就不是充分的。因此，不能只依靠刚体平衡必要充分条统来说就不是充分的。因此，不能只依靠刚体平衡必要充分条件去解决非自由质点系的平衡问题。件去解决非自由质点系的平衡问题。本章介绍本章介绍虚位移原理虚位移原理，又称为，又称为分析静力学分析静力学。虚位移原理是非自由质点系平衡的一般规律，它给出了任虚位移原理是非自由质点系平衡的一般规律，它给出了任一非作自由质点系平衡的必要与充分条件，是解答平衡问题一非作自由质点系平衡的必要与充分条件，是解答平衡问题的最一般的原理。的最一般的原理。刚体在力的作用下不变形，在刚体静力学
3、中仅从作用于刚刚体在力的作用下不变形，在刚体静力学中仅从作用于刚体上的力系的简化结果就可得出刚体的平衡条件。体上的力系的简化结果就可得出刚体的平衡条件。由于非自由质点系中各质点间的相对位置可以改变，并且由于非自由质点系中各质点间的相对位置可以改变，并且相对位置的改变又因约束的存在而受到某些限制，问题较为复相对位置的改变又因约束的存在而受到某些限制，问题较为复杂。必须首先研究约束对质点运动的影响，以及质点系中各质杂。必须首先研究约束对质点运动的影响，以及质点系中各质点所可能发生的位移等。点所可能发生的位移等。约束与约束方程约束与约束方程,自由度与广义坐标自由度与广义坐标 在静力学中，曾经将限制某
4、物体运动的其它物体称为在静力学中，曾经将限制某物体运动的其它物体称为约束，约束对被约束物体的作用表现为约束反力。约束，约束对被约束物体的作用表现为约束反力。现在从运动学的观点来看约束的作用，给约束下一广义现在从运动学的观点来看约束的作用，给约束下一广义的的：如一非自由质点系的位置和速度受到某些预定条件的如一非自由质点系的位置和速度受到某些预定条件的限制，这种限制条件称为约束。限制，这种限制条件称为约束。例如，车轮限制在直线轨迹上作无滑动例如，车轮限制在直线轨迹上作无滑动的滚动，这时约束就表现为限制车轮中的滚动，这时约束就表现为限制车轮中心到轨迹的距离不变，车轮上每瞬时与心到轨迹的距离不变，车轮
5、上每瞬时与轨迹接触点（瞬心）的速度为轨迹接触点（瞬心）的速度为 0 0。该限。该限制条件就是约束。制条件就是约束。o yc(x,y)cc rvc x 约束对质点系运动的限制以通过质点系中各质点的坐标约束对质点系运动的限制以通过质点系中各质点的坐标和速度的数学方程来表示，这方程称为约束方程。和速度的数学方程来表示，这方程称为约束方程。（1 1）按约束的作用分：）按约束的作用分：几何约束几何约束只限制质点和质点系几何位置的只限制质点和质点系几何位置的 约束；约束；运动约束运动约束能限制质点系中质点速度的约束；能限制质点系中质点速度的约束；即质点或质点系中各质点的坐标在约束的限制即质点或质点系中各质
6、点的坐标在约束的限制条件下所必须满足的条件。条件下所必须满足的条件。例如图示小球借刚例如图示小球借刚杆而悬于杆而悬于 o o，小球运动限，小球运动限制在图示铅垂平面内绕点制在图示铅垂平面内绕点作以杆长作以杆长L L为半径的圆周为半径的圆周运动。运动。yom(x,y)xL则其约束方程为确定则其约束方程为确定M M点位置的方程：点位置的方程：222lyxM M点在任何位置都满足这一方程点在任何位置都满足这一方程。又如：图示曲柄又如：图示曲柄连杆机构，可简化连杆机构，可简化为由曲柄销为由曲柄销 A A和滑和滑块块 B B两个质点所组两个质点所组成的质点系。轴承成的质点系。轴承，刚性杆，刚性杆 A A
7、和和ABAB以以及滑道形成了对质及滑道形成了对质点系的约束，点系的约束，yA(x,y)oLxB(x,y)AArBB其相应的约束方程为：其相应的约束方程为：0)()(222222BABABAAylyyxxryx(b)(b)运动约束的约束方程：运动约束的约束方程：约束方程中含有质点系中质点的速度称为运动约束方程中含有质点系中质点的速度称为运动约束。例如：约束。例如：沿直线轨道沿直线轨道只滚不滑的车轮只滚不滑的车轮 o y xc rcvc(x,y)c约束的限制条件为：约束的限制条件为：限制轮缘上与地面相限制轮缘上与地面相接触点接触点I I的速度为的速度为0 0，其约束方程为：其约束方程为：0rxry
8、cc为轮半径为轮子的角速度，的速度，为轮心其中rCxc 完整约束完整约束可积分的运动约束和几何约束可积分的运动约束和几何约束 非完整约束非完整约束不可积分的运动约束不可积分的运动约束 如以下的运动方程中：如以下的运动方程中：为积分常数）为积分常数）积分可得：积分可得：CCrxrxcc(,0 式中虽然有对时间式中虽然有对时间t t的微分项，但可以积分的微分项，但可以积分为有限形式。为有限形式。定常约束定常约束质点系所受对其运动的限制条件质点系所受对其运动的限制条件 不随时间变化的约束。不随时间变化的约束。非定常约束非定常约束凡约束条件随时间变化的约束。凡约束条件随时间变化的约束。定常约束，即质点
9、系所受对其运动的限制条件定常约束，即质点系所受对其运动的限制条件不随时间变化的约束称为定常约束，定常约束的约不随时间变化的约束称为定常约束，定常约束的约束方程中不含时间变量，如前面几个例子中的约束束方程中不含时间变量，如前面几个例子中的约束均为定常约束均为定常约束 。tayOsin 非定常约束的约束方程中显含时间变量非定常约束的约束方程中显含时间变量 t,t,例如图示摆，其悬挂点例如图示摆，其悬挂点oo沿铅垂方向按沿铅垂方向按 规律运动规律运动LM(x,y)yxxooyo,质点质点M M的约束方程为：的约束方程为：222sinltayx式中显含时间式中显含时间t t，属于非定常约束。，属于非定
10、常约束。双侧约束双侧约束（固执约束）（固执约束）约束方程是等式的约束方程是等式的（同时限制质点某方向及相反方向运动的约束）（同时限制质点某方向及相反方向运动的约束）单侧约束单侧约束（非固执单侧约束）（非固执单侧约束）约束方程为约束方程为不等式的。不等式的。（只能限制质点某方向的运动，不能限制其相（只能限制质点某方向的运动，不能限制其相反方向的运动）反方向的运动）本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束；本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束；在一般情况下，若由在一般情况下，若由n n个质点组成的质点系，受到个质点组成的质点系，受到S S个个定常完整约束的限制，则其约束方程为：定常完整约束的限制，则其
11、约束方程为：Szyxzyxzyxfnnn.3,2,10,;.,;,222111 此即确定质点系位置的此即确定质点系位置的3n3n个坐标所应满足的个坐标所应满足的S S个关系式。个关系式。由此可见，如果在由此可见，如果在3n3n个坐标个坐标x xi i、y yi i、z zi i(i=1,2,n)(i=1,2,n)中知道中知道了了3n-S3n-S个彼此独立的坐标，并利用此个彼此独立的坐标，并利用此S S个约束方程，即可解个约束方程，即可解出其余出其余S S个未知的坐标，于是，便可完全确定质点系的位置。个未知的坐标，于是，便可完全确定质点系的位置。确定具有完整约束的质点系位置所需的独立坐标数称为确
12、定具有完整约束的质点系位置所需的独立坐标数称为该质点系的该质点系的自由度数自由度数。以。以 k k表示自由度数，则上述具有表示自由度数，则上述具有S S个完个完整约束并由整约束并由n n个质点组成的质点系的自由度数：个质点组成的质点系的自由度数：k k3n3nS,S,具有具有k k个自由度个自由度 （平面（平面k k2n2nS S）例如：双摆的约束方程为：例如：双摆的约束方程为：B(x,y)yo12L2A(x,y)L1xAABB22222122lyyxxlyxABABAA约束为完整约束，所以在约束为完整约束，所以在确定双摆位置的确定双摆位置的 4 4个坐标个坐标x xA A,y,yA A,x,
13、xB B,y,yB B中只有中只有 2 2 个是个是独立的（如独立的（如x xA A,y,yB B），因此，双摆的自由度为：），因此，双摆的自由度为：k=2n-2=2k=2n-2=2 事实上，该例中只要确定事实上，该例中只要确定1 1、2 2，那么，那么A.BA.B的位置坐标的位置坐标也就完全确定了，位置坐标可表示为：也就完全确定了，位置坐标可表示为：22112211111coscossinsincossinllyllxlylxBBAA 1 1、2 2起到了确定该质点位置的作用，称为广义坐标。起到了确定该质点位置的作用，称为广义坐标。B(x,y)yo12L2A(x,y)L1xAABB 凡能借以
14、确定质点系位置的独立参变量称为凡能借以确定质点系位置的独立参变量称为质点系的广义坐标。质点系的广义坐标。广义坐标可以是直角坐标广义坐标可以是直角坐标x x，y y，z z，球坐标或，球坐标或柱坐标，弧坐标，转角等，也可以是其它的任何柱坐标，弧坐标，转角等，也可以是其它的任何确定质点系位置的量，甚至还可以是压强和体积。确定质点系位置的量，甚至还可以是压强和体积。而且，对于完整约束的质点系，其而且，对于完整约束的质点系，其自由度数自由度数与广义坐标数相等与广义坐标数相等。如前例中双摆，自由度数为。如前例中双摆，自由度数为2 2，广义坐标亦为，广义坐标亦为2 2。一般来说，由一般来说，由n n个质点
15、组成的并具有定常的个质点组成的并具有定常的完整约束的质点系，若自由度数为完整约束的质点系，若自由度数为k k，则可选取，则可选取k k个独立的参变量个独立的参变量q q1 1,q,q2 2,q,qk k作为其广义坐标。作为其广义坐标。此即用广义坐标表示的此即用广义坐标表示的n n个质点位置的一般表达式，个质点位置的一般表达式，其中隐含了约束条件。其中隐含了约束条件。kkiikiikiiqqqqqqzzqqqyyqqqxx.,.,.,.,21212121i ii ir rr r即：即：于是有：于是有：在某瞬时，质点在约束允许的条件下，所可能在某瞬时，质点在约束允许的条件下，所可能发生的任何的微小
16、位移称为质点的虚位移。发生的任何的微小位移称为质点的虚位移。xzwyrs如图所示的质点，如图所示的质点，受一曲面约束，质点在此曲面受一曲面约束，质点在此曲面上运动，在法线上运动，在法线w w方向上，约束方向上，约束质点限制运动。质点限制运动。约束所能允许的微小位移约束所能允许的微小位移（虚位移）只能沿切平面。虚位移）只能沿切平面。（1 1）虚位移和实位移都是约束所允许的位移。）虚位移和实位移都是约束所允许的位移。（2 2）在定常约束条件下，实位移是若干虚位移中的）在定常约束条件下，实位移是若干虚位移中的一个。一个。质点在一定的时间内所完成的真实位移，可以是质点在一定的时间内所完成的真实位移，可
17、以是有限量，也可以是无限量的，决定于物体的主动力和约束条有限量，也可以是无限量的，决定于物体的主动力和约束条件，初始条件（初速度，初位移等）件，初始条件（初速度，初位移等）不受时间限制，与力的作用无关，决定于约束的不受时间限制，与力的作用无关，决定于约束的几何位置，只要约束允许，其虚位移即可以沿不同的方向，几何位置，只要约束允许，其虚位移即可以沿不同的方向，但只能是微小量。但只能是微小量。（1 1）虚位移是假想的，实位移是真实的。）虚位移是假想的，实位移是真实的。（2 2）虚位移可以朝约束允许的任意方向运动，实位）虚位移可以朝约束允许的任意方向运动，实位移只有一运动方向。移只有一运动方向。（3
18、 3）静止时，可以有虚位移，而无实位移。）静止时，可以有虚位移，而无实位移。（4 4）实位移可以是微小值实位移可以是微小值dr,也可能是有限值也可能是有限值r，虚位移只能是虚位移只能是r。（5 5）完成实位移需要时间，而虚位移不同的瞬时处）完成实位移需要时间，而虚位移不同的瞬时处于不同位置就有不同的虚位移。于不同位置就有不同的虚位移。BoxyrArAdrArBArB例如：曲柄连杆机构：例如：曲柄连杆机构：如果如果方向确定了，方向确定了，A A点及点及B B 点的实际位移方向就决定于点的实际位移方向就决定于的转向。而虚位移则不论的转向。而虚位移则不论的方向如何，只要是约束允许的的方向如何，只要是
19、约束允许的即可随意假设。符号区别：即可随意假设。符号区别：zyxsrdzdydxddsdr,虚位移：虚位移：实位移：实位移：定常约束情况下，实位移是所有虚位移中的一个。对于定常约束情况下，实位移是所有虚位移中的一个。对于非定常约束，虚位移指某一个瞬时将时间固定，约束所能允非定常约束，虚位移指某一个瞬时将时间固定，约束所能允许的微小位移。而实位移是不能固定时间的。许的微小位移。而实位移是不能固定时间的。几何法：几何法：非自由质点系在中各质点的相对应位置必须非自由质点系在中各质点的相对应位置必须满足相应的约束条件，因而在各点虚位移之间就满足相应的约束条件，因而在各点虚位移之间就存在着一定的关系。存
20、在着一定的关系。对于刚体或刚体系统而言，各点虚位移之间对于刚体或刚体系统而言，各点虚位移之间的关系与该点运动时各点速度之间的关系相同。的关系与该点运动时各点速度之间的关系相同。如上述曲柄连杆机构：若给如上述曲柄连杆机构：若给A点虚位移点虚位移rA，则曲柄的虚转角，则曲柄的虚转角为：为：rA r。曲柄上各点的虚位移与定轴转动刚体各点的速度一样求法，曲柄上各点的虚位移与定轴转动刚体各点的速度一样求法，为到转轴的距离为到转轴的距离。同理，由于连杆同理，由于连杆AB的限制，的限制，A,B两点间的距离不能改变，两点间的距离不能改变，故可以认为故可以认为B点与点与rA 相应相应的虚位移的虚位移rB是由于连
21、杆是由于连杆AB绕瞬心绕瞬心I转过一虚转角转过一虚转角I 而得到的，且：而得到的，且：AIrAIyCIrALorAIIBxrB-9090-oo从而得到从而得到B B点的虚位移点的虚位移r rB B 为：为：AAIBrrAIBIBIrcos)sin(显然，显然，A,BA,B两点虚位移之间的关系与速度关系完全相同。两点虚位移之间的关系与速度关系完全相同。对于作平面运动的对于作平面运动的A,BA,B杆上其余各点的虚位移可以同样求得。杆上其余各点的虚位移可以同样求得。（用速度瞬心法）（用速度瞬心法）oBArIC0-90L90-0yrArBIxIcos)sin(coscoscos)90sin(cos)s
22、in()90sin()sin(AIBIlAIlAIlBIlBIoooBArIC0-90L90-0yrArBIxI 解析法是将质点系中各质点的位置坐标以广义坐标表示，解析法是将质点系中各质点的位置坐标以广义坐标表示，对广义坐标求偏导数，偏导数之和表示其虚位移。对广义坐标求偏导数，偏导数之和表示其虚位移。如前述的复摆，自由度为如前述的复摆，自由度为2(k=2n-2=2),2(k=2n-2=2),约束方程为约束方程为2 2，这，这时，只要选择了两个广义坐标时，只要选择了两个广义坐标1 1，2 2，A,BA,B两质点的位置即两质点的位置即可完全确定。可完全确定。2y1oxA(x,y)B(x,y)AAB
23、Bll1211111221122sincossinsincoscosAABBxlylxllyll两质点虚A,B沿x,y方向的位移可以求得：位位移移。两两质质点点用用坐坐标标表表示示的的虚虚即即求求得得BAllyyyllxxxlyyylxxxBBBBBBAAAAAA,sinsincoscossincos22211122112221112211111221111122112y1oxA(x,y)B(x,y)AABBll1211111221122sincossinsincoscosAABBxlylxllyll 设质点系由设质点系由n n个质点组成，并且由个质点组成，并且由S S个完整约束，自由度个完整
24、约束，自由度k k3n3nS S，选择，选择k k 个广义坐标个广义坐标q q1 1，q q2 2，q qk k以表示质点系中以表示质点系中k k个质点的位置。个质点的位置。若给质点系以任意的虚位移，则各广义坐标均应有相应的若给质点系以任意的虚位移，则各广义坐标均应有相应的微小改变（称为广义虚位移），并分别以微小改变（称为广义虚位移），并分别以q q1 1，q q2 2，q qk k表示。质点系中任一点表示。质点系中任一点M Mi i的任一坐标，如的任一坐标，如x xi i 就有相应的微小改就有相应的微小改变量变量x xi i，则，则M Mi i 以广义坐标表示的位置坐标为：以广义坐标表示的位
25、置坐标为：iii1122kkxxxqq,qq,.,qq 利用多元函数的台劳级数展开，并略去二阶以上的微量，利用多元函数的台劳级数展开，并略去二阶以上的微量，则有：则有：kki2i11ik21iiqqx.qxqqxq,.,q,qxxxiiii1k12kiiii1k12kiiii1k12kxxxxq.qqqqyyyyq.qqqqzzzzq.qqqq推得到解析法求虚位移的公式推得到解析法求虚位移的公式kki2i11ik21iiqqx.qxqqxq,.,q,qxxx其表达式为其表达式为 01niiNirF 约束反力在质点系的任何虚位移上所作元功约束反力在质点系的任何虚位移上所作元功为为0 0的约束称为
26、理想约束。的约束称为理想约束。换言之：理想约束的换言之：理想约束的约束反力在质点系的任何虚位移上不作功。约束反力在质点系的任何虚位移上不作功。（1 1）光滑支承面约束：）光滑支承面约束：rNF0r rF FF Fr rNNW(2)(2)中间铰（包括固定铰支座，轴承，活动铰等）中间铰（包括固定铰支座，轴承，活动铰等）NNrFF F FN N和和F FN N为其两杆反力，为其两杆反力，且且有有 F FN NF FN N ，二力的，二力的作用点在作用点在O O点的虚位移所作点的虚位移所作的元功之和为的元功之和为0 0，即：，即：0 r rF Fr rr rF FNNNNFF(3)(3)连杆（二力杆）
27、连接两质点连杆（二力杆）连接两质点 A,B两质点以无重刚体相连，所受的约束反力两质点以无重刚体相连，所受的约束反力分别为：分别为：rNABNBrFFA0rFrFrrBA,FFFFBNBANAABBABANBNANBNA即：故两点距离不能改变，和(4)(4)连接两点不可伸长的的柔性约束连接两点不可伸长的的柔性约束 两质点两质点A A和和B B以不可伸长且跨过滑轮的受拉柔绳以不可伸长且跨过滑轮的受拉柔绳相连，绳对质点的拉力分别为：相连，绳对质点的拉力分别为：FTFATBABrr0rFrFABFFFFBTBATATBTATBTA：所作的功之和为所作的功之和为0 0，即，即约束反力在虚位移上约束反力在
28、虚位移上从而，可得出：从而，可得出：绳上的投影应相等，绳上的投影应相等，两点的虚位移在两点的虚位移在绳子不可伸长，绳子不可伸长，（大小相等）（大小相等），且有：且有：与与1 1 虚位移原理：虚位移原理：具有定常、理想约束的质点系处于平衡位置的具有定常、理想约束的质点系处于平衡位置的必要充分条件是作用于质点系上的所有主动力在质必要充分条件是作用于质点系上的所有主动力在质点处于该位置时的任何虚位移上所作的元功之和为点处于该位置时的任何虚位移上所作的元功之和为0 0。其数学表达式为：其数学表达式为：0rFin1ii注：注：“处于平衡位置处于平衡位置”是指质点系在该位置所受是指质点系在该位置所受的主动
29、力与约束反力相平衡，从而质点系的加速的主动力与约束反力相平衡，从而质点系的加速度为度为0 0，如速度亦为，如速度亦为0 0，则质点系静止。，则质点系静止。如图示单摆：如图示单摆：在在OAOA位置，位置，平衡平衡与与g gF FmTyAM oxT1TmgmgFF OAOA为平衡位置。为平衡位置。如采用直角坐标，如采用直角坐标，则得虚位移原理则得虚位移原理的解析表达式为：的解析表达式为：01niiiiiiizzyyxx2 2 原理的证明：原理的证明：（1 1）必要性）必要性 即要证明：若质点系处于平衡即要证明：若质点系处于平衡位置，上式必然成立。位置，上式必然成立。若质点系处于平衡位置，其中任一质
30、点所受的若质点系处于平衡位置，其中任一质点所受的主动力主动力F Fi i与约束反力与约束反力F FNiNi互成平衡，即有：互成平衡，即有：0FFiNi主动力与约束反力在质点的虚位移上作的元功：主动力与约束反力在质点的虚位移上作的元功：对于每个质点写一个该方程（即认为对于每个质点写一个该方程（即认为i i1 1，2 2，n n）,然后连加起来得：然后连加起来得：0rFFiiNi)(0rFFn1iiiNi)(必要性得证,故得：,理想约束，有：又0rFrFin1iiiiN（2 2）充分性：即要证明若）充分性：即要证明若 成立，成立，质点必平衡。质点必平衡。采用反证法，设质点不平衡，有采用反证法，设质
31、点不平衡，有 成立，那么质点系从静止开始运动，并在微元时间成立，那么质点系从静止开始运动，并在微元时间内发生微小实位移，则有微小动能：内发生微小实位移，则有微小动能：0)(NFF01niii ir rF F 0)1()()21(12是理想约束，是理想约束，jNjjNjmjjjjvmddTr rF Fr rF FF F211:()()(2)200mkkkNkkkjjknmdTdm vvv设有个质点不动，即而，FFrFFr充分性得证。必有质点系处于平衡，要上式成立，必有与原题假设不和，且则质点系总动能：式相加式和0,0:,000,)2()1(avdTiiir rF Fr rF F3 3 讨论：讨论
32、：（1 1）如果质点系有摩擦力和弹性力，则将其看作）如果质点系有摩擦力和弹性力，则将其看作 主动力，同样应用虚位移原理；主动力，同样应用虚位移原理；（2 2）如质点系的主动力包括有主动力矩，那么相）如质点系的主动力包括有主动力矩，那么相 应的虚位移应为虚转角。应的虚位移应为虚转角。4 4 虚位移原理的应用虚位移原理的应用（1 1）利用原理求物体系统平衡时，各质点间的位置；）利用原理求物体系统平衡时，各质点间的位置；（2 2）利用原理求物体系统平衡时，未知的约束力。）利用原理求物体系统平衡时，未知的约束力。例题例题1 1 在曲柄式压榨机在曲柄式压榨机OABOAB的中间销钉的中间销钉A A上作用一
33、上作用一 水平力水平力F F，此力位于，此力位于OABOAB平面内，如平面内，如AOBlABOA 求物体求物体M M所受的压力。所受的压力。设设O O为光滑铰链，压板为光滑铰链，压板D D与铅垂接触面间为光滑与铅垂接触面间为光滑接触，且板和杆的质量接触，且板和杆的质量均不计。均不计。yB90MRBA90IOx2rrA00090FFll解：（解：（1 1）研究由杆）研究由杆OAOA，OBOB和压板和压板D D所组成的系统所组成的系统 的平衡的平衡 （2 2）建立图示坐标，受力分析）建立图示坐标，受力分析(主动力主动力)（3 3）约束分析：）约束分析：因光滑铰且光滑接触，因光滑铰且光滑接触，所以均
34、是定常的理想约束，所以均是定常的理想约束，如对其建立约束方程，则如对其建立约束方程，则方程中不会显含方程中不会显含t t，所以，所以可用虚位移解题。可用虚位移解题。yB90MRBA90IOx2rrA00090FFll（4 4）求出虚位移：质点系为一曲柄滑块机构，其）求出虚位移：质点系为一曲柄滑块机构，其 自由度为自由度为1 1，选，选为广义坐标，由解析法可得：为广义坐标，由解析法可得：cos2sinlylxBAsin2coslyylxxBBAAyB90MRBA90IOx2rrA00090FFll(5)(5)应用虚位移原应用虚位移原理求解理求解 ctgFFlFFlRR20sin2cossin2c
35、oslylxBAyB90MRBA90IOx2rrA00090FFllsin2)90sin(2sin:0lrrAIBIrABIAAB瞬心，故有：瞬心，故有：杆的速度杆的速度点为点为又又如用几何法求解：如用几何法求解：给一虚位移转角给一虚位移转角，则，则A点虚位移点虚位移lrA的大小为的大小为yB90MRBA90IOx2rrA00090FFllctgFFlFlFRRDA20sin2cos:00:或或得：得：由虚位移原理由虚位移原理r rF FF Fr rF FR R与用几何法求解的结果一样。与用几何法求解的结果一样。yB90MRBA90IOx2rrA00090FFll例例2 2 图示为一多跨静定梁
36、，试求支座图示为一多跨静定梁，试求支座B B的约束反力。的约束反力。4mrAA4m3mBD3mrr1BB3mr2D33mE6mErEGG4r4m1F2F3F4F123FFF4FHHFRB解：为求支座解：为求支座B B的反力，应撤去支座的反力，应撤去支座B B而代之以相应而代之以相应的反力的反力R RB B，视其为主动力之一，于是系统可有微小，视其为主动力之一，于是系统可有微小的移动（转动）给系统以虚位移，如图（注意虚位的移动（转动）给系统以虚位移，如图（注意虚位移应是约束允许的，移应是约束允许的，故不能破坏其约束）故不能破坏其约束），由虚位移原理得：，由虚位移原理得：4433221144332
37、21110rFrFrFrFrFrFrFrFrFrFBBRBBR4mrAA4m3mBD3mrr1BB3mr2D33mE6mErEGG4r4m1F2F3F4F123FFF4FHHFRB241181163346118113681121842244223321BEEBBBBBrrrrrrrrrrrrrrrrrr，各虚位移的关系：各虚位移的关系：43212411161181121FFFFFBR：故得4mrAA4m3mBD3mrr1BB3mr2D33mE6mErEGG4r4m1F2F3F4F123FFF4FHHFRB例例 均质杆均质杆OAOA及及ABAB在在A A点用铰链连接，并在点用铰链连接，并在O O
38、处用处用固定铰支座支承，两杆长度分别为固定铰支座支承，两杆长度分别为2a2a和和2b2b，重分别，重分别为为G G1 1 和和G G2 2，设在，设在B B点点施加一水平力施加一水平力F F，求，求系统平衡时两杆与系统平衡时两杆与铅垂线的夹角铅垂线的夹角和和。BADC0G12GFxy解：这是一个具有两个自由度的系统，取广义坐标解：这是一个具有两个自由度的系统，取广义坐标和和，建立坐标如图。采用解析法求虚位移：，建立坐标如图。采用解析法求虚位移：sin2sin2coscos2cosbaxbayayBDcBADC0G12GFxycos2cos2sinsin2sinbaxbayayBDc0cos2s
39、incos2sin2sin0)cos2cos2()sinsin2()sin(22121）（）（bFbGaFaGaGbaFbaGaG整理得：由虚位移原理得：BADC0G12GFxy于是有：，相互独立，并且：与由于：,000cos2sin0cos2sin2sin221bFbGaFaGaG0cos2sincos2sin2sin221）（）（bFbGaFaGaG221G2Farctan,2GG2Farctan：解得BO1OAMF例：例：机构如图，已知：机构如图，已知：OA=O1BL，O1BOO1，作用于，作用于OA上的力偶矩为上的力偶矩为M，试用虚位移原理求机构在图示位置平衡时，试用虚位移原理求机构在
40、图示位置平衡时F力的大小。力的大小。ABFOO1MrrAerrrB解：解：A点的虚位移如图所示，点的虚位移如图所示，sinsinLrrAe1sineerro ALLLrLBoreBsin10BrFMLMF/4m3m3m 3m3m6m4mF1F32F4mM例例 图示为一多跨静定梁，试求图示为一多跨静定梁，试求B B处约束反力。处约束反力。rMFBrr rr12BE32F3FF1解要求支座解要求支座B B处反力，处反力，应将支座应将支座B B除去，代之除去，代之以相应的约束反力以相应的约束反力F FB B，并将其视为主动力之一。并将其视为主动力之一。此时系统变为一个自由度此时系统变为一个自由度系统
41、，选系统，选r rB B为独立虚位为独立虚位移。给移。给B B点一虚位移点一虚位移r rB B ，则系统有相应的虚位移如则系统有相应的虚位移如图中虚线所示形状。图中图中虚线所示形状。图中各主动力作用点处的虚位各主动力作用点处的虚位移分别用移分别用r r1 1、r r2 2 、r r3 3 及及表示。表示。124111,828BBrrrr33223 11116 816BBrrrrrr23111166696EBBBrrrrrrMFBrr rr12BE32F3FF1由虚位移原理有由虚位移原理有0332211MrFrFrFrFBB解得解得BBBBBrMrrFrrFrrFF332211MFFFFB961
42、1161181121321从而有从而有kN801FkN602FkN/m10qq21FF2m3m3m2m1m4m例例5 图示为一多跨静定梁，试求图示为一多跨静定梁，试求A A端处约束反力偶矩及铅垂反端处约束反力偶矩及铅垂反力。已知力。已知q21FF2m3m3m2m1m4m解要求解要求A A端约束反力偶矩，端约束反力偶矩，可将固定端支座变成固定铰可将固定端支座变成固定铰支座，用约束反力偶矩支座，用约束反力偶矩M MA A代之去掉的相应约束，并视代之去掉的相应约束，并视为主动力之一。为主动力之一。此时系统变为一个自由度系此时系统变为一个自由度系统，选统，选为独立虚位移，为独立虚位移，给给ABAB梁一
43、虚位移梁一虚位移，则系，则系统有相应的虚位移如图虚线统有相应的虚位移如图虚线所示。所示。M123F12Fqrrr图中各主动力作用点的虚位移分别用图中各主动力作用点的虚位移分别用 、和和 表示。表示。由虚位移原理，得由虚位移原理，得M123F12Fqrrr1r2r3r0432211rqrFrFMA312124ArrrMFFq解得解得224336,4236,3321rrrmkN40084321qFFMA由图知由图知从而有从而有要求要求A A处铅垂反力，可将固定端支座变成定向支座，用铅垂处铅垂反力，可将固定端支座变成定向支座，用铅垂约束反力约束反力F FAYAY代之去掉的相应约束，并视为主动力。此时
44、系统代之去掉的相应约束，并视为主动力。此时系统变为一个自由度系统，选变为一个自由度系统，选r rA A为独立虚位移，给为独立虚位移，给ABAB梁梁A A处一处一虚位移虚位移r rA A，则系统有相应的虚位移如图中虚线所示。，则系统有相应的虚位移如图中虚线所示。FAFyF1q1A230432211rqrFrFrFAAy-AAAAyrrqrrFrrFF32211412321,32 11323AAArrrrrrkN7.1063143221qFFFAy同理，由虚位移原理可得同理，由虚位移原理可得解得解得由图知由图知从而有从而有1FF2hahh 刚架受荷载如图所示，试求支座刚架受荷载如图所示，试求支座B
45、 B处水平反力。处水平反力。r1FrF2rEChBrBxFahh,解解 将将B B处的水平约束解除，处的水平约束解除，代之以相应的水平反力代之以相应的水平反力F FBxBx，并将其视为主动力之一。并将其视为主动力之一。此时系统变为一个自由度此时系统变为一个自由度系统，选系统，选r rB B为独立虚位移，为独立虚位移，给给B B处的一虚位移处的一虚位移r rB B ，则系统的相应虚位移如图则系统的相应虚位移如图所示。所示。r1FrF2rEChBrBxFahh22,2hhrhrCBhrAEAErrhaarBB2,221由几何法可知由几何法可知02221AEahrAEFrhaFrFBBBBx0Br1
46、21222()2BxaaFFFhhaFFh故故(1)式可改写为式可改写为由于由于，所以所以02121rFrFrFBBx由虚位移原有由虚位移原有求：主动力求：主动力 之间的关系。之间的关系。ABFF与例图所示椭圆规机构中例图所示椭圆规机构中,连杆连杆ABAB长为长为L,L,滑块滑块,与杆与杆重均不计重均不计,忽略各处摩擦忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡。机构在图示位置平衡。,ABrr解:(1)给虚位移0iiFr0AABBFrFrcossinBArr,ABrr 由于 在 A,B 连线上投影相等)代入虚功方程,有cos0ABBBFrFrtanABFF即(2)用解析法.建立坐标系,由0 xixiyiy
47、iziziFFF0BxBAyAFF有cos,sinBAxlylsin,cosxByAll tanABFF得(3)虚速度法定义:为虚速度,ABABrrvvttdd0,iiFr代入中 得0BBAAF vF v由速度投影定理,有cossin,BAvv代入上式tanABFF得例 如图所示机构,不计各构件自重与各处摩擦,求机构在图示位置平衡时,主动力偶矩与主动力之间的关系.,cr 0FcwMF rsinearr2,sinsineCahhrOBrr2sinFhM解解:给虚位移给虚位移由图中关系有由图中关系有代入虚功方程得代入虚功方程得 2,sinsineaChhvOBvv20,sinCFhMFvM中 亦得
48、20cotsinCCCMF xxhBChx 2sinFhM用建立坐标,取变分的方法,有用虚速度法:代入到解得求求:AF例15-5求图所示无重组合梁支座的约束力。11220FAAWFsF sMFs1311,3,1188AAMAsssss821114MAAssss44 117781231118148AFFFM解：解除A处约束，代之，给虚位移，如图（b）代入虚功方程,得 通过以上的例子，可以看出，利用虚位移原理通过以上的例子，可以看出，利用虚位移原理解题的基本步骤为：解题的基本步骤为：1）分析研究对象的组成情况，弄清已知条件，判断）分析研究对象的组成情况，弄清已知条件，判断约束是否为理想约束。约束是
49、否为理想约束。2）正确进行受力分析，画出受力分析图，弄清各主）正确进行受力分析，画出受力分析图，弄清各主动力间的关系及待求之系统的平衡位置，若求约动力间的关系及待求之系统的平衡位置，若求约束反力则需解除所求处约束并用相应的约束反力束反力则需解除所求处约束并用相应的约束反力代之。代之。3）确定系统的自由度，合理选取广义坐标，并用解）确定系统的自由度，合理选取广义坐标，并用解析法或几何法求出各主动力作用点的虚位移及各析法或几何法求出各主动力作用点的虚位移及各有关点的虚位移与广义坐标变分间的关系式。有关点的虚位移与广义坐标变分间的关系式。4）根据虚位移原理，列方程，令广义坐标变分不为）根据虚位移原理，列方程，令广义坐标变分不为零，则可求得所需结果。零，则可求得所需结果。
