1、第五章第五章 三铰拱三铰拱（three-hinged arch）内容：内容：三铰拱的支座反力和内力，合理拱轴。三铰拱的支座反力和内力，合理拱轴。要求：要求：1 1、了解静定拱的合理拱轴线的概念；、了解静定拱的合理拱轴线的概念；2 2、理解静定拱的基本概念及基本特点；、理解静定拱的基本概念及基本特点；3 3、掌握静定拱的反力及内力计算。、掌握静定拱的反力及内力计算。重点：重点：静定拱反力、内力的计算。静定拱反力、内力的计算。难点：难点：静定拱的内力计算。静定拱的内力计算。一、实例一、实例拱桥（拱桥（Arch Bridge）赵州桥，建于隋大业赵州桥，建于隋大业(公元公元605-618)605-61
2、8)年间年间 拱桥是承受拱桥是承受轴向压力为主轴向压力为主的拱圈或拱肋作为主要的拱圈或拱肋作为主要承重构件的桥梁承重构件的桥梁,拱结构由拱圈拱结构由拱圈(拱肋拱肋)及其支座组成。及其支座组成。5-1 5-1 概述概述世界上最古老的铸铁拱桥（世界上最古老的铸铁拱桥（17811781年，英国科尔布鲁克年，英国科尔布鲁克代尔桥代尔桥)云南人字桥（云南人字桥（保罗保罗 波登波登）学名：肋式三铰拱钢学名：肋式三铰拱钢梁桥梁桥 人字桥自人字桥自1910年年3月月1日通车至今为止，从日通车至今为止，从未影响过铁路线的畅未影响过铁路线的畅通，甚至没有更换过通，甚至没有更换过一个零件，即便是百一个零件，即便是百
3、年之后，现在的桥梁年之后，现在的桥梁工程师也为之惊叹工程师也为之惊叹 瑞士人Robert Maillart（18721940）他用砼创造了技术上适合其特性、视觉上耳目一新的新形式。共设计他用砼创造了技术上适合其特性、视觉上耳目一新的新形式。共设计47座桥座桥梁，除过梁，除过3座外，很多桥梁已经连续使用超过座外，很多桥梁已经连续使用超过80年，几乎完好无损。结构形年，几乎完好无损。结构形式主要位三铰拱和桥面加劲拱。式主要位三铰拱和桥面加劲拱。SalginatobelBrige主跨90米，1930年建成。空腹箱型三铰拱。他设计的最大跨度的桥，桥的壮丽景色使它成为马拉尔最著名的设计 宋卿体育馆（武汉
4、大学）宋卿体育馆（武汉大学）建于建于1936年，采用年，采用钢筋混凝土柱，屋钢筋混凝土柱，屋顶采用三铰拱钢架顶采用三铰拱钢架结构结构，大跨度空间，大跨度空间和别具一格的山墙、和别具一格的山墙、绿色琉璃瓦随三绞绿色琉璃瓦随三绞拱变化转折拱变化转折（1 1）在竖向荷载作用下有水平反力）在竖向荷载作用下有水平反力H;H;（2 2）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多;（3 3）拱内有较大的轴向压力）拱内有较大的轴向压力N N。三铰拱受力特点三铰拱受力特点:拱比梁能更有效的发挥材料作用，适用于较大跨度拱比梁能更有效的发挥材料作用，适用于较大跨度和较重的
5、荷载。由于主要受压，便于利用抗压性能好而和较重的荷载。由于主要受压，便于利用抗压性能好而抗拉性能差的材料（砖、石、混凝土等抗拉性能差的材料（砖、石、混凝土等)。但基础承受推。但基础承受推力，所以三铰拱的基础比梁的基础要大（桥梁），或需力，所以三铰拱的基础比梁的基础要大（桥梁），或需使用拉杆拱（屋顶）。使用拉杆拱（屋顶）。公式回顾公式回顾(1)三铰拱支座反力计算公式为三铰拱支座反力计算公式为fMFFFFFCBBAA0H0VV0VV(2)支座反力与支座反力与 跨度跨度l 和矢高和矢高 f（亦即三个铰的位置）（亦即三个铰的位置）以及荷载情况有关，以及荷载情况有关，而与拱轴线形式无关而与拱轴线形式无关
6、。(3)推力推力 FH与矢高与矢高 f 成反比。拱越低，推力越大；如成反比。拱越低，推力越大；如果矢高果矢高 f 0，则，则 FH ，这时，三铰在一直线上，这时，三铰在一直线上，成为几何可变体系。成为几何可变体系。FP1FP2l/2l/2lABCKFHAFHBFVAFVBxyf公式回顾公式回顾(1)三铰拱的内力计算公式（竖向荷载、两趾等高）：三铰拱的内力计算公式（竖向荷载、两趾等高）：cossinsincosH0QNH0QQH0FFFFFFyFMM(2)由于推力的存在（前两式右边第二项），拱与相应简由于推力的存在（前两式右边第二项），拱与相应简支梁相比：支梁相比：其截面上的弯矩和剪力将减小其截
7、面上的弯矩和剪力将减小。弯矩的降低，。弯矩的降低，使拱能更充分地发挥材料的作用。使拱能更充分地发挥材料的作用。(3)在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的截在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的截面内轴力较大，且一般为压力（拱轴力仍以拉力为正、压面内轴力较大，且一般为压力（拱轴力仍以拉力为正、压力为负）力为负）1 1）计算支座反力）计算支座反力2 2）计算拱圈截面的内力（可以每隔一定水平距离取）计算拱圈截面的内力（可以每隔一定水平距离取一截面，也可以沿拱轴每隔一定长度取一截面）。一截面，也可以沿拱轴每隔一定长度取一截面）。3 3）按各截面内力的大小和正负绘制内力图。）按各截面内力的
8、大小和正负绘制内力图。三铰拱的内力图三铰拱的内力图1.1.画三铰拱内力图的方法画三铰拱内力图的方法2.2.画三铰拱内力图的步骤画三铰拱内力图的步骤描点法。描点法。注：注：1 1）仍有）仍有Q=dM/dsQ=dM/ds 即剪力等零处弯矩达极值；即剪力等零处弯矩达极值；2 2）M M、Q Q、N N图均不再为直线；图均不再为直线；3 3）集中力作用处）集中力作用处Q Q 图将发生突变；图将发生突变；4 4）集中力偶作用处）集中力偶作用处M M 图将发生突变。图将发生突变。带拉杆的三铰拱和三铰拱式屋架的计算带拉杆的三铰拱和三铰拱式屋架的计算受力特点：带拉杆的三铰拱的受力特点与平拱类似，不同的是，受力
9、特点：带拉杆的三铰拱的受力特点与平拱类似，不同的是，带拉杆的三铰拱由于拉杆的存在，其水平方向不再有支座反力。带拉杆的三铰拱由于拉杆的存在，其水平方向不再有支座反力。即即 ，而内力多了一个水平力，其大小等于平拱的水平支座，而内力多了一个水平力，其大小等于平拱的水平支座反力。反力。【例例1】试求图示有水平拉杆的三铰拱在竖向荷载作用下试求图示有水平拉杆的三铰拱在竖向荷载作用下的支座反力和内力。的支座反力和内力。解：该三铰拱由拉杆解：该三铰拱由拉杆AB来来阻止支座的水平位移，因阻止支座的水平位移，因此，拱的一个支座可改为此，拱的一个支座可改为可动铰支座。相当简支梁可动铰支座。相当简支梁如图所示如图所示
10、FP1 FP1FP2FP2FP3FP3AABB CC DD EEFFFHFV AFVBIIl/2l/2l/2l/2ll拉杆拉杆 flCF 0V AF0V BF0HFfMFCS0(1)计算支座反力计算支座反力 由整体平衡条件由整体平衡条件Fx=0、MB=0和和MA=0，可分别求，可分别求得得 0VV0VVH,0BBAAFFFFFFH=0是其计算特点之一是其计算特点之一(2)计算拉杆内力计算拉杆内力 取截面取截面I-I之右为隔离体。之右为隔离体。由由MC=0，得，得)/flFl(FFCFPVBS 32FP3FVBl/2BCFIIFSFCxFCyFP1 FP1FP2FP2FP3FP3AABB CC
11、DD EEFFFHFV AFVBIIl/2l/2l/2l/2ll拉杆拉杆 flCF 0V AF0V BF(3)计算拱身内力计算拱身内力在无拉杆三铰拱的内力计算式中，只须用在无拉杆三铰拱的内力计算式中，只须用FS去取代去取代FH，即可得出有水平拉杆拱身内力计算式为即可得出有水平拉杆拱身内力计算式为 cossinsincos0QN0QQ0SSSFFFFFFyFMMFP3FVBl/2BCFIIFSFCxFCy【例【例2】求图示三铰拱式屋架在竖向荷载作用下的支反力和内力。】求图示三铰拱式屋架在竖向荷载作用下的支反力和内力。解：解：(1)计算支座反力计算支座反力 0VV0VVH,0BBAAFFFFF(2
12、)计算拉杆内力：计算拉杆内力：fMFCS0(3)计算拱身内力计算拱身内力须注意两个计算特点：一是要考虑偏心矩须注意两个计算特点：一是要考虑偏心矩e1，二是左、右半跨屋面倾角二是左、右半跨屋面倾角为定值。为定值。于是，可参照式于是，可参照式(4-6)写出拱身内力计算式为写出拱身内力计算式为 cossinsincos)(0QN0QQ10SSSFFFFFFeyFMMABCFHFVAFVBxyfql/2l/2le1钢拉杆（拉力钢拉杆（拉力FS）q【讨论】对于如图所示的二次抛物线三铰拱：【讨论】对于如图所示的二次抛物线三铰拱：(1)当仅在左半跨或右半跨作用均布荷当仅在左半跨或右半跨作用均布荷载载q时，其
13、时，其M图都是反对称的，如图所图都是反对称的，如图所示；而示；而FQ图都是对称的。图都是对称的。仅在左半跨作用均布仅在左半跨作用均布荷载时的荷载时的M图图 仅在右半跨作用均布仅在右半跨作用均布荷载时的荷载时的M图图仅在左半跨作用均布仅在左半跨作用均布荷载时的荷载时的FQ图图 仅在右半跨作用均布仅在右半跨作用均布荷载时的荷载时的FQ图图(2)显见，当显见，当全跨同时作用均布荷载全跨同时作用均布荷载q时时，M图将为零，图将为零，FQ图图也将为零也将为零(只须将相应内力图相叠加，即可得到验证只须将相应内力图相叠加，即可得到验证)，拱仅拱仅受轴向压力受轴向压力FN作用作用。(3)这种在给定荷载作用下，
14、拱处于无弯矩状态的拱轴线，是三这种在给定荷载作用下，拱处于无弯矩状态的拱轴线，是三铰拱铰拱最合理的拱轴线最合理的拱轴线（。仅在左半跨作用均布仅在左半跨作用均布荷载时的荷载时的M图图 仅在右半跨作用均布仅在右半跨作用均布荷载时的荷载时的M图图仅在左半跨作用均布仅在左半跨作用均布荷载时的荷载时的FQ图图 仅在右半跨作用均布仅在右半跨作用均布荷载时的荷载时的FQ图图 三铰拱的合理拱轴线计算公式：三铰拱的合理拱轴线计算公式：由由 =0 得得 上式表明，在竖向荷载作用下，三铰拱的合理拱轴上式表明，在竖向荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线的纵坐标线的纵坐标y与简支梁弯矩图的竖坐标成正比。与简支梁弯矩图的竖坐标
15、成正比。关于合理拱轴线不再赘述。关于合理拱轴线不再赘述。HyMM0HxMxy)()(0 定义：定义：三铰拱任意截三铰拱任意截面面K上的内力上的内力M、Q Q、N（图图4-7b）有一合力有一合力R，其作用点如图其作用点如图4-7a所示。所示。拱各个截面内拱各个截面内力的合力作用点的连力的合力作用点的连线，称为该拱在所给线，称为该拱在所给荷载作用下的压力线荷载作用下的压力线三铰拱的压力线三铰拱压力线的求解步骤 设三铰拱所承受荷载如图设三铰拱所承受荷载如图4-8a所所示，现作其压力线。示，现作其压力线。第一步，作合力多边形第一步，作合力多边形 第二步，确定各截面合力的作第二步，确定各截面合力的作用线
16、。用线。第三步，确定压力线第三步，确定压力线 多边形多边形AHIJB是由拱各段的是由拱各段的合力作用线构成的，合力作用线构成的，称为三称为三铰拱在所给荷载作用下的压铰拱在所给荷载作用下的压力多边形，简称压力线力多边形，简称压力线。压力线应通过压力线应通过A、B、C三三个铰个铰的铰心。的铰心。压力线的用途 1、确定合理拱轴线。压力线即为三铰拱在确定合理拱轴线。压力线即为三铰拱在所给荷载作用下的合理拱轴线。所给荷载作用下的合理拱轴线。2 2、确定拱内弯矩不超过某一限值的拱轴线确定拱内弯矩不超过某一限值的拱轴线。譬如，若要求拱的各个截面不出现拉应力，譬如，若要求拱的各个截面不出现拉应力，则压力线应通过拱截面的核心。则压力线应通过拱截面的核心。关于压力线的求法，不再举例。关于压力线的求法，不再举例。
