1、3.4.1 基本不等式基本不等式（1）ICM 2002 会标会标 右图是在北京召右图是在北京召开的第开的第24届国际数学届国际数学家大会的会标，会标家大会的会标，会标是根据中国古代数学是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的家赵爽的弦图设计的.你能在这个图中找出你能在这个图中找出一些相等关系或不等一些相等关系或不等关系吗？关系吗？一、新课引入一、新课引入ICM2002会标会标赵爽：弦图赵爽：弦图请观察上图，然后填空：请观察上图，然后填空：正方形正方形ABCD的面积等于的面积等于4ABCDABEEFGHSSS4个全等的直角三角形面积个全等的直角三角形面积和一个小正方形和一个小正方形EFGH的面积之和
2、，的面积之和，即得到一个相等关系：即得到一个相等关系：设直角三角形的两条直角边长为设直角三角形的两条直角边长为a,b，那么正方形的，那么正方形的边长为边长为_.这样这样,4个直角三角形的面积的和个直角三角形的面积的和是是_,正方形的面积为正方形的面积为_.22ba ab222ba 222abab由于正方形由于正方形ABCD的面积大于的面积大于4个直角三角形的面积和，个直角三角形的面积和，即得到一个即得到一个不等关系：不等关系：_.当直角三角形变为等腰直角三角形，即当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，时，正方正方形形EFGH缩为一个点，这时有缩为一个点，这时有_.222ababADBCE
3、FGHba基本不等式基本不等式1：当且仅当当且仅当 a=b 时，等号成立时，等号成立.ABCDE(FGH)ab22ba 222abab我们有我们有 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，你能给出它的证明吗你能给出它的证明吗？abbaRba222 那么那么，如果如果.号）号）”时取“时取“（当且仅当（当且仅当 ba证证明明：abba222 2)(ba ，时时当当ba ，0)(2 ba，时时当当ba ，0)(2 ba，0)(2 baabba222 即即.号号”时取“时取“当且仅当当且仅当 ba基本不等式基本不等式1：abbaRba222 那么那么，如果如果.号）号）”时取“时取“（当且仅
4、当（当且仅当 ba证证明明：abba222 2)(ba ，时时当当ba ，0)(2 ba，时时当当ba ，0)(2 ba，0)(2 baabba222 即即.号号”时取“时取“当且仅当当且仅当 ba基本不等式基本不等式1：（比较法）（比较法）基本不等式基本不等式1：当且仅当当且仅当 a=b 时，等号成立时，等号成立.222abab我们有我们有 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，特别地，如果特别地，如果a0，b0，我们有我们有2.abab基本不等式基本不等式2：我们有我们有 一般地，对于任意正实数一般地，对于任意正实数a、b，2abab 当且仅当当且仅当 a=b 时，等号成立时，等
5、号成立.abbaRba 2那么那么，如果如果.号）号）”时取“时取“（当且仅当（当且仅当 ba证证明明：，Rba，baba 2)()(22，abba2 .2abba 即即.号号”时取“时取“当且仅当当且仅当 ba基本不等式基本不等式2：由基本不等式由基本不等式1得：得：abbaRba 2那么那么，如果如果.号）号）”时取“时取“（当且仅当（当且仅当 ba证证明明：，Rba，baba 2)()(22，abba2 .2abba 即即.号号”时取“时取“当且仅当当且仅当 ba基本不等式基本不等式2：由基本不等式由基本不等式1得：得：（综合法）（综合法）特点：特点：“由因导果由因导果”abbaRba
6、2那么那么，如果如果.号）号）”时取“时取“（当且仅当（当且仅当 ba基本不等式基本不等式2：证明证明2：要证要证2abab 只要证只要证ab2 ab只要证只要证ab0 2 ab只要证只要证(_)20.ab此不等式是成立的，此不等式是成立的，当且仅当当且仅当 a=b 时，等号成立时，等号成立.故基本不等式故基本不等式2得证得证.（分析法）（分析法）abbaRba 2那么那么，如果如果.号）号）”时取“时取“（当且仅当（当且仅当 ba基本不等式基本不等式2：证明证明2：要证要证2abab 只要证只要证ab2 ab只要证只要证ab0 2 ab只要证只要证(_)20.ab此不等式是成立的，此不等式是
7、成立的，当且仅当当且仅当 a=b 时，等号成立时，等号成立.故基本不等式故基本不等式2得证得证.（分析法）（分析法）特点特点“执果索因执果索因”重要不等式：重要不等式：abbaRba222 那么那么，如果如果.号）号）”时取“时取“（当且仅当（当且仅当 baabbaRba 2那么那么，如果如果.号）号）”时取“时取“（当且仅当（当且仅当 ba基本不等式基本不等式1：基本不等式基本不等式2：注意：注意：两个基本不等式的两个基本不等式的不同点不同点和和相同点相同点:两个不等式的适用范围不同；两个不等式的适用范围不同；等号成立的条件相同等号成立的条件相同.基本不等式基本不等式2可推广到有限个，如可推
8、广到有限个，如则则，若若 Raaan21nnnaaanaaa2121 当且仅当当且仅当.21”号”号取“取“时，时，naaa基本不等式基本不等式2推广：推广：33abccbaRcba 那么那么，如果如果.号）号）”时取“时取“（当且仅当（当且仅当 cba 在右图中，在右图中，AB是圆的直径，是圆的直径，点点C是是AB上的一点，上的一点，AC=a，BC=b.过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE，连接连接AD、BD.BA.CabDababbaRba 2那么那么，如果如果.号）号）”时取“时取“（当且仅当（当且仅当 ba基本不等式基本不等式2：探究探究:你能对基本不等式你能对基本不等式2给出给
9、出几何解释吗几何解释吗？（见教材第（见教材第98页）页）AB是圆的直径，是圆的直径，ADB为为Rt.又又 ABDE，ACDBCD，从而得到：从而得到：E E，CBACCD 2abCD 半径半径.2ba 与圆心重合，与圆心重合，当且仅当点当且仅当点 C.，等号成立，等号成立时时即即ba abbaRba 2那么那么，如果如果.号）号）”时取“时取“（当且仅当（当且仅当 ba基本不等式基本不等式2：探究探究:你能对基本不等式你能对基本不等式2给出几何解释吗给出几何解释吗？BA.CabDabE E“半半径径不不小小于于半半弦弦”的的、叫做两个正数叫做两个正数，数学里数学里baba2 的的、叫做两个正数
10、叫做两个正数baab；算算术术平平均均数数.几几何何平平均均数数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.基本不等式基本不等式2又可叙述为：又可叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.1例例证证法法：cabcabcbaRba 222，求证：，求证：，已知已知)()(222cabcabcba )222222(21222cabcabcba )()()(21222accbba Rba，又又0)(0)(0)(222 accbba，0)()()(21222 accbba.222cabcabcba cabcabcba
11、 222（比较法）（比较法）：证法证法2cabcabcbaRba 222，求证：，求证：，已知已知1例例Rba，abba222 bccb222 caac222 相加相加cabcabcba222222222 得得.222cabcabcba 即即（综合法）（综合法）例例2.2.（新概念新概念3.43.4例例2 2、例、例3 3）10,0,(.=+2ababT T（）已已知知且且为为定定值值）求求证证：当当且且仅仅当当a ba b时时，a ba b取取得得最最小小值值T T；2()30)f xxxx应应用用：求求函函数数（的的最最小小值值220,0,+(.=.4abS S（）已已知知且且a ba b
12、为为定定值值）S S求求证证：当当且且仅仅当当a ba b时时，abab取取得得最最大大值值基本不等式基本不等式 的变形及其作用：的变形及其作用：(0,0)2abab ab (0,0)2abab ab 2()(0,0)2ababab 说明说明:若两个正实数若两个正实数a,b的和为的和为常数常数,则它们的积有则它们的积有最大值最大值.(0,0)2abab ab 2(0,0)abab ab 说明说明:若两个正实数若两个正实数a,b的积为的积为常数常数,则它们的和有则它们的和有最小值最小值.说明：说明：在用基本不等式求解最值时，必须满足三个条件：在用基本不等式求解最值时，必须满足三个条件：“一正，二
13、定，三取等一正，二定，三取等”.一正一正是指两数必须均为正数；是指两数必须均为正数；二二定定是指有定值；是指有定值；三取等三取等是指是指“=”条件是当且仅当条件是当且仅当a=b，即即等号具备成立条件等号具备成立条件.1550的最大值的最大值，求，求若若xxx 解解：)15(5155xxxx 0 xxx15 xx152 52 xx15 当且仅当当且仅当”号”号时取“时取“即即 55x.52515555 的最大值为的最大值为时，时，当当xxx例例3.的最大值。的最大值。，求求)4.00(522 xxxy思思考考：解解：)52(522xxxxy )52)(5(51xx ,)520(，x又又，05205 xx22)52()5(51 xxy51 xx525 当且仅当当且仅当”号”号时取“时取“即即 51x.5151max yx时，时，当当法一：二次函数配方法法一：二次函数配方法法二：法二：课后作业课后作业1.教材第教材第100101页页 习题习题3.4 1 43.预习预习新概念新概念3.4.22.新概念新概念 3.4.1
