1、高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20221 1一、多元函数极值及最大、最小值一、多元函数极值及最大、最小值第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法1.定义：定义：若函数若函数z=f(x,y)在在(x0,y0)的某邻域内有的某邻域内有 f(x,y)f(x0,y0)（或（或f(x,y)f(x0,y0)）则称函数则称函数z=f(x,y)在在(x0,y0)有有极大值极大值f(x0,y0)（极小值极小值f(x0,y0)），），(x0,y0)称为函数称为函数z=f(x,y)的的极大值点（极小值点）极大值点（极小值点）。极大值与极小值统称为极值；极大
2、值点极大值与极小值统称为极值；极大值点与极小值点统称为与极小值点统称为极值点极值点；22xyxyze 注意：注意：极大值极大值(或极或极小值小值)是局部的最大是局部的最大值值(或最小值或最小值)。高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20222 2(1)(2)(3)例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0,0(4322yxz 例例2处有极大值处有极大值在在函数函数)0,0(22yxz 例例3处无极值处无极值在在函数函数)0,0(xyz 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20223 32.多元函数取得极值的条件多元函数
3、取得极值的条件证明证明：(略略)注意注意:使偏导数都为使偏导数都为 0 的点称为的点称为驻点驻点。但驻点不一但驻点不一定是极值点。定是极值点。例如：例如：z=xy 有驻点有驻点(0,0)，但，但(0,0)不是极值点。不是极值点。高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20224 4问题：问题：如何判定一个驻点是否为极值点？如何判定一个驻点是否为极值点？定理定理2 2（充分条件）（充分条件）设函数设函数z=f(x,y)在在(x0,y0)的某邻域内具有的某邻域内具有一阶及二阶连续偏导数，且一阶及二阶连续偏导数，且 fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0，令，
4、令 A=fxx(x0,y0)，B=fxy(x0,y0)，C=fyy(x0,y0)则：则：（1）当）当AC-B20时，具有极值；时，具有极值；当当A0时，有极小值；时，有极小值；（3）当）当AC-B2=0时，不能确定，需另行讨论。时，不能确定，需另行讨论。证明证明：(略略)高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20225 5例例4求函数求函数的极值。的极值。3322(,)339f x yxyxyx解解:1.求驻点求驻点(1,0),(1,2),(3,0),(3,2)；2.求相应的求相应的A,B,C；3.判断并求出极值。判断并求出极值。例例5 求由方程求由方程 确定
5、的确定的函数函数z=f(x,y)的极值。的极值。222224100 xyzxyz解解:1.利用隐方程组求偏导及必要条件利用隐方程组求偏导及必要条件zx=zy=0得驻点得驻点(1,-1)；2.带入原方程求得相应的带入原方程求得相应的z=-2,z=6；3.隐方程组再求偏导得隐方程组再求偏导得A,B,C；4.判断并求出极值。判断并求出极值。注：注：偏导数不存在的点，也是极值可疑点。如：偏导数不存在的点，也是极值可疑点。如：22,(0,0)zxy高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20226 6第第一一步步 解解方方程程组组,0),(yxfx0),(yxfy高等数学
6、（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20227 7求最值的一般方法：求最值的一般方法：比较最值可疑点的函数值的大小，其中最大者即为最大比较最值可疑点的函数值的大小，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。值，最小者即为最小值。3.多元函数的最值多元函数的最值f 在有界闭域上连续在有界闭域上连续f 在有界闭域上可达到最值在有界闭域上可达到最值依依据据驻点；驻点；偏导不存在的点；偏导不存在的点；边界上的最值点。边界上的最值点。最最值值可可疑疑点点 特别特别,当区域内部最值存在当区域内部最值存在,且且只有一个只有一个极值点极值点P 时时,则则 f(P)就是最值。就是最值。
7、高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20228 8例例6 求函数求函数z=x+y-x2 xy y2在由直线在由直线 x+y=1与与x轴和轴和y轴所轴所围成的闭区域上的最大值与最小值。围成的闭区域上的最大值与最小值。例例7 有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来做成一个的长方形铁板，把它两边折起来做成一个断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面面积最大。断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面面积最大。解：解：则断面面积为则断面面积为设折起来的边长为设折起来的边长为 x cm，倾角为，倾角为 ,242x xx 1(2422 cos242)
8、sin2Axxxx2224 sin2sincossinxxx(:012,0)2Dx 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20229 9222224sin4 sin2 sincos024 cos2cos(cossin)0 xAxxAxxx 令令：22(,)24 sin2sincossinA xxxx(:012,0)2Dx sin0,0 x 2122cos0124cos2 cos(2cos1)02xxxx （）（）(2)(1)2cos，得：，得：2xcos x=0解得解得:60,8(cm)3x 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 Decembe
9、r 20221010 由题意知由题意知,最大值在定义域最大值在定义域D 内达到内达到,而在域而在域D 内只有唯内只有唯一驻点一驻点,故此点即为所求故此点即为所求。122 yxyxz例例8 求求 的最大值和最小值。的最大值和最小值。2222222222(1)2()0(1)(1)2()0(1)xyxyx xyzxyxyy xyzxy 令令：解解高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 202211 11111111(,),(,),222222zz 22lim01xyxyxy 即边界上的值为零。即边界上的值为零。4.条件极值条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法极值问题
10、极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值:对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20221212引例：引例：小王有小王有200元钱，他决定用来购买计算机磁盘元钱，他决定用来购买计算机磁盘x张和录张和录音磁带音磁带y盒，设购买这两种商品的效用函数为盒，设购买这两种商品的效用函数为U(x,y)=lnx+lny。每张磁盘每张磁盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元才能使元才能使其效用达到最大。其效
11、用达到最大。yxyxUlnln),(200108 yx解：解：目标函数：目标函数：约束条件：约束条件：条件极值条件极值问题问题一般地：一般地：(,)max(min)(,),x yDzf x y D为为z=f(x,y)的定义域。的定义域。(,)max(min)(,).(,)0 x yDzf x ys tx y 无条件极值：无条件极值：条件极值：条件极值：D为为z=f(x,y)的定义域。的定义域。高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20221313条件极值解法条件极值解法：方法方法1：代入消元法。：代入消元法。方法方法2 拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法：(,)m
12、ax(min)(,).(,)0 x yDzf x ys tx y 例如：求：例如：求：（1）构造拉格朗日函数：）构造拉格朗日函数：(,)(,)(,)F x yf x yx y（2）求拉格朗日函数）求拉格朗日函数F(x,y,)的无条件极值，的无条件极值，得到条件得到条件极值的可疑点。极值的可疑点。高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20221414拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形1212(,)(,)(,)(,)F x y zf x y zx y zx y z (,)max(min)(,).
13、(,)0(,)0 x yDuf x y zs tx y zx y z （1）构造拉格朗日函数：）构造拉格朗日函数：（2）求拉格朗日函数）求拉格朗日函数F(x,y,z,1,2)的无条件极值，的无条件极值，得到得到条件极值的可疑点。条件极值的可疑点。拉格朗日乘数法推导（略）拉格朗日乘数法推导（略）高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20221515解解:120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 32max6426912u 则则例例9 将正数将正数12分成三个正数分成三个正数 x,y,z 之和之和,使得使得 U=x3 y2 z 最大。最大。32(
14、,)(12)F x y zx y zxyz 令令：解得唯一驻点解得唯一驻点(6,4,2)，故最大值为：故最大值为：高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20221616解：解：1),(222222 czbyaxzyxF000222222|xPyPzPxyzFFFabc ，000000222()()()0 xyzxxyyzzabc 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 202217170002221x xy yz zabc000000222()()()0 xyzxxyyzzabc 该切平面在三个轴上的截距各为：该切平面在三个轴上
15、的截距各为：222000abcxyzxyz ，高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20221818222000222000222min6.1a b cVx y zxyzs tabc 000lnlnlnuxyz 令令：222000000000222(,)lnlnln(1)xyzG xyzxyzabc 问题为：问题为：0002220002220,0,010 xyzGGGxyzabc 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20221919即即00220022200002222022110021010 xyxaybzxyzzcabc
16、 ，000333axbycz 当切点坐标为当切点坐标为 时，时，,333abc四面体的体积最小四面体的体积最小min32Vabc 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20222020课外作业课外作业高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20222121之间的最短距离之间的最短距离与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面2222 zyxyxz例例6 6解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距离为的距离为到平面到平面则则上任一点上任一点为抛物面为抛物面设设分析分析:最小最小即即且使且使满足满足，使得，
17、使得本题变为求一点本题变为求一点)22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20222222),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令 )4(,)3(,0)2)(22(31)2(,02)22(31)1(,02)22(3122yxzzzyxFyzyxFxzyxFzyx .81,41,41 zyx解此方程组得解此方程组得得得高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20222323.647241414161min d),81,41,41(即得唯一驻点
18、即得唯一驻点处取得最小值处取得最小值驻点，故必在驻点，故必在一定存在，且有唯一一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值根据题意距离的最小值)81,41,41(高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20222424已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点 C,使ABC 面积 S最大.解答提示解答提示:CBAoyxED设 C 点坐标为(x,y),思考与练习思考与练习 21031013yxkji)103,0,0(21yx)0,0(14922yxyx则 ACABS2110321yx高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 Decem
19、ber 20222525设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点 C 与 E 重合时,三角形面积最大.)491()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646.1S,54,53yx,5.3,2CDSS点击图中任意点动画开始或暂停高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20222626备用题备用题 1.求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.解解:设内接三角形各边所对的圆心角为 x,y,z,则,2zyxzyx它们所对应的三个三角形面积分别为,sin2211xRS,sin2212yRS zRSsin221
20、30,0,0zyx设拉氏函数)2(sinsinsinzyxzyxF解方程组0cosx,得32zyx故圆内接正三角形面积最大,最大面积为 32sin322maxRS.4332R0cosy0cosz02zyx高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20222727为边的面积最大的四边形,试列出其目标函数和约束条件?提示提示:sin21sin21dcbaS)0,0(目标函数目标函数:cos2cos22222dcdcbaba约束条件约束条件:dcba,abcd答案答案:,即四边形内接于圆时面积最大.2.求平面上以高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 De
21、cember 20222828一、一、选择题选择题:1 1、二元函数二元函数22221arcsin4lnyxyxz 的定义的定义 域是域是().().（A A）4122 yx；（B B）4122 yx；（C C）4122 yx；（D D）4122 yx.2 2、设、设2)(),(yxyxxyf ,则则),(yxf().().（A A）22)1(yyx；（B B）2)1(yyx；（C C）22)1(xxy；（D D）2)1(yxy.测测 验验 题题 高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20222929 3 3、22)(lim2200yxyxyx().().(A
22、)0 (A)0 ；(B)1 (B)1 ；(C)2 (C)2 ；(D)(D)e .4 4、函数、函数),(yxf在点在点),(00yx处连续处连续,且两个偏导数且两个偏导数 ),(),(0000yxfyxfyx存在是存在是),(yxf在该点可微在该点可微 的的().().（A A）充分条件）充分条件,但不是必要条件；但不是必要条件；（B B）必要条件）必要条件,但不是充分条件；但不是充分条件；（C C）充分必要条件；）充分必要条件；（D D）既不是充分条件）既不是充分条件,也不是必要条件也不是必要条件.高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20223030 5
23、5、设、设),(yxf 0,00,1sin)(22222222yxyxyxyx 则在原点则在原点)0,0(处处),(yxf().().(A)(A)偏导数不存在；偏导数不存在；(B)(B)不可微；不可微；(C)(C)偏导数存在且连续；偏导数存在且连续；(D)(D)可微可微.6 6、设、设),(),(yxvvvxfz 其中其中vf,具有二阶连续偏具有二阶连续偏 导数导数.则则 22yz().().(A)(A)222yvvfyvyvf ；(B)(B)22yvvf ；(C)(C)22222)(yvvfyvvf ；(D)(D)2222yvvfyvvf .高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2
24、9 December 20223131 7 7、曲面、曲面)0(3 aaxyz的切平面与三个坐标面所围的切平面与三个坐标面所围 成的四面体的体积成的四面体的体积 V=().V=().(A)(A)323a；(B)(B)33a；(C)(C)329a；(D)(D)36a.8 8、二元函数、二元函数33)(3yxyxz 的极值点是的极值点是().().(A)(1,2)(A)(1,2)；(B)(1.-2 (B)(1.-2)；(C)(-1,2)(C)(-1,2)；(D)(-1,-1).(D)(-1,-1).9 9、函数、函数zyxusinsinsin 满足满足 )0,0,0(2 zyxzyx 的条件极值是
25、的条件极值是 ().().(A)1 (A)1 ；(B)0 (B)0 ；(C)(C)61 ；(D)(D)81 .高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20223232三、求下列函数的一阶偏导数三、求下列函数的一阶偏导数:1 1、yxzln ；2 2、),(),(yxzxyzxyxfu ；3 3、000),(2222222yxyxyxyxyxf.四、设四、设),(zxfu ,而而),(yxz是由方程是由方程)(zyxz 所所 确的函数确的函数,求求du.五五、设设yxeuyxuz ),(,其其中中f具具有有连连续续的的二二阶阶偏偏导导 数数,求求yxz 2.高等数
26、学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20223333六、六、设设uvzveyvexuu ,sin,cos,试求试求xz 和和yz .七、七、设设x轴 正 向 到 方 向轴 正 向 到 方 向l的 转 角 为的 转 角 为,求 函 数求 函 数22),(yxyxyxf 在点在点(1,1)(1,1)沿方向沿方向l的方向导的方向导数数,并分别确定转角并分别确定转角,使这导数有使这导数有(1)(1)最大值；最大值；(2)(2)最小值；最小值；(3)(3)等于零等于零.八、八、求平面求平面1543 zyx和柱面和柱面122 yx的交线上与的交线上与xoy平面距离最短的点平面
27、距离最短的点.九九、在在第第一一卦卦限限内内作作椭椭球球面面1222222 czbyax的的切切平平面面,使使该该切切平平面面与与三三坐坐标标面面所所围围成成的的四四面面体体的的体体积积最最 小小,求求这这切切平平面面的的切切点点,并并求求此此最最小小体体积积 .高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20223434一、一、1 1、A A；2 2、B B；3 3、B B；4 4、B B；5 5、D D；6 6、C C；7 7、A A；8 8、A A；9 9、D D；10 10、B.B.二、二、(1)(1)当当0 yx时时,在点在点),(yx函数连续；函数连续；
28、(2)(2)当当0 yx时时,而而),(yx不是原点时不是原点时,则则),(yx为可去间断点为可去间断点,)0,0(为无穷间断点为无穷间断点.三、三、1 1、1ln)(ln yxxyz,yyxyxzlnln；2 2、,)(321fxyzyzyffuxx 32)(fxyzxzxfuyy .3 3、,0,00,)(2),(22222223 yxyxyxxyyxfx测验题答案测验题答案高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20223535 0,0,)()(),(2222222222yxoyxyxyxxyxfy.四、四、dyzyzfdxzyff1)()()1)(221
29、 .五、五、uyxyxuyuyyuuyfeffxefefxe 2.六、六、.)sincos(,)sincos(uuevvvuyzevuvvxz 七、七、,sincos lf,4,45 43.47 及及 )3()2()1(高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20223636八、八、).1235,53,54(九、切点九、切点abcVcba23),3,3,3(min.高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20223737思考题思考题 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx点均取得点均取得极值，则极值，则),(yxf
30、在点在点),(00yx是否也取得极值？是否也取得极值？高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20223838思考题解答思考题解答不是不是.例例如如 22),(yxyxf ,当当0 x时时，2),0(yyf 在在)0,0(取取极极大大值值;当当0 y时，时，2)0,(xxf 在在)0,0(取极小值取极小值;但但22),(yxyxf 在在)0,0(不取极值不取极值.高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20223939一、一、填空题填空题:1 1、函数函数)4)(6(),(22yyxxyxf 在在_点取点取得极得极_值为值为_._
31、.2 2、函数函数xyz 在附加条件在附加条件1 yx下的极下的极_值值为为_._.3 3、方程方程02642222 zyxzyx所确定的所确定的函数函数),(yxfz 的极大值是的极大值是_,_,极小值极小值是是_._.二二、在在 平平 面面xoy上上 求求 一一 点点,使使 它它 到到0,0 yx及及0162 yx三三直直线线的的距距离离平平方方之之和和为为最最小小.三三、求求内内接接于于半半径径为为a的的球球且且有有最最大大体体积积的的长长方方体体.练练 习习 题题高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20224040四、四、在第一卦限内作球面在第一卦限
32、内作球面1222 zyx的切平面的切平面,使使得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小,求求切点的坐标切点的坐标.高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20224141一一、1 1、(3 3,2 2),大大,3 36 6；2 2、大大,41；3 3、7 7,-1 1.二二、)516,58(.三三、当当长长,宽宽,高高都都是是32a时时,可可得得最最大大的的体体积积.四四、).31,31,31(练习题答案练习题答案高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20224242二、多元函数的极值和最
33、值二、多元函数的极值和最值的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 播放播放高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20224343的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20224444的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20224545的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yx
34、exyz 二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20224646的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20224747的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20224848的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和
35、最值二、多元函数的极值和最值高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20224949的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20225050的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20225151的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值高
36、等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20225252例例 4 4 求求由由方方程程yxzyx22222 0104 z确确定定的的函函数数),(yxfz 的的极极值值将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函数数取取极极值值的的必必要要条条件件知知,驻驻点点为为)1,1(P,将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数数,解解高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民29 December 20225353,21|,0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 故故)2(0)2(122 zzACB,函函数数在在P有有极极值值.将将)1,1(P代代入入原原方方程程,有有6,221 zz,当当21 z时时，041 A,所所以以2)1,1(fz为为极极小小值值；当当62 z时时，041 A,所以所以6)1,1(fz为极大值为极大值.
