1、多元函数的最值应用多元函数的最值应用一、最值应用问题一、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别特别,当区域内部最值存在,且只有一个只有一个极值点P 时,)(Pf为极小 值)(Pf为最小 值(大大)(大大)依据机动 目录 上页 下页 返回 结束 求最值的一般方法求最值的一般方法：将函数在将函数在D D内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在D D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的
2、与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.1 1、多元函数的最值、多元函数的最值解解先先求求函函数数在在D内内的的驻驻点点，xyo6 yxDD如图如图,yxyxyxfz4,2解方程组解方程组 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得区区域域D内内唯唯一一驻驻点点)1,2(,且且4)1,2(f,再再求求),(yxf在在D边边界界上上的的最最值值，在在边边界界0 x和和0 y上上0),(yxf,yxyxyxfz4,2xyo6 yxD在边界在边界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyx
3、f,由由 02)6(42 xxxfx,得得4,021 xx,2|64 xxy,64)2,4(f 比较后可知比较后可知4)1,2(f为最大值为最大值,64)2,4(f为最小值为最小值.xyo6 yxDyxyxyxfz4,2,0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx,0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得驻点得驻点)21,21(和和)21,21(,解解 由由即边界上的值为零即边界上的值为零.,21)21,21(z,21)21,21(z所以最大值为所以最大值为21，最小值为，最小值为21.因为因为01lim22 yxyxyx无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自
4、变量除了限制在定义域内外，并无其他条件外，并无其他条件.例3：某工厂生产某种产品需要两种原料A、B.单价分别为 2万元/吨 和 1万元/吨。已知该产品产量Q（单位：吨）与A、B两种原料的投入量 x,y有如下关系：且该产品的出售价为5万元/吨，试确定两种原料A、B 的投入量，使获得利润最大。解：解：设所获得利润为设所获得利润为L，yyxxQ52102022yyxxyxQL24104851002522收入收入成本成本 02420yLy04810 xLx8.4x2.1y有问题的实际意义可知最大值一定存在，又求的唯一有问题的实际意义可知最大值一定存在，又求的唯一驻点。所以函数在驻点处取得最大值。驻点。
5、所以函数在驻点处取得最大值。最大利润为：最大利润为：L（4.8 1.2）=229.6 万元万元yyxxyxQL24104851002522例例3 3.解解:设水箱长,宽分别为 x,y m,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233机动 目录 上页 下页 返回 结束（无条
6、件极值（无条件极值例例4.有一宽为 24cm 的长方形铁板,把它折起来做成解解:设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,Acos2224xx x224(21sin)xsincossin2sin2422xxxx224x积最大.)0,120:(2 xD为问怎样折法才能使断面面机动 目录 上页 下页 返回 结束 cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点,故此点即为所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(
7、2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、条件极值三、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值:条件极值的求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz)(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2求条件极值的方法求条件极值的方法（1 1）代入法：代入法：将条件代入函数，化为无条件极将条件代入函数，化为无条件极 值问题来解。值问题
8、来解。（这对于一类其条件的表达形式较简单的问题，是方便的）（这对于一类其条件的表达形式较简单的问题，是方便的）（2 2）LagrangeLagrange乘数法：乘数法：构造辅助函数，化为无构造辅助函数，化为无 条件极值问题。条件极值问题。LagrangeLagrange乘数法求乘数法求z=f(x,y)z=f(x,y)在满足条件在满足条件(x,y)=0(x,y)=0时的极值，方法为：时的极值，方法为：步骤步骤 构造函数构造函数 （为待定常数）为待定常数）步骤步骤 解方程组解方程组 求出实数解求出实数解(x(x0 0,y,y0 0)和和 ;步骤步骤 判别求出的点判别求出的点(x(x0 0,y,y0
9、 0)是否为极值点是否为极值点(通常由实际问通常由实际问 题的实际意义判定题的实际意义判定)，并求出极值，并求出极值 z z0 0=f(x=f(x0 0,y,y0 0)(,)(,)(,)F x yf x yx y(,)(,)0(,)(,)0(,)0 xxxyyyFfx yx yFfx yx yFx y注记注记：以上方法步骤，也适用于三元以上的以上方法步骤，也适用于三元以上的多元函数，以及多个条件的情形。多元函数，以及多个条件的情形。例例5 5 求表面积为求表面积为a a2 2，而体积为最大的长，而体积为最大的长 方体的体积，及长、宽、高的尺寸。方体的体积，及长、宽、高的尺寸。解：解：x xy
10、yz z22()Sxyyzzxa(,)VV x y zxyz 解得唯一驻点 ，由题意，知矩形的长宽高各为 时，其体积最大。666(,)666aaa66a2()0Fxzxzy2()0Fxyxyz22()0 xyyzzxaF=令2(,)2()F x y zxyzxyyzzxa设2()0Fyzyzx22()Sxyyzzxa(,)VV x y zxyz,0),(下在条件yx方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法 1 所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记.),(的极值求函数yxfz 0),(yx,)(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,
11、ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有机动 目录 上页 下页 返回 结束 引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日(Lagrange)函数.0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格极值点必满足0 xxf0yyf0),(yx则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(yxyxfF机动 目录 上页 下页 返回 结束 推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如例如,求函数下的极值.在条件),(zyxfu,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zz
12、zzfF01F01F机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.要设计一个容量为0V则问题为求x,y,令解方程组解解:设 x,y,z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 得唯一驻点,2230Vzyx3024V由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.因此,当高为,340Vxyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:1
13、)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示提示:利用对称性可知,30Vzyx2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2长、宽、高尺寸相等.例例 7 7 将正数将正数 12 分成三个正数分成三个正数zyx,之和之和 使得使得zyxu23 为最大为最大.解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF,120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2,4,6(，.691224623max u则则故最大值为故最大值为内容小结内容小结1.函数的极值问题函数的极值
14、问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法,),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题函数的最值问题在条件求驻点.),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F机动 目录 上页 下页 返回 结束 祝您成功！
