1、2abxyo?A曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）)(xfy )0)(xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.一、问题的提出一、问题的提出)(xfy 3abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）4观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放
2、5曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，,1210bxxxxxabann 个个分分点点，内内插插入入若若干干在在区区间间abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间，上任取一点上任取一点在每个小区间在每个小区间iiixx,1 iiixfA )(为为高高的的小小矩矩形形面面积积为为为为底底，以以)(,1iiifxx 6iniixfA )(1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfA )(lim10 时，时，趋近于零趋近于零即小区间的最大长度即小区间的最大长度当分割无限加细当分割无限加细)0(,max,
3、21 nxxx曲边梯形面积为曲边梯形面积为7实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是是时间间隔时间间隔,21TT上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程，求物体在这段时间内所经过的路程.思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路程
4、的精确值8（1）分割）分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )(部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2）求和）求和iinitvs )(1（3）取极限）取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值9设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干干个个分分点点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，),2,1(i，在在各各小小区区间间上上任任取
5、取一一点点i（iix ），作乘积作乘积iixf)(),2,1(i并并作作和和iinixfS )(1，二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义10怎怎样样的的分分法法，baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积积分分区区间间,ba也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎怎样样的的取取法法，只要当只要当0 时，时，和和S总趋于总趋于确确定定的的极极限限I，我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和11注意：注意：（1）积积分
6、分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关，badxxf)(badttf)(baduuf)(（2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和i 的的取取法法是是任任意意的的.（3 3）当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分存存在在时时，而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关.称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.12 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理1 1定理定理2 2 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上有有界界，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.且且只只有有有有限限个个间间断断点点，则则)(xf在在三
7、、存在定理三、存在定理区间区间,ba上可积上可积.13,0)(xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积,0)(xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义14几何意义：几何意义：积取负号积取负号轴下方的面轴下方的面在在轴上方的面积取正号；轴上方的面积取正号；在在数和数和之间的各部分面积的代之间的各部分面积的代直线直线的图形及两条的图形及两条轴、函数轴、函数它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)(15例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.102dxx 解解将将1
8、,0n等分，分点为等分，分点为nixi，(ni,2,1)小小区区间间,1iixx 的的长长度度nxi1 ，(ni,2,1)取取iix ，(ni,2,1)iinixf )(1 iinix 21,12iniixx 16nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 17例例2 2 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.121dxx 解解在在2,1中中插插入入分分点点 12,nqqq,典典型型小小区区间间为为,1iiqq，（ni,2,1）小小区区间间的的长长度度)1(11 qqqqxi
9、iii,取取1 iiq，（ni,2,1）iinixf )(1 iniix 11)1(1111 qqqinii18 niq1)1()1(qn取取2 nq即即nq12),12(1 nn)12(lim1 xxxxxx112lim1 ,2ln)12(lim1 nnn,2ln dxx 211iniix 101lim )12(lim1 nnn.2ln iinixf )(1 19例例 3 3 设函数设函数)(xf在区间在区间1,0上连续，且取正值上连续，且取正值.证明证明nnnnfnfnf 21lim nnnnfnfnfe21limlnnnnnfnfnf 21lim试试证证.10)(ln dxxfe利用对数
10、的性质得利用对数的性质得20 nifnnine1ln1limnnifnine1lnlim1 指指数数上上可可理理解解为为：)(lnxf在在1,0区区间间上上的的一一个个积积分分和和分割是将分割是将1,0n等分等分分分点点为为nixi，（ni,2,1）nnnnfnfnfe21lnlim极限运算与对数运算换序得极限运算与对数运算换序得21nnifnin1lnlim1 10)(lndxxf故故nnnnfnfnf 21lim.10)(ln dxxfe因因为为)(xf在在区区间间1,0上上连连续续，且且0)(xf所所以以)(lnxf在在 1,0上上有有意意义义且且可可积积,22五、小结五、小结定积分的实
11、质：特殊和式的极限定积分的实质：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限23思考题思考题将和式极限：将和式极限：nnnnnn)1(sin2sinsin1lim表示成定积分表示成定积分.24思考题解答思考题解答原式原式 nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ninnin1sin1limnninin 1sinlim1.sin10 xdxix i 25一、一、填空题：填空题：1 1、函数函数)(xf 在在 ba,上的
12、定积分是积分和的极限，上的定积分是积分和的极限，即即 badxxf)(_.2 2、定积分的值只与定积分的值只与_及及_有关，而与有关，而与_的记法无关的记法无关.3 3、定积分的几何意义是定积分的几何意义是_.4 4、区间区间 ba,长度的定积分表示是长度的定积分表示是_.二、二、利用定积分的定义计算由抛物线利用定积分的定义计算由抛物线,12 xy两直线两直线)(,abbxax 及横轴所围成的图形的面积及横轴所围成的图形的面积.三、三、利用定积分的定义计算积分利用定积分的定义计算积分 baxdx，)(ba .练练 习习 题题26四、四、利用定积分的几何意义，说明下列等式：利用定积分的几何意义，
13、说明下列等式：1 1、41102 dxx;2 2、2022cos2cosxdxxdx;五、五、水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知闸门上水的闸门上水的是是压强压强 P的的水深水深 h函数，且有函数，且有)(8.92米米千千米米hp ，若闸门高，若闸门高米米3 H，宽，宽米米2 L，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力压力P（见教材图（见教材图 5-35-3）.27一、一、1 1、niiixf10)(lim ；2 2、被积函数、被积函数,积分区间积分区间,积分变量；积分变量；3 3、介于曲线、介于曲线)(xfy ,
14、轴轴x,直线直线bxax ,之间之间 各部分面积的代数和；各部分面积的代数和；4 4、badx.二、二、abab )(3133.三、三、)(2122ab .五、五、88.2(88.2(千牛千牛).).练习题答案练习题答案28观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系29观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系30观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩
15、形面积和与曲边梯形面积的关系31观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系32观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系33观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系34观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系35观察下列演示过程，注意当
16、分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系36观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系37观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系38观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系39观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系40观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系41观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系42观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系
