1、1第四节第四节 定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法和分部积分法一、定积分的换元积分法一、定积分的换元积分法设设)(xf在在,ba上上连连续续；函函数数)(tx 满满足足条条件件 定理定理（2 2）)(t 在在,或或,上上单单调调，且且有有连连续续导导数数，则有则有 tttfxxfbad)()(d)(（1 1）a)(、b)(；2证证 tttfxxfbad)()(d)(因为因为)(xf在在,ba上连续，故原函数存在，设上连续，故原函数存在，设)(xF是是)(xf的一个原函数，则有的一个原函数，则有 tttfd)()(.d)(baxxf )(d)(ttf )(tF)()(FF )()(
2、aFbF 3注意注意:(1)应用定积分的换元法时应用定积分的换元法时,与不定积分比较，与不定积分比较，多一事：换上下限；多一事：换上下限；少一事：不必回代；少一事：不必回代；)(tx 应应单单调调,当当t从从 变变到到 时时,x从从a变变到到b,不不重重复复,不不遗遗漏漏；(2)(3)逆用上述公式逆用上述公式,即为即为“凑微分法凑微分法”,”,不必换限不必换限.tttfxxfbad)()(d)(4例例1 1 2/05dsincos xxx2/06cos61 x .61 例例2 2 30)1(dxxx 301d2xx30arctan2x.32 例例3 3 202d1xxx2021x .15 20
3、22d1121xx 2/05cosdcos xx5例例4 4 计算计算解解.dsinsin03 xxx原式原式 02dcossinxxx 0dsin|cos|xxx 220dsincosdsincosxxxxxx 220sindsinsindsinxxxx 2322032sin32sin32xx .34 6例例5 5 计算计算解解令令.1d8 0 3 xx，tx 3，ttxd3d2 ,80:x，20:t原式原式 202d13ttt 202d1113ttt 20d)111(3ttt202)1ln21(3ttt .3ln3，3tx 7例例6 6 计算计算解解令令原式原式.d1e3ln0 xx，tx
4、 1e，21etx ，)1ln(2 tx，tttxd12d2 ，3ln0:x，22:t 222d12tttt 222d)111(2tt2211ln)22(2 tt1212ln31ln)22(2 .)12ln(23ln)22(2 8例例7 7 计算计算解解令令.d)1(10222 xxx,tantx 40:t，ttxdsecd2 原式原式 4/0422dsecsectan tttt 4/02dsin tt 4/0d)2cos1(21 tt4/02sin418 t .418 9例例8 8解解求求函函数数221xxy 在在区区间间23,21上上的的平平均均值值.sin tx 232122d1xxxt
5、ttt 362dcoscossin tt 362dsin tt 36d)2cos1(21 3/6/2sin4112 t 所以平均值等于所以平均值等于)2123(12 .1213 ，12 10例例9 9解解设设,0 ,110 ,2 )(xxxxxxf 求求 20)d1(xxf.令令，tx 1原式原式 11d)(ttf 11d)(xxf 0110d11d2xxxxx.2ln2 01102d)121(xxx01)1ln(211 x11证证设设)(xf在在,aa 上上连连续续,那那么么(1 1)若若)(xf为为偶偶函函数数,则则 aaaxxfxxf0d)(2d)(；(2 2)若若)(xf为为奇奇函函数
6、数,则则 0d)(aaxxf.，00d)(d)(d)(aaaaxxfxxfxxf aattftxxxf00d)(d)(，axxf0d)(，aaaxxfxfxxf0d)()(d)(利用函数的对称性利用函数的对称性,有时可简化计算有时可简化计算.12(1)(1)(xf为偶函数为偶函数,则则),()(xfxf (2 2)(xf为为奇奇函函数数,则则),()(xfxf aaaxxfxfxxf0d)()(d)(aaaxxfxxf0d)(2d)(.0d)(aaxxfyxo)(xfy yx)(xfy o13 1122d)1(xxx 11222d)112(xxxxx 11211d12d1xxxx.2 例例10
7、10 xxbxaxxdcossin1cossin2222.0 奇函数奇函数 112d)1ln(xxx,0 11d21121xx,0 11d22ln1xxx 11dx,2 112d)1ee(xxxx 102d2xx.32 奇函数奇函数奇函数奇函数14设设)(xf是是以以T为为周周期期的的连连续续函函数数，证证明明：证证 Taaxxfd)(,d)(d)(d)(00 TaTTaxxfxxfxxf TaTxxfd)(tTx atTtf0d)(attf0d)(,d)(0 axxf.d)(d)(0 TTaaxxfxxf例例1111 TTaaxxfxxf0d)(d)(.15例例1212设设)(xf在在10，
8、上上连连续续,证证明明：.d)(sin2d)(sin2/00 xxfxxf，2/2/00d)(sind)(sind)(sinxxfxxfxxf证证(1)2/d)(sinxxf 2/0d)(sin ttf，2/0d)(sin xxf.d)(sin2d)(sin 2/00 xxfxxf xt 02/)(d)sin(ttf16.d)(cosd)(sin2/02/0 xxfxxf证证(2)令令，xt 2 2/0d)(sin xxf 02/d)2sin(ttf.d)(cos2/0 xxf例例1212设设)(xf在在10，上上连连续续,证证明明：17证证(3)令令，00d)(sin2d)(sinxxfxx
9、xf并计算并计算.dcos1sin02 xxxx，xt 0d)(sinxxxfI，Ixxf 0d)(sin.d)(sin2 0 xxfI例例1212设设)(xf在在10，上上连连续续,证证明明：)d()sin()(0 ttft 0d)(sin)(ttft18 02dcos1sinxxxx 02dcos1sin2xxx 0)arctan(cos2x 1arctan)1arctan(2 00d)(sin2d)(sinxxfxxxf 02cosdcos112xx.42 19解解例例1313设设)(xf在在),(上上连连续续，且且满满足足,1ed)(0 xttxftxx求求)(xf，令令，txu xt
10、txft0d)(则则 0d)()(xuufux xuufux0d)()(,d)(d)(00 xxuufuuufx,1ed)(d)(00 xuufuuufxxxx两边求导，两边求导，,1e)()(d)(0 xxxxfxxfuuf即即,1ed)(0 xxuuf再求导，得再求导，得.e)(xxf 20设设 xtttxf1d1ln)(,其其中中0 x,求求)()1(xfxf.例例1414解解 xtttxf11d1ln)1(uuuuutxd)1(/11ln /1 12 ,dln12 xuuuu xxtttttttxfxf11d1lnd)1(ln)()1(xttt1dln.ln212x xtttttt1d
11、1ln)1(ln21练习：练习：P245 习题六习题六22二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法定理定理 设设函函数数)(),(xvxu在在,ba上上连连续续可可导导,则则.d)(d bababauvuvvu例例1 1 10dexxx 10dexx 1010deexxxx例例2 2 51dlnxx 5151lndlnxxxx.45ln5 51d15ln5xxx.1ee10 x23 e13dlnxxx e121dln21xx e12e12lnd121ln21xxxx e132d121e21xxe12241e21x .e43412 例例3 3例例4 4 02dsinxxx 02cosdxx
12、002dcos2cosxxxxx 02sind2xx 002dsin2sin2xxxx.42 24例例5 5 计算计算与换元法结合与换元法结合.de10 xx解解令令,tx ,2tx ,d2dttx ,10:t原式原式 10de2ttt 10de2tt 1010de2e2tttt.2e2e210 t25例例6 6 计算计算解解 令令原式原式.d1arcsin30 xxx,1arcsintxx 则则,tan2tx,30:x 3/02tand tt 3/023/02dtantan tttt.334 ,sin12txx 解得解得,30:t 3/02d)1(sec tt3tan3/0 x26 e1d)
13、sin(lnxxI e1e1d1)cos(ln)sin(lnxxxxxx e1d)cos(ln1sinexx e1e1d1)sin(ln)cos(ln1sinexxxxxx,11cose1sineI .)11cose1sin(e21 I例例7 7 计算计算.d)sin(lne1 xx解解27解解计算积分计算积分，10d)(xxxfI.de)(12 xttxf其中其中采用分部积分的方法采用分部积分的方法,10d)(xxxfI 1010)(d2)(2xfxxxf 10d21e2xxxx 10dexx.1e1 xxfx21e)(10d)(2xxf例例8 80)1(f28例例9 9 计算计算解解 2/
14、0)(,dsin NnxxInn 2/01cosdsin xxInn 2/0222/01dsincos)1(cossin xxxnxxnn 2/022dsin)sin1()1(xxxnn，nnInIn)1()1(2 得到递推公式：得到递推公式：)2(,12 nInnInn29)2(12 nInnInn 2/0 ,dsin xxInn而而，20 I，11 I若若n为正偶数为正偶数,则则 02143231InnnnIn ；22143231 nnnn若若n为大于为大于1 1的奇数的奇数,则则.3254231 nnnnIn30 的奇数的奇数为大于为大于为正偶数为正偶数1 ,3254231 ,22143
15、231dsin20nnnnnnnnnnxxn 即即例如，例如，2/06dsin xx 2/05dsin xx另外，另外，.dsindcos2/02/0 xxxxnn2214365 ，325 .1583254 31例例1010 计算计算解解50cosd ,()2xIxnN /250cosdIt t 4 225 3 ,2xt 令令则则dd2,xt 16.15 32定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 .bababavduuvudv二、小结二、小结（注意与不定积分分部积分法的区别）（注意与不定积分分部积分法的区别）tttfxxfbad)()(d)(定积分的换元积分公式定积分的换元积分公式（注意：
16、（注意：换元必换限换元必换限）33*思考题思考题设设)(xf 在在 1,0上连续，且上连续，且1)0(f，3)2(f，5)2(f，求，求 10)2(dxxfx.34思考题解答思考题解答 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 1010)2(21)2(21dxxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff .2 35一一、填填空空题题：1 1、设设 n n 为为正正奇奇数数，则则 20sin xdxn_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、设设 n n 为为正正偶偶数数，则则 20cos xdxn=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3
17、、dxxex10_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；4 4、exdxx1ln_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；5、10arctan xdxx_.二二、计计算算下下列列定定积积分分：1 1、edxx1)sin(ln；2 2、eedxx1ln；练练 习习 题题363 3、0sin)(xdxxmJm，（m为自然数）为自然数）4 4、01)1cos(sinxdxnxn.三三、已已知知xxf2tan)(,求求 40)()(dxxfxf.四四、若若 ,0)(在在xf 连连续续，,1)(,2)0(ff 证证明明：3sin)()(0 xdxxfxf.37一、一、1 1、!)!1(nn；2 2、2!)!1(nn；3 3、e21；4 4、)1(412 e；5 5、23ln21)9341(.二、二、1 1、211cos1sin ee；2 2、)11(2e；练习题答案练习题答案 3 3、为奇数为奇数为偶数为偶数1,531)1(642,2642)1(531)(2mmmmmmmJ；384 4、为正偶数时为正偶数时当当为正奇数时为正奇数时当当nnnn,!)!1(2,0；三、三、8.8.39练习：练习：P245 习题六习题六
