1、导导 数数一、导数定义式的几种等价形式一、导数定义式的几种等价形式0limxx00)()(xxxfxfxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim0000limxyx 0()fx 左导数、右导数：左导数、右导数：0000()()()limxxf xf xfxxx 0000()()()limxxf xf xfxxx 二、判定函数在某点是否可导的主要方法二、判定函数在某点是否可导的主要方法1.1.根据可导的定义根据可导的定义2.2.根据可导的充要条件根据可导的充要条件3.3.根据可导的必要条件根据可导的必要条件直接由定义考虑直接由定义考虑000()()limxxf xf xxx
2、000()()limhf xhf xh或或是否存在是否存在考虑左右导数考虑左右导数00(),()fxfx 是否都存在且相等是否都存在且相等考虑是否不连续考虑是否不连续（连续不一定可导，但不连续一定不可导！）（连续不一定可导，但不连续一定不可导！）三、必须用定义求导数的情形三、必须用定义求导数的情形1.1.分段函数在分段点处的导数分段函数在分段点处的导数2.2.含有绝对值符号的函数在绝对值为零的点处的导数含有绝对值符号的函数在绝对值为零的点处的导数3.3.仅知函数仅知函数 在一点可导，在一点可导，【注】【注】某些某些“乘积型乘积型”的复杂函数用定义求导较方便。的复杂函数用定义求导较方便。()f
3、x不知在该点的附近（一个邻域）是否可导不知在该点的附近（一个邻域）是否可导四、常数和基本初等函数的求导公式四、常数和基本初等函数的求导公式)(C0)(x1x)(sin xxcos)(cosxxsin)(tan xx2sec)(cot xx2csc)(secxxxtansec)(cscxxxcotcsc 特别地：)(xx21x121x )(xaaaxln)(xexe)(log xaaxln1)(ln xx1)(arcsin x211x)(arccosx211x)(arctan x211x)cot(arcx211x(ln|)x x14.4.隐函数的求导法则隐函数的求导法则5.5.由参数方程所确定的
4、函数的求导法则由参数方程所确定的函数的求导法则6.6.对数求导法对数求导法7.7.分段函数的求导法分段函数的求导法非分段点处按法则求导，分段点处按定义求导非分段点处按法则求导，分段点处按定义求导1.1.导数的导数的 +、-、运算法则运算法则2.2.复合函数的求导法则复合函数的求导法则3.3.反函数的求导法则反函数的求导法则五、求导数的主要法则五、求导数的主要法则六、六、导数的几何意义导数的几何意义)(xfy 在点在点),(00yx的切线斜率的切线斜率0()fx切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy注：注：xyo()yf xC),(00yx.七
5、、求高阶导数的主要方法七、求高阶导数的主要方法（1 1）逐次求导归纳法；）逐次求导归纳法；（2 2）n 阶导数的公式及求导法则；阶导数的公式及求导法则；注：求一点处高阶导数注：求一点处高阶导数 的好方法的好方法-函数的幂级数展开（以后学）函数的幂级数展开（以后学）()0()nfx常用的常用的 n 阶导数公式阶导数公式()()axnnaxea e(1)()(sin)sin(nnaxaax()(cos)cos(nnaxaax)2n)2n(2)(3)()11(1)!()()nnnnxaxa(4)()(1)(1),()!0k nknk kknxnkxnnknk（k为正整数。）为正整数。）（a 为常数）
6、为常数）都有都有 n 阶导数阶导数,则则()(1)()nuv)()(nnvu()(2)()nCu)(nuC(C为常数为常数)()(3)()nuv()1(1)2(2)()nnnnnnuvC uvC uvuv 上式称为莱布尼兹上式称为莱布尼兹(Leibniz)公式。公式。)(xuu 及及)(xvv 设函数设函数2.高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则八、可微、可导、连续、极限的关系八、可微、可导、连续、极限的关系可微可微可导可导连续连续极限存在极限存在九、奇函数、偶函数、周期函数的导数九、奇函数、偶函数、周期函数的导数单调函数的导数不一定是单调函数。单调函数的导数不一定是单调函数。【注】【注】可导
7、奇函数可导奇函数()f x的导数的导数()fx 是偶函数是偶函数可导偶函数可导偶函数()f x的导数的导数()fx 是奇函数是奇函数可导周期函数可导周期函数()f x的导数的导数()fx 是周期函数是周期函数且且与与有相同的周期有相同的周期()f x()fx 例例1在在 有定义有定义.()f x当当问问()0f xx 在在处处 是否可导？是否可导？(,)(1)2()f xf x01x时，时，2()(1)f xxx0limxx00)()(xxxfxf0limx()(0)0f xfx0limx()(0)0f xfx？()()f xg x，在在 R 上定义，上定义，()()()()()f stf s
8、 g tf t g s(0)0,(0)1,(0)1,(0)0fgfg证明：在证明：在 R 上上()()fxg x例例2.0()()limhf xhf xh()fx0()()()()()limhf x g hf h g xf xh00()()1()()limlimhhf x g hf h g xhh00()1()()lim()limhhg hf hf xg xhh00()(0)()(0)()lim()limhhg hgf hff xg xhh()(0)()(0)f x gg x f证证()g x12121212,()()()2xxf xxf xf xx x有 对任意对任意(0)1,()ff x且
9、求例例3.0()()limhf xhf xh()fx0()()2()limhf xf hxhf xh00()2limlimhhf hxhhh121212()()()2f xxf xf xx x由(00)(0)(0)0fff(0)0f()fx0()(0)lim2hf hfxh(0)2fx12x()f x 2xxC0C()f x 2xx解解()f x是偶函数，在是偶函数，在求求0 x 处可导，处可导，(0)f 下列解法错误：下列解法错误：()f x的导数的导数()fx 是奇函数是奇函数()fx ()fx 0 x 代入代入(0)f (0)f (0)f 0例例4.0limxx00)()(xxxfxf正
10、确思路：正确思路：导数定义。导数定义。()f x是偶函数，在是偶函数，在求求0 x 处可导，处可导，(0)f 例例4.0()(0)limxf xfx(0)f 0()(0)limxfxfx0()(0)lim(1)xfxfx(0)(1)f (0)f (0)f 0解解0()(0)lim0 xf xfx(0)f)(xf在 0 x处连续,且xxfx)(lim0存在，证明:)(xf在0 x处可导.证证：因为xxfx)(lim0存在，则有0)(lim0 xfx又)(xf在0 x处连续,0)0(f所以0()limxf xx即)(xf在0 x处可导。例例5.设0()(0)lim0 xf xfx故存在0limxx
11、00)()(xxxfxf解解:因为例例6.设,12)1()1(lim0 xxffx求xxffx2)1()1(lim0所以.2)1(fxfxfx2)1()1(lim0)()1()(1(lim210 xfxfx1(1)2f 1d()xf x1d()xf x1()dxfxx2dx。1 0limxx00)()(xxxfxf0limh00()()f xhf xh0()fx例例7 7设设2sin0()ln(1)0axbxcxf xxx，求，求 a，b，c0 x 处处使使()fx在在一阶导数连续，二阶导数不存在一阶导数连续，二阶导数不存在.00()limxxfx00)()(xxxfxf00()limxxfx
12、00()()fxfxxx2()(2|)f xxx()(0)nf存在的最高阶数存在的最高阶数 n=？例例8.，00()limxxfx00)()(xxxfxf00()limxxfx00()()fxfxxx解解:23232,0()2,0 xxxf xxxx0()(0)limxf xfx(0)f02302limxxxx(0)f0(0)f0()(0)limxfxfx2243,0()0,043,0 xxxfxxxxx2043limxxxx4(0)f4例例9.设设()(1)(2)(100),f xx xxx(50).f 求求解解:方法方法1 利用乘法公式利用乘法公式.()fx1(1)(2)(100)xxx(
13、1)(49)1(51)(100)x xxxx (1)(99)1x xx(50)f 50 491(1)(50)2(50!)1212()()()()()()nnf x fxfxfx fxfx12()()()nf x fxfx 12()()()nf x fxfx 方法方法2 利用乘法公式利用乘法公式.例例9.设设()(1)(2)(100),f xx xxx(50).f 求求()(50)f xx(1)(49)(51)(100)x xxxx()fx 1(1)(49)(51)(100)x xxxx(50)x(1)(49)(51)(100)x xxxx(50)f 50 491(1)(50)2(50!)解解:
14、121212()()()()()()f x fxfx fxf x fx 方法方法3 利用导数定义利用导数定义.例例9.设设()(1)(2)(100),f xx xxx(50).f 求求(50)f 50()(50)lim50 xf xfx50lim50 xx(1)(2)(100)x xxx50limx(1)(49)(51)(100)x xxxx2(50!)解解:例例10.设设证：在证：在222222dd()()ddf xfxxx0 x.(0)1,(0)0ff处：处：，()f x二阶可导，二阶可导，例例1111设设()cos0()(0)0g xxxf xxgx处二阶可导，求处二阶可导，求()fx0
15、 x(0)1,g()g x处处可导，在处处可导，在0()(0)(0)lim0 xfxffx0 x 时，时，()fx()cosg xxx2()sin ()cos g xxxg xxx解解:例例1111设设()cos0()(0)0g xxxf xxgx处二阶可导，求处二阶可导，求()fx0 x(0)1,g()g x处处可导，在处处可导，在0 x 时，时，0()(0)(0)limxf xffx0()cos(0)limxg xxgxx20()cos(0)limxg xxxgx0()sin(0)lim2xg xx gx001()(0)1sinlimlim22xxg xgxxx11(0)22g解解:例例1
16、2.求求132ln|(1)xyxxx的导数的导数.lnlneebbabaa 1ln|xx1ln|xx3ln|yxx21ln(1)exx3ln|xx2ln(1)exxy 3xx13()xx2ln(1)exx2ln(1)xx解解:例例13.2，设曲线的极坐标方程为设曲线的极坐标方程为e处的切线方程处的切线方程.求曲线上求曲线上()()xtytxyddd()dd()dyttxtt思路：思路：把极坐标方程转化为参数方程，把极坐标方程转化为参数方程，求出导数求出导数ddyx解：解：e的参数方程为的参数方程为cosxe cossinye sinddyx(e sin)(e cos)sincoscossin例
17、例13.2设曲线的极坐标方程为设曲线的极坐标方程为e处的切线方程处的切线方程.求曲线上求曲线上k切ddyx21，切点坐标，切点坐标00(,)xy(0,)2切线方程切线方程2yx 例例14.证明：两条心形线证明：两条心形线(1cos),(1 cos)aa在交点处切线互相垂直在交点处切线互相垂直.交点：交点：,232(1cos)a在交点处的斜率：在交点处的斜率：11k (1 cos)a在交点处的斜率：在交点处的斜率：21k 121k k 解解:确定确定,(1)0e10yxttty 220d.dtyx例例15.设设()yy x由方程组由方程组求求()()xtytxyddd()dd()dyttxtt2
18、2ddxy()()()ttt例例16.设322232,21xxxyxx求().ny()11(1)!()()nnnnxaxa用多项式除法得32223221xxxyxx21121xxxx 11(21)(1)xxxx 1211xxx 解解:13231121116312xxx()11(1)!()()nnnnxaxa1121116312yxxx()ny111(1)!2(1)!163(1)()2nnnnnnxx(2)n y 2211211163(1)()2xx例例17.2()ln(1),f xxx 求求()()nuv()1(1)2(2)()nnnnnnuvC uvC uvuv0 x 处的处的100阶导数。
19、阶导数。例例18.设设1ln,nyxx求求()ny。y 2(1)lnnnxx11nxx2(1)ln1nxnx21(1)ln1nnxxny 311(1)(2)ln12nnnxxnny 4111(1)(2)(3)ln123nnnnxxnnn (1)ny(1)(2)1nn x0111ln121xnn()ny(1)!nx解解:3sinyx例例19.,求d.dnnyx1sincossin()sin()2()(sin)sin()2nnaxaaxn3sinyx2sinsinxx1 cos2sin2xx1(sinsin cos2)2xxx11 sin(sin3sin)22xxx31sinsin344xxddn
20、nyx34sin()2xn13 sin(3)42nxn解解:例例20.21 2()(2),nxf xxxe求求()(1)nf()f x 1 2(1)(2)nnxxxe()()nfx (1)nx()n1 2(2)nxxe1(1)nnCx(1)n1 2(2)nxxe2(1)nnCx(2)n1 2(2)nxxe(1)nx1 2(2)nxxe()n解解:()(1)nf13!ne n例例21.设设3sin2xyxy，求，求2222dd,ddyxxy求求22ddyx时，时，x 是自变量，是自变量，y 是是 x 的函数的函数23x cos yddyx12ddyxddyxcos2y 21 3x22ddyx2(
21、cos2)y(6)x(cos2)y (sin)yddyx2(1 3)x解解:例例21.设设3sin2xyxy，求，求2222dd,ddyxxy求求22ddxy时，时，y 是自变量，是自变量，x 是是 y 的函数的函数23xcos y2ddxyddxycos2y 21 3x(sin)y(6)xddxy22ddxy22(1 3)x2(1 3)xddxy(cos2)y解解:三阶可导，三阶可导，()yf x用用y表示表示ddxy22ddxy33ddxy例例22.，y 0ddxy1y1()fx22ddxy1()fxy1()fxxddxy2()()fxfx1()fx3()()fxfx3()yy解解:3()
22、yy33ddxy3()yyy3()yyxddxy326()3()()yyyyyy253()()yyyy22ddxy1y作变换作变换，求函数，求函数 使使得得t转化为转化为 关于关于sinxty的导数的表达式的导数的表达式.222dd(1)0ddyyxxxx例例23.()yf x思路.ddyxddytddtxddyt1ddxtddyt1costdsecdytt22ddyxdsecdyttddtddtx22dsecdyttdsec tandytttsect222dd(1)ddyyxxxx22ddyt0y 12ctc12arcsincxc有多少个不可导点？有多少个不可导点？例例24.23()(23)|f xxxxx()f x (3)(1)|(1)(1)|xxxxx只要讨论绝对值中为只要讨论绝对值中为0的点的点0,1xx(0)f 0limx()(0)0f xfx0limx(3)(1)|(1)(1)|xxxxxx0 x 30 x 3(1)f 1limx()(1)1f xfx1x 81x 8解解.(1)f 1limx()(1)(1)f xfx 0有多少个不可导点？有多少个不可导点？例例24.23()(23)|f xxxxx()f x (3)(1)|(1)(1)|xxxxx1limx(3)(1)|(1)(1)|xxxxx1x1limx(3)|(1)(1)|xxxx解解
