1、 向量本身是一个几何概念，但它有代数形式和几何形式两种表示方法。高考对向量的考查主要是两个方面：基本概念、基本运算、基本性质的考查；作为工具来考查。向量问题易于数形结合，因此它可以称为高中数学知识的一个交汇点。不管哪一类都要在熟悉向量的代数运算的基础上，进一步读懂向量的几何意义。（1）向量共线的充要条件）向量共线的充要条件:ab 与 共线 0,bRba1122122 1(,)(,)/0ax y bx ya bx yx y，（2）向量垂直的充要条件：）向量垂直的充要条件：0,00bababa11221 212(,)(,)0ax y bx yabx xy y，（3）两向量相等充要条件：）两向量相等
2、充要条件：,baba且方向相同。11221212(,)(,),ax y bx yabxx yy，11).22(1).OAOBABPOPOPOAOB 、共线且P分AB成定比(当时,(5).(0)a bab 两个非零向量的夹角公式:cos1.直线直线 x2y20 的一个方向向量是的一个方向向量是-()A.(1,2)B.(1,-2)C.(2,1)D.(2,-1)2.2019年高考题年高考题 设坐标原点为设坐标原点为O,抛物线抛物线与过焦点的直线交于与过焦点的直线交于A,B两点两点,则则 等于等于-()A.B.C.3 D.-322yxOA OB 3434DB3.2019年高考题年高考题 已知两点已知两
3、点 ，若，若 点满足点满足 ，其中，其中 且有，且有，则点则点C的轨迹方程为的轨迹方程为-()3,1,1,3AB COCOAOB ,R 101123)(yxA521)(22yxB()20Cxy()250D xyD 思路一：利用向量的坐标运算 (,),C x yOCOAOB 设则有得:331,xyC又所 以消 去、可 得 点的 轨 迹 方 程:250.xy1,OCOAOBCAB 且点 在直线上,(3,1),(1,3),:250ABCABxy又已知点 在直线上 其方程为2200BACByAxd 例例1.点到直线距离公式的推导。点到直线距离公式的推导。已知点已知点P坐标坐标(x0 ,y0)，直线，直
4、线l的方程的方程 Ax+By+C=0，P到直线到直线l的距离是的距离是d，则，则),(),0(01BAnlBCPlB 的法向量的法向量直线直线取取上任取一点，不妨上任取一点，不妨时，在直线时，在直线证明：当证明：当,1dnPPlP方方向向上上射射影影长长在在向向量量距距离离等等于于向向量量的的到到则则),0,0(1BCyxPP 22),()0,0(1BABABCyxnnPPd 2200BACByAx （略略）时时，可可直直接接由由图图形形证证得得当当0 B例例2.2.椭圆椭圆 的焦点为的焦点为 ，点，点P P为为其上的动点，当其上的动点，当 为钝角时，求点为钝角时，求点P P横坐标横坐标的取值
5、范围。的取值范围。142y92x 12,FF2PF1F0520202121 yxPFPFPFF为为钝钝角角1420y920 xP 在在椭椭圆圆上上则则又又点点5530 x553 解解得得：)0y,0 x5(2PF),0y,0 x5(1PF)0y,0 x(P)0,5(2F),0,5(1F 则则，设设解：解：例例3.已知已知:过点过点C(0,-1)的直线的直线L与抛物线与抛物线y=交于交于A、B两点，点两点，点D(0,1)，若，若ADB为钝角为钝角求直线求直线L的斜率取值范围。的斜率取值范围。241xCDABoxy解：设解：设A(x1,y1),B(x2,y2),)1,(11 yxDA又又)1,(2
6、2 yxDB因为因为ADB为钝角所以为钝角所以0 DBDA即即x1x2+(y1-1)(y2-1)0)和直线和直线l:x=-1,B是直线是直线l上的动点，上的动点，BOA的角的角平分线交平分线交AB于点于点C,求点求点C的轨迹方程。的轨迹方程。XYAOCB-1L解：设解：设B(-1,t),C(x,y)则则0 xa,由由cos =cosOCOA,OCOB,得得)1(02)(22 xytyx由由A、C、B三点共线知三点共线知 ACCB),(yaxAC 又又),1(ytxCB (x-a)(t-y)-(-1-x)y=0整理得：整理得：)2(1yxaat 将（将（2）代入（）代入（1）得：）得：0)(2)
7、1)(22 xaxyyayxXYAOCB-1L当当y0时，得：时，得：(a-1)x2-(a+1)y2+2ax=0当当y=0时，时，t=0,C点坐标为（点坐标为（0，0）也满足以上方程。）也满足以上方程。故所求的轨迹方程为故所求的轨迹方程为(a-1)x2-(a+1)y2+2ax=0(0 x0)=2px(p0)的焦点为的焦点为F F，经过点经过点F F的直线交抛物线于的直线交抛物线于A A、B B两点，点两点，点C C在抛物在抛物 线的准线上，且线的准线上，且BCxBCx轴。轴。证明证明:直线直线ACAC经过原点经过原点O O2y证明：证明：，设，设A A（），），B B（）则）则C C（），（0
8、2pF1y,p221y2y,p222y2y2p，即即 亦即亦即)2y,p222y2p()1y,p221y2p （2y1y)2p(p221y2y1y)p222y2p(p221y2pOAOC又又 （），），=（）1y,p221y2y,2p OCOA 故故A A、O O、C C三点共线，即直线三点共线，即直线ACAC经过原点经过原点O O。因因A A、B B、F F三点共线，则有三点共线，则有 （）BFAF RyxAFBCo 又如2019年理工类第26题：已知椭圓221,:1.2416128xyxylpl直线是 上一点，射线2,RQOQOPORPlQOP交椭圆于点又点 在OP上且满足当点在 上移动时
9、，求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。xyLpRQ解：由题意可设：均代入221211OQOPOR可得(,)(,)(,),ppRRQ x yP xyR xy设、则由1212,:;.pRpRxxxxPRyyyy：1212,OPOQOROQ 、均为正数 因为点P、R分别在已知直线和椭圆上，分别代入可得 由、即得 整理得 这就是点Q的轨迹方程，其轨迹是以（1，1）为 中心，长、短半轴分别为 且长轴与x轴平行 的椭圆，但要去掉坐标原点。1222211 2812 41 6xyxy 22,2416128xyxy22(1)(1)1.(5523xyxy其 中、不 同 时 为 零）101523和 这是这是20
10、19年理工农医类全国高考数学试年理工农医类全国高考数学试题，是一道有难度的多动点轨迹问题。当年题，是一道有难度的多动点轨迹问题。当年高考提供了两种参考答案，其过程曲折冗长，高考提供了两种参考答案，其过程曲折冗长，运算相当复杂。而如今用向量法求解，不仅运算相当复杂。而如今用向量法求解，不仅大大减少运算量，而且过程也变得平坦、自大大减少运算量，而且过程也变得平坦、自然。更为有趣的是，通过这种解法还可以看然。更为有趣的是，通过这种解法还可以看到，所求的轨迹方程竟是两已知方程相减消到，所求的轨迹方程竟是两已知方程相减消去常数项后的结果，事实上，这一结论还可去常数项后的结果，事实上，这一结论还可以推广到
11、一般椭圆或双曲线。以推广到一般椭圆或双曲线。向量证法一气呵成，对称、和谐、统一向量证法一气呵成，对称、和谐、统一给人以美的享受，它是解决数学问题的一把给人以美的享受，它是解决数学问题的一把利剑，是数学美的使者。利剑，是数学美的使者。例5 2019年全国卷2（理科)（四川、吉林、黑龙江、云南）给定抛物线C：y24x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点()设l的斜率为1，求 夹角的大小；()设 4，9，求l在y轴上截距的变化范围OAOB 与,FBAF 若解：（I）C的焦点为F(1,0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为y=x-1.将y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1
12、=0.设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有x1+x2=6,x1x2=1，=(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=2x1x2-(x1+x2)+1=-3.=所以 夹角的大小为22221122121212|4()16OAOBxyxyx x x xxx 341.41|OAOBOAOB ,OA OB 41cos OA OB OAOB 与3 41arccos41(II)解法1：由题设知得：(x2-1,y2)=(1-x1,-y1)，即由（2）得y22=2y12,y12=4x1,y22=4x2,x2=2x1。(3)联立(1)(3)解得x2=.依题意有0.B(,2 )或B(,-2 )，又F(1
13、,0),得直线l的方程为(-1)y=2 (x-1)或(-1)y=-2(x-1)。当4,9时，l在y轴上的截距为 F BA F 得21211(1)(1)(2)xxyy 2211或由 在4，9上是递减的，直线l在y轴上截距的变化范围是 解法2：由定比分点公式求解。22222,11111可知324423,.413314 433 4,.344 3例6、2019江苏（21）.已知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数).()求椭圆的方程；()设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M.若 求直线的斜率.122MQQF （1）设所求椭圆方程是由已知得，所以，故所求椭圆方程是（2）设，直线，则点，当时，由于，由定比分点坐标公式得，又点在椭圆上，所以，；当时，所以得，解得，故直线的斜率是。本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分14分。(I)解：由题意，可设椭圆的方程为 由已知得 解得 所以椭圆的方程为，离心率 。4分
