1、第四章第四章 不定积分不定积分 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质 基本积分公式基本积分公式 换元积分法 分部积分分部积分 微积分这门课程，主要包括微分学和积分学。在上微积分这门课程，主要包括微分学和积分学。在上学期我们已经学习了微分学，即已知一个函数学期我们已经学习了微分学，即已知一个函数 ，如，如何求出其导数何求出其导数 的问题。本章我们开始学习微分的的问题。本章我们开始学习微分的反运算，亦即已知一个函数的导数反运算，亦即已知一个函数的导数 ，如何求出，如何求出 的问题，这一过程称为积分。的问题，这一过程称为积分。()f x()fx()fx()f x例如，已知某工厂生产例如，已知某工
2、厂生产 单位某种产品的边际成本单位某种产品的边际成本为为x()210C xx求总成本函数求总成本函数()C x这个问题就是求这个问题就是求 的积分的过程的积分的过程()C x4-1 4-1 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质 又如又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以所以sec x是是sec x tan x 的一个原函数的一个原函数.定义定义 设设f(x)在某在某区间上区间上有有定义定义，如果对该区间的任意，如果对该区间的任意点点x都有都有 F(x)=f(x)或或 dF(x)=f(x)dx则称则称F(x)为为 f(x)在该区间上的一个原函数在该区间上的一个原函数.1 原函
3、数的概念原函数的概念 例如例如:，是函数是函数 在在 上的原函数上的原函数.,sin x是是cos x在在 上的原函数上的原函数.(,)32()3xx x233x(,)(sin)cos x x (2)(2)如果如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数在某区间上存在原函数，那么原函数不是唯一的不是唯一的,且有无穷多个且有无穷多个(1)(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存在如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存在例如例如在在 上上 是是 的原函数的原函数(,)sin1,sin2xxsin xcos xsin1,sin3xx也是它的原函数也是它的原函数即即 加任意常数都是加任意常数都
4、是 的原函数的原函数.sinxcosx (3)若函数若函数 f(x)在区间在区间 I 上存在原函数，则其任上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项意两个原函数只差一个常数项.而而注注:定义定义2 2 如果函数如果函数F(x)是是f(x)在在区间区间 I 上上的一个原函数，的一个原函数，那么那么f(x)的全体的全体原函数原函数F(x)C(C为任意常数为任意常数)称为称为f(x)在在区间区间 I 上上的不定积分的不定积分.记作记作()df xx其中记号其中记号 称为积分号称为积分号，f(x)称为被积函数，称为被积函数，f(x)dx称称为被积表达式，为被积表达式，x 称为积分变量，称为积分变量
5、，C为积分常数为积分常数.()d()f xxF xC，即即2.不定积分的概念不定积分的概念注意：不定积分为全体原函数注意：不定积分为全体原函数F(x)C例例2 求求21d.1xx21(arctan)()1 ，x xx解解2 1darctan.1 所所以以在在上上有有xxxCx例例1 求求4d.xx545由由于于，xx解解54d.5所所以以xxCx例例3 求求1d.xx,1)1(1)(1)ln(0 xxxxxx 时，有当解解10(ln).xx x当时，有1dln (0).xxCxx所所以以ln x1dln().xxCx又又ln0,ln()0,xxxx当当1dln (0)xxCxx3 3 不定积分
6、与微分的关系不定积分与微分的关系微分运算与积分运算互为逆运算微分运算与积分运算互为逆运算.(1)()d()d()d()df xx f xf xxf xx或或，特别地，有特别地，有d.xx C(2)()d()d()()f xxf xCf xf xC或或，4 不定积分的性质不定积分的性质性质性质1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面号的前面.()d()dkf xxkf xx(0).kk 是常数，性质性质2可以推广到有限多个函数的情形，即可以推广到有限多个函数的情形，即nnxxxxxxxxxxffffff1212()()()d ()d()d()d.性
7、质性质2 两个函数的和两个函数的和(或差或差)的不定积分等于各函数的不定积分等于各函数不定积分的和不定积分的和(或差或差)，即，即 ()()d()d()d.f xg xxf xxg xx例例4 求求32543)d.(2xxxx32 2d5d4d3 dxxx xxxx3232 543)d 2d5d4 d3d(2xxxxx xxxxxx解解43215 23.23xCxxx 注注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只要写出一个任意常数即可要写出一个任意常数即可 4-2 4-2
8、基本积分公式基本积分公式(6)sin dcosxxxC(1)d kxkxCd(3)ln|.xxCx(5)d.eexxxC 1(2)d (1).1xxxC (4)d.lnxxxCaaa 基本积分公式基本积分公式 22d(8)csc d cot.sinxxxxCx(10)sec tan dsec.xxxxC(7)cos dsin.xxxC22d(9)sec dtan.cosxxxxCx(11)csc cot dcsc.xxxxC21(12)darcsin 1xxCx21(13)darctan1xxCx arccos.xC arccot.xC练习：计算下列积分练习：计算下列积分31(1)d.(2)d
9、.(3)2 d.(4)d.xxx xxxexx.43131134131CCxxxxxxd d1(2)21解解xxxxd d(1)313.22111 211CxCx(3)22 dln2xxxC(4).xxxC dee例例5 某公司测定出生产某公司测定出生产 件某种产品的边际成本件某种产品的边际成本 为为x()C x()210C xx求总成本函数求总成本函数()C x解：解：应用积分来求成本函数应用积分来求成本函数()()C xC x dx(210)xdx210 xxC().C其中 是常数.xexC1)d(xxe21(1)(1)dd11xxxxxxxeeeee解解21d.1xxxee例例6 求求c
10、os2d.sincosxxxx sincos.xx C例例7求求cos2dsincosxxxx解解(cossin)xx dx 有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数的积分后，便可逐项积分求得结果的积分后，便可逐项积分求得结果 (cossin)(cossin)dsincosxxxxxxx22cos2cossinxxx练习：计算下列积分练习：计算下列积分2(1)d.(2)(1 2)d.(3)cosd.xxxx xexx x3121312Cx(1 2)d(2)xx
11、ex解解32d (1)dx xxxx1l.(2)n2xxeeCe (3)2cos x x d522.5Cxxa2cos22cos1xx12(cos21xx)d12xC14()d2xxeexsin2x12作业：作业：P138 1，（，（3）（）（8）（）（12）作业：计算下列积分作业：计算下列积分232cos(1)d.(2)d.(3)sind.1 sin2xxxx xxxx22cos1 sin(1 sin)(1 sin)ddd1 sin1 sin1 s n(2)i xxxxxxxxxx解解372d (1)dxx xxx(1 sin)dxx(3)2sin2xx d922.9Cx2cos212sin
12、xx 1122sin xxCcosxxC1(1 cos)d2xx4-3 4-3 换元积分法换元积分法换元积分法换元积分法 直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积分的两大基本方法分的两大基本方法换元积分法和分部积分法。换元积分法和分部积分法。在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应方法，不定积分作为微
13、分法的逆运算，也有相应的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法积分法换元积分法。通常根据换元的先后，换元积分法。通常根据换元的先后，把换元法分成第一类换元和第二类换元。把换元法分成第一类换元和第二类换元。问题问题 xdx2cos,2sinCx 解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令xt2,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 一、第一类换元法一、第一类换元法xCx2cos2sin21 说明结果正确说明结果正确 ()d()()f uu F uCux，如果具有连
14、续导数，则 有 ()()d()d()fx x xfxx 定理定理1设设 该公式称为不定积分的第一换元积分公式，应用该公式称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法分法.也称也称“凑微分凑微分”法法 ()FxC 凑微分法的基本思路：凑微分法的基本思路：与基本积分公式相比较，将不同的部分与基本积分公式相比较，将不同的部分中间变量中间变量和和积分变量积分变量变成相同变成相同步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量应用定理应用定理1 1求不定积分的步骤为求不定积分的步骤为()d
15、()()d()d()g xxfxxxfxx凑微分()d()()()()f uuF uCFxCxuux变量代换还原 微分的基本公式：微分的基本公式：CC()(1)d0 为为常常数数1(2)d ()为为常常数数axxa(4)e dxx 1(5)d xx(7)sin d x x(3)d (01)xaxa,a(6)cos d x xxd xCd()1d axa1dln xaadexdln xdsin xdcos x21(8)d1 xxdarcsinx21(9)d1 xxarctandx例例1 1 求求.231dxx 解解32,uxdxx 231112duud(3)ln|.xxCx2,dudx1,2dx
16、du1ln2uC1ln 322xC一般地一般地 dxbaxf)(1()f u duuaxba例例2 2 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx duu121Cu ln21.)ln21ln(21Cx 12ln,ux 2(ln),dudx,)106(3000900022xxxdxdpdxxxxdxxpxp22)106(30009000)()(22261500(610)xdxxx)106()106(1500222xxdxxCxx212)106(2111500.)106(150012Cxx 已知某公司出售现已知某公司出售现x单位产品的边际利润函数是单位产品的
17、边际利润函数是求总利润函数求总利润函数.例例3 3解：由不定积分的性质可知解：由不定积分的性质可知2(610)d xx26xdx练习：求下列不定积分练习：求下列不定积分2008d.(31)xx.cos11 dxx2008d.(31)xx d31 d 20082008)13(uxux于是有131d3ddd3uxuxxu令，得，解解uud31=200820091132009Cu20091(31).6027xC解解.cos11 dxx11 cosdxxCx 2tan212cos2dxx2cos22cos1xx221cos2xdx解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1c
18、os1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx1cotsinxCx 221cossinsinxdxdxxxcsccot.xxC2cos2sin2tanxxx xxcos1cos1 xx22cos1)cos1(xxsincos1 xxcotcsc 1cossinsinxxx例例4dxxa 221解解dxxa 221dxxaxa )(1 dxxaxaa1121Cxaxaa|ln|ln21Cxaxaa|ln21)(1)(121xadxaxadxaa1cosdxxsecxdx2coscosxdxx21(sin)1 sindxx111sin21
19、sin1 sindxxx211 sin11 sinlnln21 sin2cosxxCCxx例例5 5 求求secxdx解解1111(1 sin)(1 sin)2 1 sin2 1 sindxdxxxln sectanxxC例例6 6 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 例例7 7 求求解解5sincos.xxdx5sincos.xxdx5sin(cos)xxdx5sinsinx dx61sin.6xC练习：求下列不定积分练习：求下列不定积分.csc xdx.cossin52 xdxx.
20、12xxedxe.12xxedxe解解112xxdee1 2xxedxe1212xxd ee1211(21)212xxdee12xeC解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 解解 dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdx111cos21cos1cosdxxx Cxxcos1cos1ln21.csc xdx1111(1 cos)(1 cos)2 1 cos2
21、1 cosdxdxxx.)cotln(cscCxx 解解 dxxsin1 xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.)cotln(cscCxx dxxxxxx cotcsccotcsccsc2 )cot(csccotcsc1xxdxxCxx )cotln(cscCxx )cotln(csc解解 xdxcsc dxxxxxxcotcsc)cot(csccsc1()d()d()(0)f axbxf axbaxbaa(1)(2)11()d()d()f xxxf xx (3)1(ln)d(ln)d(ln)fxxfxxx (4
22、)()d()d()xxxxf eexf ee (5)1()d()d()lnxxxxf aaxf aaa 事实上事实上，凑微分就是把中间变量省略，从而简化计算，凑微分就是把中间变量省略，从而简化计算过程，这种方法需要一定的技巧，请同学们熟识下列公式过程，这种方法需要一定的技巧，请同学们熟识下列公式(6)(sin)cos d(sin)d(sin)fxx xfxx (7)(cos)sin d(cos)d(cos)fxx xfxx (8)2(tan)d(tan)d(tan)fxsec x xfxx (9)2(cot)cscd(cot)d(cot)fxx xfxx (10)21(arctan)d(arc
23、tan)d(arctan)1fxxfxxx (11)21(arcsin)d(arcsin)d(arcsin)1fxxfxxx 问题问题?125 dxxx解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令txsin,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）二、第二类换元法二、第二类换元法11:()()0,()()()()(t)C()Cxtttxf x dxftt dtFFx定理 设是单调可导函数，并且其反函数为，例例8 8 求求解解22.ax dx令令sinx
24、atcosdxatdt 2,2t22ax dxcoscosat atdt21 cos22tadttax22ax22cosatdt2(1 cos2)2at dt21(sin2)C22att2(sincos)C2attt222arcsinC22axxaxasinxta例例9 9 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 2,2tCxax )ln(22例例1010 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2,0ttdttadxtans
25、ec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax Caxx )ln(22练习：求下列不定积分练习：求下列不定积分21.1dxx 24.x dx21.91dxx 解解24.x dx令令2sinxt2cosdxtdt 2,2t24x dx2cos2costtdt1 cos242tdtt2x24x24 cos tdt2(1 cos2)t dt12(sin2)C2tt2(sincos)Cttt22arcsin4C22xxxsin2xt 解解21.1dxx 令令tanxt2secdxtdt211dxx 21secsec
26、tdtt tdtsecCtt )tanln(sect1x21x 2,2t2ln(1)xxC解解21.91dxx 令令1sec3xt 2,0t1sec tan3dxttdt2191dxx 1sectan3tanttdtt1sec3tdt1ln(sectan)3ttCt13x291x 21ln 391.3xxC说明说明(1)(1)以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令
27、.sectax 说明说明(2)(2)积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定根据被积函数的情况来定.例例1111 求求dxxx 251（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）解解21xt 令令,122 tx,tdtxdx dxxx 251221ttdtt dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx .1tx 说明说明(3)(3)当分母的次数较高时当分母的次数较高时,可采用可采用倒代换倒代换例例1212 求求dxxx )2(17解解令令tx1,12dt
28、tdx dxxx )2(17 72112ttdtt dttt7621Ct|21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 说明说明(4)(4)当被积函数含有两种或两种以上的根式当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，时，可采用令可采用令 （其中（其中 为各根指数为各根指数k,l,的的最小公倍数最小公倍数）,klxx ntx n例例1313 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(62352261tdtt21611dtt6(arctan)ttC666(arctan).xxC练习：求下列不定积分练习：求下列不定积分.11dxex 4
29、1.1dxx x 3.1xdxx解解.11dxex xet 1令令,12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx解解41.1dxx x 41(1)dxx x 令令tx1,12dttdx 2411111ttdtt（分母的阶较高）（分母的阶较高）341tdtt 44114 1dtt 4411(1)4 1d tt 41ln(1)4tC 411ln(1)4Cx 3.1xdxx解解令令6tx ,65dttdx 31xdxx35261tt dtt8261tdtt821 161tdtt 4422(1)(1)1611t
30、tdttt22422(1)(1)(1)16611tttdtdttt642216(1)61tttdtdtt75366266arctan75ttttt C67511666266266arctan75xxxxxC基基本本积积分分表表(14)tanlncoslnsec;xdxxCxC(15)cotlnsinlncsc;xdxxCxC(16)secln(sectan);xdxxxC(17)cscln(csccot);xdxxxC2211(18)arctan;xdxCaxaa2211(20)ln;2axdxCaxaax221(21)arcsin;xdxCaax22221(22)ln().dxxxaCxa2
31、211(19)ln;2xadxCxaaxa三、小结三、小结两类积分换元法：两类积分换元法：（一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)4-4 4-4 分部积分法分部积分法分部积分法分部积分法 前面我们在复合函数微分法的基前面我们在复合函数微分法的基础上，得到了换元积分法。换元积分础上，得到了换元积分法。换元积分法是积分的一种基本方法。本节我们法是积分的一种基本方法。本节我们将介绍另一种基本积分方法将介绍另一种基本积分方法分部分部积分法，它是两个函数乘积的微分法积分法，它是两个函数乘积的微分法则的逆转。则的逆转。问题问题?dx
32、xex解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.设设函函数数)(xuu 和和)(xvv 具具有有连连续续导导数数,vuvuuv ,vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部积分公式分部积分公式一、基本内容一、基本内容()uv dxuv dxu vdx注：注：分部积分公式的特点：等式两边分部积分公式的特点：等式两边 u,v 互换位置互换位置分部积分公式的作用：分部积分公式的作用：udv vdu容易求得容易求得利用分部积分公式利用分部积分公式化难为易化难为易例例1 1 求积分求积分.cos xdxx解解sin,duxdx xdxdv xdxxcos
33、xdxxxxsin2cos222显然，显然，选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.vu,求得，求得，当左边的积分当左边的积分 不易不易而右边的积分而右边的积分212vx令令,cos xu 212cos()xdx22coscos22xxxdx解解 令令,xu cosxdxdv xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx 分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v 一般来说，一般来说，u,v 选取的原则是：选取的原则是：（1）积分容易者选为）积分容易者选为v（2）求导简单者选为）求导简单者选为usinvx,dudx用来
34、求用来求v用来求用来求du.cos xdxx例例2 2 求积分求积分.xxe dx解解,ux,xe dxdvxxe dxxxxee dx.xxxeeC总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函弦函数或幂函数和指数函数的乘积数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设就考虑设幂函数为幂函数为u=xxde,dudxxve练习：求下列不定积分练习：求下列不定积分sin d.xx x.2 dxexx.dsinxxx dsin duxvx x令，解解sin d d(cos)xx xxx.sincosCxxxxxxxd coscosddux则，cosvx，.2 dxexx解解 dxexx2
35、 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）,xu dvdxex 2 de dxuxvx令，d2 dux x则，2xx de22xxx exdeexv 例例3 3 求积分求积分.arctan xdxx解解 令令,arctan xu xdxdv xdxxarctandxxxxx222112arctan2 2211arctan(1)221xxdxx.)arctan(21arctan22Cxxxx 211 xdudx22xv 22arctanxxd 若被积函数是幂函数和对数函数或若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数幂
36、函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为函数或反三角函数为 .u例例4 4 求积分求积分.ln3 xdxx解解,ln xu 3,x dxdv xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx 总结总结目的、宗旨只有一个：容易积分目的、宗旨只有一个：容易积分44xv 1d,duxx44lnxxdln.xdx解解ln xdxlnln.xxxdxln.xxxC1lnxxxdxx例例5 5 求积分求积分例例6 6 求积分求积分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(lnsin(ln)sin(ln)xxxdx dxxxxxx1)cos(ln)sin(lnsin
37、(ln)cos(ln)cos(ln)xxxxxdxsin(ln)cos(ln)sin(ln)xxxx dx dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 注注：本题也可令：本题也可令xtln 分部积分过程中出现循环，实质上是得到待求积分分部积分过程中出现循环，实质上是得到待求积分的代数方程，移项即可求得所求积分。注意最后一的代数方程，移项即可求得所求积分。注意最后一定要加上积分常数定要加上积分常数C练习：求下列不定积分练习：求下列不定积分arctan.xdx2.xxe dx.sin xdxexarctan.xdx解解arctan xdxarctanarctan.xxxdx21arctan1xxxdxx2211arctan2 1xxdxx2211arctan(1)2 1xxdxx21arctanln(1)C2xxx2.xxe dx解解dxxex2221122eexxxdx221124ee.xxxC2 de dxuxvx令，212ddexuxv则，212(e)xxd.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 祝您成功！祝您成功！
