1、第四章 中值定理与导数的应用 1第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用 4.1 中值定理中值定理 4.2 洛必达法则洛必达法则 4.3 函数的增减性函数的增减性 4.4 函数的极值函数的极值 4.5 最大值与最小值，极值的应用问题最大值与最小值，极值的应用问题 4.6 曲线的凹向与拐点曲线的凹向与拐点 4.7 函数图形的作法函数图形的作法 4.8 边际分析与弹性分析介绍边际分析与弹性分析介绍 三个定理三个定理 极限计算极限计算 函数性态函数性态的研究的研究经济应用经济应用 第四章第1节24.1 中值定理中值定理一、罗尔中值定理一、罗尔中值定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值
2、定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理第四章第1节3则则 在闭区间在闭区间a,b上连续上连续;在开区间在开区间(a,b)上可导上可导;f(a)=f(b).若若 f(x)满足：满足：(,),()0.a bf一、罗尔中值定理一、罗尔中值定理AB1 xyOab2 1.定理的条件：三个缺一不可定理的条件：三个缺一不可.2.定理的应用：导函数零点定理的应用：导函数零点(根根)的存在问题的存在问题.Oxy11Oxy11-1Oxy11例例1例例2第四章第1节4 验证验证 f(x)x2 2x 3 在在-1,3 上满足罗尔定理条件，上满足罗尔定理条件，找出满足找出满足 f ()=0 的的 .注意到注意到 f(x)
3、(x 1)(x 3),在在-1,3上显然连续上显然连续;f (x)2x 2 2(x 1)在在(-1,3)上显然可导；上显然可导；f(1)f(3)0 存在存在 1(1,3)使使 f (1)0 故故 f(x)满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件 其中其中a 1 b 3 返回返回第四章第1节5 不求导不求导 判断函数判断函数 f(x)(x 1)(x 2)(x 3)的导数有几个的导数有几个 实根、及其所在范围实根、及其所在范围 而而 f (x)是二次多项式是二次多项式 仅有上述两个根仅有上述两个根 f(1)f(2)f(3)0 f(x)在在 1,2 2,3 上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件 f(x)
4、在在 R 上连续、可导上连续、可导 且且11(1,2),()0,f22(2,3),()0.f根据罗尔定理，有：根据罗尔定理，有：第四章第1节6则则 使得使得()()().f bf afba 在闭区间在闭区间a,b上连续上连续;在开区间在开区间(a,b)上可导上可导.若若 f(x)满足：满足：(,),a b 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理abxoy)(xfy AB1 2 2.拉格朗日公式拉格朗日公式 的等价形式：的等价形式：()()()(),01;f bf afababa()()(),01.f ahf afah h 拉格朗日公式拉格朗日公式1.拉氏定理是罗尔定理的推广拉氏定理是罗尔定理
5、的推广.()()()(),;f bf afbaab 第四章第1节7 )(11arctanarctan12212xxxx(x1,x2)证明不等式证明不等式 arctan x2 arctan x1 x2 x1(x1 x2)设设 f(x)arctan x 因为1112 所以 arctan x2 arctan x1 x2 x1 在在 x1,x2 上应用拉格朗日定理，有上应用拉格朗日定理，有 第四章第1节8.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当),1ln()(xxf 设设)0(),0)()0()(xxffxf 即即x 0又又,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即则则 f 在在0,x上满足
6、上满足的条件的条件.证明证明函数不等式函数不等式的惯用手段！的惯用手段！1ln(1)ln(10),1xx 第四章第1节9()(),fxg x xI 设设 f 和和 g 在区间在区间 I上可导，且上可导，且 ,则则()()f xg xc.在区间在区间 I 上上 f(x)和和 g(x)只差一个常数，即只差一个常数，即是是 I 上的常值函数上的常值函数.设设 f(x)在区间在区间 I上可导，且上可导，且 ,则则 f(x)()0,fxxI 2arcsinarccos(11).xxx 证明：证明：证明证明函数恒等式函数恒等式的惯用手段！的惯用手段！第四章第1节10 在闭区间在闭区间a,b上连续上连续;在
7、开区间在开区间(a,b)上可导上可导;若函数若函数 f 和和 g满足：满足：g(x)0,x(a,b).()()().()()()ff bf agg bg a 则则 使使(,),a b 三、柯西中值定理三、柯西中值定理)(,)(fgPOuv)(,)(bfbgB(),()A gaf a 几何意义：几何意义：考虑参变量方程考虑参变量方程v=f(x)u=g(x)设函数设函数 f 在区间在区间a,b(a0)上连续上连续,在在(a,b)上可导，上可导，.ln)()()(abfafbf 则存在则存在(a,b),使使第四章第1节11拉格朗日拉格朗日中值定理中值定理柯柯 西西中值定理中值定理()g xx)()(
8、bfaf f ()=0.()()().f bf afba()()().()()()ff bf agg bg a 罗尔罗尔定理定理证明存在证明存在(a,b),使得使得H(a,b,)=0第四章第1节12与题设矛盾！与题设矛盾！设设 p(x)是一个多项式是一个多项式,且方程且方程 p(x)=0 没有实根，没有实根，则方程则方程 p(x)=0 至多有一个实根，且这个至多有一个实根，且这个根的重数为根的重数为1.1)设设 p(x)有两个实根有两个实根 x1,x2，且，且 x1 0 时时,故故 f 在在 0,+)单调递增单调递增；()0,fx 当当 x 0 时时,在在(-,0 单调递减单调递减；e1,0.
9、xxx即即()(0)0.f xf 当当x0时时,有有则则 f(0)=0.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当()1.xfxe 注意到注意到 及及 f(0)=0.若函数若函数 f 在某在某U(x0)有定义，且有定义，且对一切对一切 xUo(x0)有有0()()f xf x 则称则称 f 在在 x0 处取得处取得极大极大 值值,称点称点 x0为为极大极大 值点值点.0()(),或或 f xf x(小小)(小小)1x2x3xOxab4xy()yf x 5x6xx3,x5x1,x2,x4 vs.1.局部局部vs.整体，整体，2.极值不在端点，最值可以极值不在端点，最值可以3.区间内的最值点是
10、极值点区间内的最值点是极值点多值多值vs.唯一唯一极大值点：极大值点：极小值点：极小值点：非极值点：非极值点：x64.4 函数的极值函数的极值22设设 f 在在U(x0)有定义有定义,且在且在 x0 可导可导.若点若点 x0是是 f 的极值点，则必有的极值点，则必有.0)(0 xf驻点驻点 vs.1.可导的极值点是驻点可导的极值点是驻点,”可导可导”条件不可去，条件不可去，2.驻点不一定是极值点，驻点不一定是极值点，例例:f(x)=|x|;例：例：f(x)=x3 .求不可导点、驻点求不可导点、驻点检查上述点左右的取值，根据极值定义做判断检查上述点左右的取值，根据极值定义做判断23设设 f(x)
11、在点在点 x0 连续，在某连续，在某 上可导，上可导，0(,)oUx 0(,)oxUx (1)若当若当 时时 ,当当 时时 ，0(,)oxUx ()0fx ()0fx 则则 x0 是是 f 的极小值点；的极小值点；0(,)oxUx (2)若当若当 时时 ,当当 时时 ，0(,)oxUx ()0fx ()0fx 则则 x0 是是 f 的极大值点；的极大值点；0(,)oUx(3)若若 f 在在 内不变号内不变号，则则 x0 不是不是 f 的极值点的极值点.24 令令f (x)0 得驻点得驻点 x 1 不可导点为不可导点为 x 0 列表列表 f(x)f (x)无无0 0极大值极大值x(0)01(1
12、)(0 1)极小值21233()2f xxx 求函数求函数 的极值点与极值的极值点与极值.,0时时当当 x13()1fxx 即即0(0)0;xf是是极极大大值值点点，是是极极大大值值1x 是极小值点,是极小值点,1(1)2f 是极小值是极小值.25(1)若若0()0,fx 则则 x0 是是 f 的极小值点；的极小值点；00()0,()0.f xfx 设设(2)若若0()0,fx 则则 x0 是是 f 的极大值点；的极大值点；则则 若若 常无法判断常无法判断,00()()0,fxfx 233()2f xxx 判断判断 x=1 是否函数是否函数 的极值点的极值点.例如，例如，y=x3 或或 x4，
13、其中，其中 x0=0.26区间端点区间端点（区间内）（区间内）极值点极值点不可导点不可导点驻点驻点最值点最值点 4.5 最大值与最小值，极值的应用问题最大值与最小值，极值的应用问题若若 f 在在a,b上连续上连续,则则 f 在在a,b上有最大上有最大(小小)值值.如何找出最大如何找出最大(小小)值点值点?列出列出区间端点区间端点、区间内不可导点区间内不可导点及及驻点驻点，求对应点函数值；，求对应点函数值；以上函数值之最大以上函数值之最大(小小)者，即者，即 f 在在a,b上的最大上的最大(小小)值。值。27233()2f xxx 求求 在在 上的最大值与最小值上的最大值与最小值.27 1,8
14、函数的驻点函数的驻点 x 1,不可导点为不可导点为 x 0,5127(0)0,(1),(1),()0,228ffff 所以所以 f 在在 处取得最大值处取得最大值 0 ，270,8x 52 1x 在在 处取得最小值处取得最小值 .28问剪去小正方形的边长为何值时，可使盒子的容积最大？问剪去小正方形的边长为何值时，可使盒子的容积最大？剪去正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒子，剪去正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒子，axx设正方形的边长为设正方形的边长为 a,每个小正方形的边长为每个小正方形的边长为 x.2()(2),V xx ax ()26,Vxaxax 而而则盒子的容积为则盒
15、子的容积为 0,.2ax,046 aaV又又6ax 所以所以 为为V(x)在区间内唯一驻点在区间内唯一驻点,6ax 所以所以 为唯一的极大值点，为唯一的极大值点，此时盒子容积最大此时盒子容积最大.29 4.6 曲线的凹向与拐点曲线的凹向与拐点若函数若函数 f 在区间在区间 I 上满足上满足:(1)曲线曲线 总总在在 曲线上点的曲线上点的切线切线 的的上方上方，则称，则称 f 在在 I 上上 上凹上凹；(2)曲线曲线 总总在在 曲线上点的曲线上点的切线切线 的的下方下方，则称，则称 f 在在 I 上上 下凹下凹.30若函数若函数 f 在区间在区间 I 上二阶可导，上二阶可导，(1)若若 则则 f
16、 在在 I 上上 上凹上凹；(2)若若 则则 f 在在 I 上上 下凹下凹.,()0,xI fx ,()0,xI fx 曲线上凹、下凹的分界点称作曲线上凹、下凹的分界点称作 拐点拐点.1.二阶导为零、或二阶二阶导为零、或二阶 不可导的点不可导的点可能可能是拐点是拐点.312.二阶导为零不一定是拐二阶导为零不一定是拐 点点，例：例：y=x4,x0=0.求曲线求曲线 y x4 2x3 1 的凹向与拐点的凹向与拐点 y 4x3 6x2 y 12x2 12x 12x(x 1)得得 x1 0 x2 1 令令 y 0 列表列表 所以所以 曲线在曲线在(0)(1 )上凹上凹、在在(0 1)下凹下凹，y yx
17、(-,0)0(0,1)1(1,+)0 0 1(拐点拐点)0(拐点拐点)(0 1)和和(1 0)是拐点是拐点 32 解 32)2(35xy 31)2(910 xy 当当 x 2 时时 y 0 y 不存在不存在 列表列表 因此因此 曲线在曲线在(,2)下凹下凹 在在(2,)上凹上凹，拐点是拐点是(2,0)y y x(-,2)2(2,+)不存在不存在 0(拐点拐点)求曲线求曲线 y (x 2)5/3 的凹向与拐点的凹向与拐点 33一、曲线的渐近线一、曲线的渐近线 4.7 函数图形的作法函数图形的作法如果曲线如果曲线 y=f(x)上的点沿着曲线趋于无穷远时上的点沿着曲线趋于无穷远时 该该点与直线点与直
18、线 L 的距离趋于的距离趋于0 则称则称 L 为曲线的为曲线的渐近线渐近线.1)若若 或或称称 y b 为为水平渐近线水平渐近线 lim()lim(),xxf xbf xb 称称 x c 为为铅垂渐近线铅垂渐近线 2)若若 或或lim()lim(),xcxcf xf x 称称 y=kx+b 为为斜渐近线斜渐近线，3)若若 lim()()0,xf xkxb 其中其中，()lim,lim().xxf xkbf xkxx 34水平渐近线是斜渐近线的特例水平渐近线是斜渐近线的特例.因为因为 1lim21xxx 所以所以 x 1 是曲线的铅垂渐近线是曲线的铅垂渐近线 11lim)(limxxxxfaxx
19、 因为因为 11lim)(lim2xxxaxxfbxx所以所以 y x 1 是曲线的斜渐近线是曲线的斜渐近线 1lim21xxx 11lim)(limxxxxfaxx 11lim)(lim2xxxaxxfbxx 求曲线求曲线 的渐近线的渐近线 21xyx 35所以曲线没有水平渐近线所以曲线没有水平渐近线 2lim,1xxx 1.求函数的定义域；求函数的定义域；3.求函数的某些特殊点，比如：求函数的某些特殊点，比如：4.确定函数的确定函数的单调区间、极值点单调区间、极值点,凹向区间、拐点凹向区间、拐点；5.考察考察渐近线渐近线；6.综合上述结果综合上述结果,列表并作图列表并作图.与坐标轴的交点、
20、不连续点、不可导点；与坐标轴的交点、不连续点、不可导点；二、函数图形的作法二、函数图形的作法2.考察函数的奇偶性、周期性；考察函数的奇偶性、周期性；36.2)1(4)(2的的图图形形作作函函数数 xxxff 的定义域为的定义域为 x0，且知且知 f 无不可导点无不可导点.48(3)()xfxx 34(2)()xfxx ()0,f x 令令得得13,x 故函数图象过点故函数图象过点 与与(13,0)(13,0).令令 =0,得驻点得驻点 x=-2，令令 =0,得特殊点得特殊点 x=-3.f 是非奇、非偶、非周期的连续函数是非奇、非偶、非周期的连续函数.上凹上凹/减减上凹上凹/增增极小值点极小值点
21、上凹上凹/减减拐点拐点下凹下凹/减减+0-+0-f(0,+)(-2,0)-2(-3,-2)-3(-,-3)xf f 列表确定函数单调区间、凹向及极值点和拐点：列表确定函数单调区间、凹向及极值点和拐点：37f 的图象过点：的图象过点：(13,0),(13,0),26(3,),(2,3).9 .2)1(4)(2的的图图形形作作函函数数 xxxf由由 及及得斜渐近线得斜渐近线 y=-2；()lim0 xf xx lim()02,xf xx 由由 得垂直渐近线得垂直渐近线 x=0.0lim()xf x xyo2 3 2111 2 3 6ABC),2,1(A),6,1(B).1,2(C补充函数图象上的点
22、：补充函数图象上的点：根据以上结果绘制函数图象根据以上结果绘制函数图象(左图左图).上凹减上凹减上凹增上凹增上凹减上凹减下凹减下凹减f(0,+)(-2,0)(-3,-2)(-,-3)x382)1(4)(2 xxxfxyo2 3 2111 2 3 6ABC39眼睛眼睛1.8 m,问观察者在距墙多远处看图才最清楚问观察者在距墙多远处看图才最清楚(视角视角 最大最大)?例例.一张一张 1.4 m 高的图片挂在墙上高的图片挂在墙上,它的底边高于观察者的它的底边高于观察者的x1.41.8解解:设观察者与墙的距离为设观察者与墙的距离为 x m,则则xxx1.41.81.8arctanarctan,(0,)
23、xxxxx2222222223.21.81.4(5.76)3.21.8(3.2)(1.8)令令0,得驻点得驻点x2.4(0,)根据问题的实际意义根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在观察者最佳站位存在,驻点又唯一驻点又唯一,因此观察者站在距离墙因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚。处看图最清楚。40若函数若函数 f(x)可导，称可导，称 f(x)为为边际函数边际函数.C(Q)边际成本边际成本，4.8 边际分析与弹性分析介绍边际分析与弹性分析介绍R(Q)边际收益边际收益.设设 Q 为产量，为产量，C=C(Q),R=R(Q)为成本、为成本、收益函数收益函数在在 x=x0 处，若处，若0d
24、1,xxx C(100)当当 Q=100 时时,再生产一件产品所增加的再生产一件产品所增加的(近似近似)成本成本000d().xxxxyyfx 则则 x 增加增加 1 单位单位 y 近似增加近似增加f(x0)单位单位R(100)当当 Q=100 时时,再生产一件产品所增加的再生产一件产品所增加的(近似近似)利润利润412()100,4QCC Q 已知某商品的成本函数为已知某商品的成本函数为求：求：(1)当当 Q=10 的边际成本；的边际成本；(2)当当Q为多少时，平均成本最小？为多少时，平均成本最小？42设总利润设总利润 L(Q)=R(Q)C(Q)二阶可导，二阶可导，则则 L(Q)取最大值的必
25、要条件：取最大值的必要条件：R(Q)=C(Q);充分条件：充分条件：R(Q)C(Q).已知某产品的价格函数为已知某产品的价格函数为 P=10 Q/5，成本函数为，成本函数为C=50+2Q，求产量为多少时总利润，求产量为多少时总利润 L 最大？最大？43设函数设函数 y=f(x)在在 x0 处可导，令处可导，令 y0=f(x0),00y yx x 称称 为为 f 从从 x0 到到 x0+x 的的 弹性弹性(相对变化率相对变化率)，000limxy yx x 称称 为为 f 在在 x0 处的处的 弹性弹性(相对变化率相对变化率).3.弹性的计算：弹性的计算：.EyxyExy 1.弹性刻画了弹性刻画了y 对对 x 的变化反应的灵敏度的变化反应的灵敏度;2.弹性具有方向性弹性具有方向性“从从 x0 到到 x0+x 的弹性的弹性”;0 xxEyEx=44当当 x 改变改变1%时，时，y 近似改变近似改变EyExayx 求求(1)函数函数 y=3+2x 在点在点 x=3 处的弹性；处的弹性；(2)求幂函数求幂函数 的弹性函数的弹性函数.45不变弹性函数不变弹性函数
