1、第二课时第二课时 数列的性质和递推公式数列的性质和递推公式 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.了解数列递推公式的概念了解数列递推公式的概念; ;知道递推公式是给出数列的一种方法知道递推公式是给出数列的一种方法. . 2.2.能根据数列的递推公式写出数列能根据数列的递推公式写出数列. . 3.3.能根据数列的通项公式研究数列的单调性能根据数列的通项公式研究数列的单调性, ,会求数列中的最大会求数列中的最大( (小小) )项项. . 4.4.了解数列的周期性了解数列的周期性, ,能解决相关的简单问题能解决相关的简单问题. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 1.1.
2、数列的函数性质数列的函数性质 (1)(1)数列可以看成以数列可以看成以 ( (或它的有限子集或它的有限子集 ) )为定义域的为定义域的 函数函数a an n=f(n)=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时当自变量按照从小到大的顺序依次取值时, ,所对应的一列函数值所对应的一列函数值. . 正整数集正整数集N N* * 1,2,n1,2,n (2)(2)在数列在数列aan n 中中, ,若若a an+1 n+1 a an n, ,则 则aan n 是递增数列是递增数列; ;若若a an+1 n+1 a an n, ,则 则aan n 为递减为递减 数列数列; ;若若a an+1 n+1=
3、a =an n, ,则则aan n 为常数列为常数列. . 0,所以所以a an+1 n+1a an n. .故选故选A.A. 1.(1.(数列的单调性数列的单调性) )已知已知a an+1 n+1- -a an n- -3=0, 3=0,则数列则数列aan n 是是( ( ) ) (A)(A)递增数列递增数列 (B)(B)递减数列递减数列 (C)(C)常数列常数列 (D)(D)不能确定不能确定 2.(2.(数列递推公式数列递推公式) )已知数列已知数列aan n 满足满足:a:a1 1= =- - 1 4 ,a,an n=1=1- - 1 1 n a (n1),(n1),则则 a a4 4等
4、于等于( ( ) ) (A)(A) 4 5 (B)(B) 1 4 (C)(C)- - 1 4 (D)(D) 1 5 C C 解析解析: :a a2 2=1=1- - 1 1 a =1+4=5,a=1+4=5,a3 3=1=1- - 2 1 a =1=1- - 1 5 = = 4 5 , , a a4 4=1=1- - 3 1 a =1=1- - 5 4 = =- - 1 4 . .故选故选 C.C. 3.(3.(由数列的递推公式求通项公式由数列的递推公式求通项公式) )已知已知aan n 中中,a,a1 1=1,=1, 1n n a a = = 1 2 , ,则则 数列数列aan n 的通项公
5、式是的通项公式是( ( ) ) (A)a(A)an n=2n=2n (B)a(B)an n= = 1 2n (C)a(C)an n= =( ( 1 2 ) ) n n- -1 1 (D)a(D)an n= = 2 1 n C C 解析解析: :由已知可知由已知可知,a,a1 1=1,a=1,a2 2= = 1 2 ,a,a3 3= = 2 1 2 ,a,a4 4= = 3 1 2 , , , 可知可知 a an n= = 1 1 2n . .故选故选 C.C. 解析解析: :a a1 1=2,=2,由由 a an+1 n+1= = 1 1 n n a a 得得, , a a2 2= =- -3
6、,a3,a3 3= =- - 1 2 ,a,a4 4= = 1 3 ,a,a5 5=2,=2, 所以数列所以数列aan n 的周期为的周期为 4,4,所以所以 a a2014 2014=a=a4 4503+2503+2=a=a2 2= =- -3.3. 4.(4.(数列的周期性数列的周期性)(2015)(2015 黄冈高二检测黄冈高二检测) )已知数列已知数列aan n 满足满足 a a1 1=2,=2, a an+1 n+1= = 1 1 n n a a (n(nN N * *), ),则则 a a2014 2014= = . . 答案答案: :- -3 3 解析解析: :由题意得由题意得
7、1 1 22 4114, 33 22 4114, 33 kk kk k kkk k kkk 化简得化简得 2 2 110, 10, k k 又因为又因为 k kN N * *, , 所以所以 k=4.k=4. 5.(5.(数列的最大数列的最大( (小小) )项的求法项的求法) )若数列若数列( (n(n+4)n(n+4)（ 2 3 ） n n) )中的最大项是第 中的最大项是第 k k 项项, , 则则 k=k= . . 答案答案: :4 4 课堂探究课堂探究 利用数列的函数性质判断数列的单调性利用数列的函数性质判断数列的单调性 题型一题型一 【例例1 1】 已知函数已知函数f(x)=2f(x
8、)=2x x- -2 2- -x x, ,数列数列aan n 满足满足f(logf(log2 2a an n)=)=- -2n(n2n(nN N* *).). (1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式; ; (2)(2)判断数列判断数列aan n 的增减性的增减性. . 解解: :(1)(1)因为因为 f(x)=2f(x)=2 x x- -2 2- -x x,f(log ,f(log2 2a an n)=)=- -2n,2n, 所以所以 2 log 2 n a - - 2 log 2 n a = =- -2n,2n,即即 a an n- - 1 n a = =- -2n,2n,
9、所以所以 2 n a+2na+2nan n- -1=0,1=0,解得解得 a an n= =- -n n 2 1n . . 因为因为 a an n0,0,所以所以 a an n= = 2 1n - -n,nn,nN N * *. . (2)(2) 1n n a a = = 2 2 111 1 nn nn = = 2 2 1 111 nn nn 0, 所以所以 a an+1 n+1an n恒成立恒成立, ,则则aan n 是递增数列是递增数列; ;若若 a an+1 n+10,所以所以a an+1 n+1a an n, , 所以数列所以数列aan n 是递增数列是递增数列. . 【备用例【备用例
10、 1 1】 已知数列已知数列aan n 的通项公式是的通项公式是 a an n= = 21 n n , ,试判断数列试判断数列aan n 的单调性的单调性. . 解解: :法一法一 因为因为 a an n= = 21 n n , ,所以所以 a an+1 n+1= = 1 211 n n = = 1 23 n n , , 于是于是 a an+1 n+1- -a an n= = 1 23 n n - - 21 n n = = 1 2123 21 23 nnnn nn = = 1 21 23nn , , 因为因为 n nN N * *, ,所以 所以(2n+1)(2n+3)0,(2n+1)(2n+
11、3)0, 因此因此 1 21 23nn 0,0,即即 a an+1 n+1aan n, ,故故aan n 是递增数列是递增数列. . 法二法二 因为因为 a an n= = 21 n n , ,所以所以 a an+1 n+1= = 1 211 n n = = 1 23 n n , , 于是于是 1n n a a = = 1 23 n n 21n n = = 2 2 231 23 nn nn =1+=1+ 2 1 23nn , , 因为因为 n nN N * *, , 所以所以 2 1 23nn 0,0, 因此因此 1+1+ 2 1 23nn 1,1,即即 1n n a a 1,1, 又又 a
12、an n0,0, 所以所以 a an+1 n+1aan n, ,即即aan n 是递增数列是递增数列. . 求数列的最大求数列的最大( (小小) )项项 题型二题型二 【例例2 2】 已知数列已知数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=n=n2 2- -5n+4.5n+4. 求求n n为何值时为何值时,a,an n有最小值有最小值? ?并求出最小值并求出最小值. . 解解: :法一法一 因为因为 a an n=n=n 2 2- -5n+4= 5n+4=（n n- - 5 2 ） 2 2- -9 4 , ,所以对称轴方程为所以对称轴方程为 n=n= 5 2 =2.5.=2.5. 又
13、又 n nN N * *, ,故 故 n=2n=2 或或 3 3 时时,a,an n有最小值有最小值, ,其最小值为其最小值为 a a2 2=a=a3 3=2=2 2 2- -5 5 2+4=2+4=- -2.2. 法二法二 设第设第 n n 项最小项最小, , 由由 1 1 , , nn nn aa aa 得得 2 2 2 2 541514, 541514. nnnn nnnn 解这个不等式组得解这个不等式组得 2 2n n3,3,所以所以 n=2,3,n=2,3,所以所以 a a2 2=a=a3 3且最小且最小, , a a2 2=a=a3 3=2=2 2 2- -5 5 2+4=2+4=
14、- -2.2. 题后反思题后反思 求数列求数列aan n 的最大项或最小项的方法的最大项或最小项的方法. . 一是利用函数增减性的方法一是利用函数增减性的方法: :先判断数列先判断数列aan n 的增减情况的增减情况, ,再求数列再求数列 aan n 的最大项或最小项的最大项或最小项. . 二是利用不等式法二是利用不等式法: :求数列求数列aan n 的最大项可由的最大项可由 1 1 , , nn nn aa aa 来确定来确定 n;n;求求 数列数列aan n 的最小项可由的最小项可由 1 1 , , nn nn aa aa 来确定来确定 n.n. 解解: :假设第假设第 n n 项项 a
15、an n为最大项为最大项, , 则则 1 1 , , nn nn aa aa 即即 1 1 66 21, 77 66 23, 77 nn nn nn nn 解得解得 5, 4, n n 即即 4 4n n5,5, 所以所以 n=4n=4 或或 5,5, 故数列故数列aan n 中中 a a4 4与与 a a5 5均为最大项均为最大项, ,且且 a a4 4=a=a5 5= = 5 4 6 7 . . 即时训练即时训练 2 2 1:1:已知数列已知数列aan n 的通项公式的通项公式 a an n=(n+2)=(n+2) （ 6 7 ） n n, ,试求数列 试求数列aan n 的最大项的最大项
16、. . 解解: :有有. .因为因为 a an+1 n+1- -a an n= =（ 9 10 ） n+1n+1 (n+2)(n+2)- -（ 9 10 ） n n (n+1)(n+1) = =（ 9 10 ） n+1n+1 (n+2)(n+2)- - 10 9 (n+1)(n+1) = =( ( 9 10 ) ) n+n+1 1 8 9 n = = 1 1 1 98 07 109 98 08 109 98 09 109 n n n n n n n n n 时 ， 时 ， 时 ， 所以所以 a a1 1a1010aa1111 , ,故数列故数列aan n 存在最大项存在最大项, ,最大项为最大
17、项为 a a8 8=a=a9 9= = 9 8 9 10 . . 【备用例【备用例 2 2】 已知已知 a an n= = 91 10 n n n (n(nN N * *), ),试问数列试问数列aan n 中有没有最大项中有没有最大项? ? 如果有如果有, ,求出这个最大项求出这个最大项; ;如果没有如果没有, ,说明理由说明理由. . 由数列的递推公式求其通项公式由数列的递推公式求其通项公式 题型三题型三 【教师备用教师备用】 数列的通项公式与递推公式有什么区别数列的通项公式与递推公式有什么区别? ? 提示提示: :通项公式直接反映通项公式直接反映a an n和和n n之间的关系之间的关系
18、, ,即即a an n是是n n的函数的函数, ,知道任意一个具知道任意一个具 体的体的n n值值, ,通过通项公式就可以求出该项的值通过通项公式就可以求出该项的值a an n; ;而递推公式则是间接反映数而递推公式则是间接反映数 列的式子列的式子, ,它是数列任意两个它是数列任意两个( (或多个或多个) )相邻项之间的推导关系相邻项之间的推导关系, ,不能由不能由n n直接直接 得出得出a an n. . 解解: :(1)(1)因为因为 a an+1 n+1- -a an n= = 1 1n n , ,所以所以 a a2 2- -a a1 1= = 1 12 ; ; a a3 3- -a a
19、2 2= = 1 23 ;a;a4 4- -a a3 3= = 1 34 ; ; a an n- -a an n- -1 1= = 1 1nn ; ; 以上各式累加得以上各式累加得, , a an n- -a a1 1= = 1 12 + + 1 23 + + + 1 1nn =1=1- - 1 2 + + 1 2 - - 1 3 + + + 1 1n - - 1 n =1=1- - 1 n . . 所以所以 a an n+1=1+1=1- - 1 n , ,所以所以 a an n= =- - 1 n . . 【例【例3 3】 (1) (1)已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=
20、=- -1,a1,an+1 n+1=a=an n+ + 1 1n n ,n,nN N * *, ,求通项公式 求通项公式a an n. . (2)(2)设数列设数列aan n 中中,a,a1 1=1,a=1,an n= =( (1 1- - 1 n ) )a an n- -1 1(n(n2),2),求通项公式求通项公式 a an n. . (2)(2)因为因为 a a1 1=1,a=1,an n= =( (1 1- - 1 n ) )a an n- -1 1(n(n2),2), 所以所以 1 n n a a = = 1n n (n(n2),2), a an n= = 1 n n a a 1 2
21、 n n a a 2 3 n n a a 3 2 a a 2 1 a a a a1 1 = = 1n n 2 1 n n 3 2 n n 2 3 1 2 1=1= 1 n . . 又因为又因为 n=1n=1 时时,a,a1 1=1,=1,符合上式符合上式, ,所以所以 a an n= = 1 n . . 题后反思题后反思 由数列的递推公式求通项公式的常用方法由数列的递推公式求通项公式的常用方法: : (1)(1)累加法累加法: :当当 a an n=a=an n- -1 1+f(n)+f(n)时时, ,常用常用 a an n=(a=(an n- -a an n- -1 1)+(a)+(an n
22、- -1 1- -a an n- -2 2)+)+ +(a+(a2 2- -a a1 1)+a)+a1 1求通项求通项. . (2)(2)累乘法累乘法: :当当 1 n n a a =g(n)=g(n)时时, ,常用常用 a an n= = 1 n n a a 1 2 n n a a 2 1 a a a a1 1求通项求通项. . 即时训练即时训练 3 3 1:(1)1:(1)已知数列已知数列aan n,a,a1 1=2,a=2,an n=2a=2an n- -1 1(n(n2),2),求数列的通项公式求数列的通项公式 a an n; ; (2)(2)在数列在数列aan n 中中,a,a1 1
23、=2,a=2,an+1 n+1=a=an n+ln+ln（1+1+ 1 n ）, ,求通项公式求通项公式 a an n. . 解解: :(1)(1)因为因为 a a1 1=2,a=2,an n=2a=2an n- -1 1, , 所以所以 1 n n a a =2(n=2(n2),2), 所以所以 a an n= = 1 n n a a 1 2 n n a a 3 2 a a 2 1 a a a a1 1= = 2 22222 n 个 =2=2 n n(n (n2).2). 当当 n=1n=1 时时,a,a1 1=2,=2,符合上式符合上式, ,所以所以 a an n=2=2 n n. . (
24、2)(2)法一法一 分别令分别令 n=1,2,n=1,2,n,n- -1,1,有有 a a2 2=a=a1 1+ln 2,+ln 2, a a3 3=a=a2 2+ln+ln（1+1+ 1 2 ）, , a an n=a=an n- -1 1+ln+ln（1+1+ 1 1n ）. . 以上各式相加得以上各式相加得 a an n=a=a1 1+ln 2+ln+ln 2+ln 3 2 + +ln+ln 1 n n =2+ln n.=2+ln n. 法二法二 由题意可知由题意可知 a an+1 n+1=a=an n+ln+ln 1n n , , 即即 a an+1 n+1- -a an n=ln(n
25、+1)=ln(n+1)- -ln n,ln n, 于是于是 a an n=(a=(an n- -a an n- -1 1)+(a)+(an n- -1 1- -a an n- -2 2)+)+(a+(a2 2- -a a1 1)+a)+a1 1 =ln n=ln n- -ln(nln(n- -1)+ln(n1)+ln(n- -1)1)- -ln(nln(n- -2)+2)+ln 2+ln 2- -ln 1+2=2+ln n.ln 1+2=2+ln n. 【思维激活】【思维激活】 (1) (1)数列数列aan n 中中,a,a1 1=1,a=1,an n=a=an n- -1 1+ + 1 1n
26、 n (n(n2),2),求其通项公式求其通项公式; ; (2)(2)数列数列aan n 中中,a,a1 1=1,a=1,an n= = 1n n a an n- -1 1(n(n2),2),求其通项公式求其通项公式. . 解解: :(1)a(1)a2 2- -a a1 1=1=1- - 1 2 ,a,a3 3- -a a2 2= = 1 2 - - 1 3 ,a,a4 4- -a a3 3= = 1 3 - - 1 4 , , a an n- -a an n- -1 1= = 1 1n - - 1 n , , 以上各式相加以上各式相加, ,得得 a an n- -a a1 1=1=1- -
27、1 n = = 1n n . .因为因为 a a1 1=1,=1,所以所以 a an n=1+=1+ 1n n = = 21n n . . 又当又当 n=1n=1 时时,a,a1 1= = 21 1 =1=1 成立成立, ,所以所以 a an n= = 21n n (n(nN N * *). ). (2)(2) 2 1 a a = = 3 2 , , 3 2 a a = = 4 3 , , 4 3 a a = = 5 4 , , , 1 n n a a = = 1n n , , 以上各式相乘以上各式相乘, ,得得 2 1 a a 3 2 a a 4 3 a a 1 n n a a = = 3 2 4 3 5 4 1n n , , 所以所以 1 n a a = = 1 2 n . .又又 a a1 1=1,=1,所以所以 a an n= = 1 2 n . . 因为因为 a a1 1=1=1 也适合上式也适合上式, , 所以数列所以数列aan n 的通项公式是的通项公式是 a an n= = 1 2 n . . 点击进入课时作业点击进入课时作业 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
