1、第二课时第二课时 正、余弦定理在三角形中的应用正、余弦定理在三角形中的应用 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.掌握三角形的面积公式掌握三角形的面积公式, ,会用公式计算三角形面积会用公式计算三角形面积. . 2.2.会用正、余弦定理解决三角形中一些恒等式的证明问题会用正、余弦定理解决三角形中一些恒等式的证明问题. . 3.3.会用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题会用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 三角形常用面积公式三角形常用面积公式 (1)S=(1)S= 1 2 a ah ha a(h(ha a表示表示 a a
2、 边上的高边上的高);); (2)S=(2)S= 1 2 absin C=absin C= 1 2 acsiacsin B=n B= 1 sin 2 bcA; ; (3)S=(3)S= 1 2 r(a+b+c)(rr(a+b+c)(r 为三角形内切圆半径为三角形内切圆半径).). 自我检测自我检测 B B 1.(1.(三角形面积的计算三角形面积的计算) )在在ABCABC 中中,A=60,A=60,AB=1,AC=2,AB=1,AC=2,则则 S S ABCABC的值为的值为 ( ( ) ) (A)(A) 1 2 (B)(B) 3 2 (C)(C)3 (D)2(D)23 解析解析: :S S
3、ABCABC= = 1 2 ABABACsin A=sin 60ACsin A=sin 60= = 3 2 . .故选故选 B.B. A A 2.(2.(平面图形中线段长度的计算平面图形中线段长度的计算) )在在ABCABC 中中, ,设设BC= =a a, , AC= =b b, ,且且 | |a a|=2,|=2,|b b|=|=3, ,a ab b= =- -3, ,则则 ABAB 的长为的长为( ( ) ) (A)(A)72 3 (B)(B)72 3 (C)(C)73 (D)7(D)7- -2 23 解析解析: :a ab b=|=|a a|b b|cos C=2|cos C=23co
4、s C=cos C=- -3, ,所以所以 cos C=cos C=- - 1 2 ,C=120,C=120, , ABAB 2 2= =a a2 2+ +b b2 2- -2| 2|a a|b b|cos C=4+3|cos C=4+3- -4 43( (- - 1 2 ) )=7+2=7+23, , 所以所以 AB=AB=72 3. .故选故选 A.A. 3.(3.(三角形中角度的计算三角形中角度的计算) )如图所示如图所示, ,在地面上有一旗杆在地面上有一旗杆OP,OP,测得它的高度测得它的高度 10 m,10 m,在地面上取一基线在地面上取一基线AB,AB=20 m,AB,AB=20
5、m,在在A A处测得处测得P P点的仰角点的仰角OAP=30OAP=30, , 在在B B处测得处测得P P点的仰角点的仰角OBP=45OBP=45, ,则则AOB=AOB= . . 解析解析: :在在 RtRtPAOPAO 中中,AO=,AO= tan30 PO =10=103(m),(m),在在 RtRtPBOPBO 中中,BO=,BO= tan45 PO =10(m),=10(m), 在在ABOABO 中中, ,由余弦定理得由余弦定理得,cos,cosAOB=AOB= 222 2 AOBOAB AO BO = = 300100400 200 3 =0,=0, 则则AOB=AOB= 2 .
6、 . 答案答案: : 2 【教师备用教师备用】 1.1.已知三角形已知三角形ABCABC的三边长的三边长a,b,c,a,b,c,怎样计算该三角形的面积怎样计算该三角形的面积? ? 课堂探究课堂探究 三角形面积的计算三角形面积的计算 题型一题型一 【提示】【提示】可以用余弦定理计算可以用余弦定理计算 cos C,cos C,再得出再得出 sin C,sin C,利用利用 S=S= 1 2 absin Cabsin C 可求可求. . 【提示】【提示】 除了正弦定理、 余弦定理和三角形内角和定理外除了正弦定理、 余弦定理和三角形内角和定理外, ,还常用到的结还常用到的结 论有论有: : (1)A+
7、B=(1)A+B=- -C,C, 2 AB = = 2 - - 2 C . . 2.2.解决与三角形有关的问题解决与三角形有关的问题, ,常用到哪些定理及常见结论常用到哪些定理及常见结论? ? (2)(2)在三角形中大边对大角在三角形中大边对大角, ,反之亦然反之亦然. . (3)(3)任意两边之和大于第三边任意两边之和大于第三边, ,任意两边之差小于第三边任意两边之差小于第三边. . (4)(4)三角形三角形内的诱导公式内的诱导公式 sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=- -cos C,cos C,tan(A+B)=tan(A+B)
8、=- -tan Ctan C( (C C 2 ) ), , sinsin 2 AB =cos =cos 2 C ,cos ,cos 2 AB =sin =sin 2 C . . 解解: :(1)(1)因为因为3a=2csin A,a=2csin A,所以所以 sin a A = = 2 3 c . . 由正弦定理知由正弦定理知 sin a A = = sin c C , , 所以所以 sin c C = = 2 3 c , ,所以所以 sin C=sin C= 3 2 . . 因为因为ABCABC 是锐角三角形是锐角三角形, ,所以所以 C=C= 3 . . 【例【例 1 1】 在锐角在锐角A
9、BCABC 中中,a,b,c,a,b,c 分别为角分别为角 A,B,CA,B,C 所对的边所对的边, ,且且3a=2csin A.a=2csin A. (1)(1)确定角确定角 C C 的大小的大小; ; (2)(2)若若 c=c=7, ,且且ABCABC 的面积为的面积为 3 3 2 , ,求求 a+ba+b 的值的值. . (2)(2)因为因为 c=c=7,C=,C= 3 , , 由面积公式得由面积公式得: : 1 2 absin absin 3 = = 3 3 2 , , 即即 ab=6.ab=6. 由余弦定理得由余弦定理得 a a 2 2+b +b 2 2- -2abcos 2abco
10、s 3 =7,=7, 所以所以 a a 2 2+b +b 2 2- -ab=7, ab=7, 即即(a+b)(a+b) 2 2- -3ab=7, 3ab=7, 所以所以(a+b)(a+b) 2 2=25, =25, 所以所以 a+b=5.a+b=5. 题后反思题后反思 (1)(1)本题采用了整体代换的思想本题采用了整体代换的思想, ,把把a+b,aba+b,ab作为整体作为整体, ,求解过程求解过程 既方便又灵活既方便又灵活. . (2)(2)三角形面积公式有多种形式三角形面积公式有多种形式, ,根据题中的条件选择最合适的面积公式根据题中的条件选择最合适的面积公式. .在解在解 三角形中通常选
11、用三角形中通常选用 S=S= 1 2 absin C=absin C= 1 2 bcsin A=bcsin A= 1 2 acsin B,acsin B,这个公式中含有正弦这个公式中含有正弦 值值, ,可以和正弦定理建立关系可以和正弦定理建立关系, ,又由正弦值还可求出余弦值又由正弦值还可求出余弦值, ,这就可以与余弦定这就可以与余弦定 理建立关系理建立关系, ,另外面积公式中有两边的乘积另外面积公式中有两边的乘积, ,在余弦定理在余弦定理中也有中也有, ,所以面积公所以面积公 式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换, ,关键是根据题中的条件选择正确关键是
12、根据题中的条件选择正确 的变换方向的变换方向. . 解解: :(1)(1)因为因为3a=2csin A,a=2csin A, 所以所以 sin a A = = 2 3 c , ,所以所以 sin c C = = 2 3 c , , 从而从而 sin C=sin C= 3 2 . . 所以所以 C=C= 3 或或 2 3 . . 即时训练即时训练 1 1 1:1:在本题中在本题中, ,把“锐角”去掉把“锐角”去掉, ,其他条件不变其他条件不变. . (1)(1)确定角确定角 C C 的大小的大小; ; (2)(2)若若 c=c=7, ,ABCABC 面积为面积为 3 3 2 , ,求求 a+ba
13、+b 的值的值. . (2)(2)当当 C=C= 3 时时, ,由面积公式知由面积公式知 1 2 absin absin 3 = = 3 3 2 , , 即即 ab=6,ab=6,又由余弦定理得又由余弦定理得, ,a a 2 2+b +b 2 2- -2abcos 2abcos 3 =7,=7, 所以所以 a a 2 2+b +b 2 2- -ab=7. ab=7. 即即(a+b)(a+b) 2 2- -3ab=7, 3ab=7,所以所以(a+b)(a+b) 2 2=25. =25. 所以所以 a+b=5.a+b=5. 当当 C=C= 2 3 时时, ,由面积公式得由面积公式得 1 2 abs
14、in absin 2 3 = = 3 3 2 , ,即即 ab=6.ab=6. 又由余弦定理得又由余弦定理得 a a 2 2+b +b 2 2- -2abcos 2abcos 2 3 =7,=7,所以所以 a a 2 2+b +b 2 2+ab=7. +ab=7. 即即(a+b)(a+b) 2 2- -ab=7, ab=7,所以所以(a+b)(a+b) 2 2=13, =13,所以所以 a+b=a+b=13. . 解解: :由三角形面积公式由三角形面积公式, ,得得 1 2 3 31 1sin A=sin A=2, ,故故 sin A=sin A= 2 2 3 . . 因为因为 sinsin
15、2 2A+cos A+cos 2 2A=1, A=1,所以所以 cos A=cos A= 2 1 sin A= = 8 1 9 = = 1 3 . . 当当 cos A=cos A= 1 3 时时, ,由余弦定理得由余弦定理得 a a 2 2=b =b 2 2+c +c 2 2- -2bccos A=3 2bccos A=3 2 2+1 +1 2 2- -2 2 3 31 1 1 3 =8,=8, 所以所以 a=2a=22. . 当当 cos A=cos A=- - 1 3 时时, ,由余弦定理得由余弦定理得 a a 2 2=b =b 2 2+c +c 2 2- -2bccos A=3 2bc
16、cos A=3 2 2+1 +1 2 2- -2 2 3 31 1( (- - 1 3 ) )=12.=12.所以所以 a=2a=23. . 【思维激活】【思维激活】 (2014(2014 高考安徽卷高考安徽卷) )设设ABCABC 的内角的内角 A,B,CA,B,C 所对边的长分别所对边的长分别 是是 a,b,c,a,b,c,且且 b=3,c=1,b=3,c=1,ABCABC 的面积为的面积为2, ,求求 cos Acos A 与与 a a 的值的值. . 解解: :(1)(1)因为角因为角 A,B,CA,B,C 为为ABCABC 的内角的内角, ,且且 B=B= 3 ,cos A=,cos
17、 A= 4 5 , ,所以所以 C=C= 2 3 - -A,sin A=A,sin A= 3 5 . . 于是于是 sin C=sinsin C=sin( ( 2 3 - -A A) )= = 3 2 cos A+cos A+ 1 2 sin A=sin A= 34 3 10 . . 【备用例【备用例1 1】 在在ABCABC中中, ,角角A A、 B,CB,C的对边分别为的对边分别为a,b,c,B=a,b,c,B= 3 ,cos A=,cos A= 4 5 ,b=,b=3. . (1)(1)求求 sin Csin C 的值的值; ; (2)(2)求求ABCABC 的面积的面积. . (2)(
18、2)由由(1)(1)知知 sin A=sin A= 3 5 ,sin C=,sin C= 34 3 10 . . 又因为又因为 B=B= 3 ,b=,b=3, , 所以在所以在ABCABC 中中, ,由正弦定理得由正弦定理得 a=a= sin sin bA B = = 6 5 . . 于是于是ABCABC 的面积的面积 S=S= 1 2 absin C=absin C= 1 2 6 5 3 34 3 10 = = 369 3 50 . . 平面图形中线段长度的计算平面图形中线段长度的计算 题型二题型二 【例例2 2】 如图如图, ,在在ABCABC中中, ,已知已知B=45B=45,D,D是是
19、BCBC边上的一点边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,AD=10,AC=14,DC=6, 求求ABAB的长的长. . 解解: :在在ADCADC 中中,AD=10,AC=14,DC=6,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得由余弦定理得 coscosADC=ADC= 222 2 ADDCAC AD DC = = 10036196 2 106 = =- - 1 2 , , 所以所以ADC=120ADC=120, ,ADB=60ADB=60. . 在在ABDABD 中中,AD=10,B=45,AD=10,B=45, ,ADB=60ADB=60, ,由正弦定理得由正弦定理得 si
20、n AB ADB = = sin AD B , , 所以所以 AB=AB= sin sin ADADB B = = 10sin60 sin45 = = 3 10 2 2 2 =5=56. . 题后反思题后反思 三角形中的几何计算问题的解题要点及突破点三角形中的几何计算问题的解题要点及突破点 (1)(1)正确挖掘图形中的几何条件是解题要点正确挖掘图形中的几何条件是解题要点, ,善于应用正弦定理和余弦定理善于应用正弦定理和余弦定理, , 只需解三角形只需解三角形. . (2)(2)求解此类问题的突破点是仔细观察认真分析求解此类问题的突破点是仔细观察认真分析, ,迅速发现图形中较为隐蔽迅速发现图形中
21、较为隐蔽 的几何条件的几何条件. . 解解: :(1)(1)由题设知由题设知, , 2sin Bcos A=sin(A+C)=sin B,2sin Bcos A=sin(A+C)=sin B, 因为因为 sin Bsin B0,0, 所以所以 cos A=cos A= 1 2 . . 由于由于 0A0A, , 故故 A=A= 3 . . 即时训练即时训练2 2- -1:1:设设ABCABC的内角的内角A,B,CA,B,C所对边的长分别为所对边的长分别为a,b,c,a,b,c,且有且有2sin Bcos 2sin Bcos A=sin Acos C+cos Asin C.A=sin Acos C
22、+cos Asin C. (1)(1)求角求角A A的大小的大小; ; (2)(2)若若b=2,c=1,Db=2,c=1,D为为BCBC的中点的中点, ,求求ADAD的长的长. . (2)(2)因为因为 a a 2 2=b =b 2 2+c +c 2 2- -2bccos 2bccos A=4+1A=4+1- -2 22 21 1 1 2 =3,=3, 所以所以 a a 2 2+c +c 2 2=b =b 2 2,B= ,B= 2 . . 又又 BD=BD= 3 2 ,AB=1,AB=1, 所以所以 AD=AD= 3 1 4 = = 7 2 . . 三角形中三角恒等式的证明问题三角形中三角恒等
23、式的证明问题 题型三题型三 【例【例 3 3】 在在ABCABC 中中, ,角角 A,B,CA,B,C 所对应的边分别为所对应的边分别为 a,b,c.a,b,c.求证求证: : 22 2 ab c = = sin sin AB C . . 证明证明: :法一法一 由余弦定理由余弦定理 a a 2 2=b =b 2 2+c +c 2 2- -2bccos A,b 2bccos A,b 2 2=a =a 2 2+c +c 2 2- -2accos B, 2accos B, 得得 a a 2 2- -b b2 2=b =b 2 2- -a a2 2+2c(acos B +2c(acos B- -bc
24、os A),bcos A),即即 a a 2 2- -b b2 2=c(acos B =c(acos B- -bcos A),bcos A), 变形得变形得 22 2 ab c = = coscosaBbA c = = a c cos Bcos B- - b c cos A.cos A. 由正弦定理由正弦定理 sin a A = = sin b B = = sin c C , ,得得 a c = = sin sin A C , , b c = = sin sin B C , , 所以所以 22 2 ab c = = sincossincos sin ABBA C = = sin sin AB
25、C . . 法二法二 sin sin AB C = = sincoscossin sin ABAB C = = sin sin A C cos Bcos B- - sin sin B C cos Acos A = = a c 222 2 acb ac - - b c 222 2 bca bc = = 222 2 2 acb c - - 222 2 2 bca c = = 22 2 2 2 ab c = = 22 2 ab c . . 所以原等式成立所以原等式成立. . 证明证明: :左边左边= = 222 222 2 2 c acb a ac c bca b bc = = 222 2 acb
26、a 222 2b bca = = b a = = sin sin B A = =右边右边, , 所以所以 cos cos acB bcA = = sin sin B A . . 即时训练即时训练 3 3 1:1:在在ABCABC 中中, ,求证求证: : cos cos acB bcA = = sin sin B A . . 证明证明: :法一法一 左边左边= = tan tan A B = = sin cos A A cos sin B B = = sin sin A B cos cos B A = = a b 222 222 2 2 acb ac bca bc = = 222 222 ac
27、b bca = =右边右边, ,所以等式成立所以等式成立. . 【备用例【备用例 2 2】 在在ABCABC 中中, ,角角 A A、B B、C C 对应的边分别为对应的边分别为 a a、b b、c,c,求证求证: : tan tan A B = = 222 222 acb bca . . 法二法二 右边右边= = 222 222 acb bca = = 2cos 2cos acB bcA = = a b cos cos B A = = sin sin A B cos cos B A = = sin cos A A cos sin B B =tan A=tan A 1 tanB = = tan tan A B = =左边左边, ,所以等式成立所以等式成立. . 点击进入课时作业点击进入课时作业 点击进入周练卷点击进入周练卷 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
