1、第一章 解三角形 1.2 应用举例(三) 1.能用正弦、余弦定理进一步解决一些有关三角形的计算问题. 2.掌握三角形面积公式的简单推导和应用. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 三角形常用面积公式及其证明 1.公式 (1)三角形面积公式S . 答案 1 2ah (2)三角形面积公式的推广 S 1 2casin B. (3)S1 2r( )(r为三角形内切圆半径). 1 2 absin C 1 2bcsin A abc 2.证明 (1)三角形的高的计算公式 在ABC中，边BC，CA，AB对应的边长分别为a，b，c，边
2、上的高 分别记为ha，hb，hc，则habsin Ccsin B，hbcsin Aasin C，hc asin Bbsin A. 借助上述结论，如图，若已知ABC中的边AC，AB，角A，那么AB 边上的高CD ，ABC的面积S . 答案 bsin A 1 2bcsin A (2)三角形的面积与内切圆 已知ABC内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则ABC的面积为S . 如图，设ABC内切圆圆心为O，连接OA，OB，OC， 答案 1 2r(abc) 则 SABCSAOBSAOCSBOC1 2cr 1 2br 1 2ar 1 2(abc)r. 思考 (1)已知ABC的面积为3 2，且b2，c 3，
3、则A . 解析答案 解析 S1 2bcsin A 3 2， 1 2 2 3 sin A 3 2，sin A 3 2 ， 又A(0，180)，A60或120. 60或120 解析 由正弦定理 a sin A c sin C， (2)在ABC中，A30，AB2，BC1，则ABC的面积等 于 . sin Ccsin A a 2 sin 30 1 1， 又C(0，180)，C90， bc2a22212 3. SABC1 21 3 3 2 . 3 2 解析答案 知识点二 多边形的面积 对于多边形的有关几何计算问题，可以利用“割补法”将多边形转化 为三角形，利用三角形的有关性质及正弦、余弦定理解决. 返回
4、 于是 sin Csin 2 3 A 3 2 cos A1 2sin A 34 3 10 . 题型探究 重点突破 题型一 三角形的面积公式及其应用 例1 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B 3，cos A 4 5， b 3. (1)求sin C的值； 解析答案 解 因为角 A， B， C 为ABC 的内角， 且 B 3， cos A 4 5， 所以 C 2 3 A， sin A3 5. 又因为 B 3，b 3， (2)求ABC的面积. 解析答案 反思与感悟 解 由(1)知 sin A3 5，sin C 34 3 10 ， 所以在ABC 中，由正弦定理得 absin A sin
5、B 6 5. 于是ABC 的面积 S1 2absin C 1 2 6 5 3 34 3 10 369 3 50 . 跟踪训练1 如图所示，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB2， BC6，CDDA4，求四边形ABCD的面积. 解析答案 题型二 三角形面积的最值问题 例2 已知ABC的外接圆半径为R，内角A，B，C所对的边分别为a， b，c，且满足2R(sin2Asin2C)( 2ab) sin B，求ABC面积的最 大值. 解析答案 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 若ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且Sc2(a b)2，ab2，求面积S的最大值. 题型三 三角形中的综合问题 例
6、3 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为 ABC的面积，满足S 3 4 (a2b2c2). (1)求角C的大小； 解析答案 所以 tan C 3，因为 0C，所以 C 3. 解 由题意可知1 2absin C 3 4 2abcos C. (2)求sin Asin B的最大值. 解析答案 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3 已知ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m (a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2). (1)若mn，求证：ABC为等腰三角形； 证明 mn，asin Absin B. a a 2Rb b 2R(2R 为ABC 外接圆直径)
7、， a2b2，ab， ABC为等腰三角形. 解析答案 (2)若mp，边长c2，C 3，求ABC的面积. 返回 SABC1 2absin C 1 2 4 sin 3 3. 解 由题意可知m p0，即a(b2)b(a2)0. abab. 由余弦定理得4a2b2ab(ab)23ab， (ab)23ab40，ab4或1(舍)， 故ABC 的面积为 3. 当堂检测 1 2 3 4 1.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(ab)2c2 4，C120，则ABC的面积为( ) 解析 将c2a2b22abcos C与(ab)2c24联立， C 解析答案 A. 3 3 B.2 3 2 C. 3
8、 D.2 3 解得 ab4，SABC1 2absin C 3. A.4 3 B.60 C.5 2 D.6 2 1 2 3 4 2.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a1，B45， SABC2，则ABC的外接圆直径为( ) b5. C 解析答案 解析 SABC1 2ac sin B 1 2c sin 45 2 4 c2， c4 2，b2a2c22accos 45 25， ABC 的外接圆直径为 b sin B5 2. A.( 2， 2) B. 2， 2 C.(1， 2) D.(1， 2 1 2 3 4 3.设A是ABC中最小的内角，则sin Acos A的取值范围是( ) D
9、解析答案 解析 sin Acos A 2sin(A 4). A 为ABC 中最小内角，A(0， 3)， A 4( 4， 7 12)，sin(A 4)( 2 2 ，1， sin Acos A(1， 2 . 1 2 3 4 解析答案 4.在ABC中，已知B 4，D是BC边上一点，AD10，AC14，DC6， 则AB的长为 . 课堂小结 (1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形， 转化为求三角形的面积. (2)若所给条件为边角关系，则需要运用正弦、余弦定理求出某两边及 夹角，再利用三角形面积公式进行求解. 1.三角形面积计算的解题思路 对于此类问题，一般要用公式 S1 2absin C 1 2bcsin A 1 2acsin B 进行求解，可分为以下两种情况： 返回 2.与面积有关的三角形综合问题的解决思路.选取适当的面积公式，结 合正弦、余弦定理及三角恒等变换的知识，将问题转化为求函数的最 值或范围，进而予以解决.
