1、第一章第一章 解三角形解三角形 1.11.1 正弦正理和余弦定理正弦正理和余弦定理 1.1.11.1.1 正弦定理正弦定理 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.了解正弦定理的推导过程了解正弦定理的推导过程. . 2.2.能利用正弦定理解决两类解三角形的基本问题能利用正弦定理解决两类解三角形的基本问题. . 3.3.能利用正弦定理及其变形判断三角形的形状能利用正弦定理及其变形判断三角形的形状. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 1.1.正弦定理正弦定理 在一个三角形中在一个三角形中, ,各边和它所对角的正弦的比各边和它所对角的正弦的比 , ,即即 sin a A
2、= = sin b B = = sin c C , ,这个比值是这个比值是 三角形外接圆的直径三角形外接圆的直径 2R.2R. 相等相等 2.2.解三角形解三角形 一般地一般地, ,把三角形的三个内角把三角形的三个内角A,B,CA,B,C和它们的对边和它们的对边a,b,ca,b,c叫做三角形的叫做三角形的 , , 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. . 3.3.正弦定理的应用正弦定理的应用 正弦定理主要用于解决下列两类问题正弦定理主要用于解决下列两类问题: : (1)(1)已知已知ABCABC两角和任意一边两角和任意一边, ,求其
3、他两边和一角求其他两边和一角. . (2)(2)已知已知ABCABC两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角, ,求另外一边的对角和其他的边角求另外一边的对角和其他的边角. . 元素元素 自我检测自我检测 1.(1.(正弦定理的变形正弦定理的变形) )在在ABCABC中中, ,一定成立的等式是一定成立的等式是( ( ) ) (A)asin A=bsin B(A)asin A=bsin B (B)acos A=bcos B(B)acos A=bcos B (C)asin B=bsin A(C)asin B=bsin A (D)acos B=bcos A(D)acos B=bcos A C C 2
4、.(2.(利用正弦定理判断三角形的形状利用正弦定理判断三角形的形状) )在在ABCABC中中,sin Asin Bsin ,sin Asin Bsin C=345,C=345,则则ABCABC是是( ( ) ) (A)(A)直角三角形直角三角形 (B)(B)等腰三角形等腰三角形 (C)(C)锐角三角形锐角三角形 (D)(D)钝角三角形钝角三角形 A A 3.(3.(已知两边及其中一边的对角解三角形已知两边及其中一边的对角解三角形) )在在ABCABC 中中,a=3,b=5,sin A=,a=3,b=5,sin A= 1 3 , ,则则 sin Bsin B 等于等于( ( ) ) (A)(A)
5、 1 5 (B)(B) 5 9 (C)(C) 5 3 (D)1(D)1 B B 解析解析: :由正弦定理得由正弦定理得 sin a A = = sin b B ,sin B=,sin B= 1 5 3 3 = = 5 9 . .故选故选 B.B. 4.(4.(正弦定理的几何意义正弦定理的几何意义) )在在ABCABC中中, ,已知已知a=2,A=120a=2,A=120, ,则其外接圆的则其外接圆的 半径半径R=R= . . 解析解析: :因为因为 2R=2R= sin a A = = 2 sin120 = = 4 3 3 , ,所以所以 R=R= 2 3 3 . . 答案答案: : 2 3
6、3 【例例1 1】 在在ABCABC中中, ,已知已知a=8,B=60a=8,B=60,C=75,C=75, ,求求A,c.A,c. 课堂探究课堂探究 已知两角及一边解三角形已知两角及一边解三角形 题型一题型一 解解: :A=180A=180- -(B+C)=180(B+C)=180- -(60(60+75+75)=45)=45. . 由由 sin a A = = sin c C 得得, ,c=c= sin sin aC A = = 8 sin75 sin45 = = 26 8 4 2 2 =4(=4(3+1).+1). 所以所以 A=45A=45,c=4(,c=4(3+1).+1). 题后反
7、思题后反思 已知三角形的两角和任一边解三角形已知三角形的两角和任一边解三角形, ,基本思路是基本思路是: : (1)(1)若所给边是已知角的对边时若所给边是已知角的对边时, ,可由正弦定理求另一角所对边可由正弦定理求另一角所对边, ,再由三角形再由三角形 内角和定理求出第三个角内角和定理求出第三个角. . (2)(2)若所给边不是已知角的对边时若所给边不是已知角的对边时, ,先由三角形内角和定理求出第三个角先由三角形内角和定理求出第三个角, ,再再 由正弦定理求另外两边由正弦定理求另外两边. . 即时训练即时训练1 1- -1:1:在在ABCABC中中, ,已知已知A=45A=45,B=30,
8、B=30,a=2,a=2,求出其他边和角的大小求出其他边和角的大小. . 解解: :根据三角形内角和定理根据三角形内角和定理, ,得得 C=180C=180- -(A+B)=180(A+B)=180- -(45(45+30+30)=105)=105, , 根据正弦定理得根据正弦定理得: : b=b= sin sin aB A = = 2sin30 sin45 = = 1 2 2 2 2 = =2, , c=c= sin sin aC A = = 2sin105 sin45 = = 2sin75 sin45 = = 62 2 4 2 2 = =3+1.+1. 【备用例备用例1 1】 已知已知AB
9、CABC中中,a=20,A=30,a=20,A=30,C=45,C=45, ,求求B,b,c.B,b,c. 解解: :因为因为 A=30A=30,C=45,C=45, , 所以所以 B=180B=180- -(A+C)=105(A+C)=105, , 由正弦定理得由正弦定理得 b=b= sin sin aB A = = 20sin105 sin30 =40sin(45=40sin(45+60+60) ) =10(=10(6+ +2);); c=c= sin sin aC A = = 20sin45 sin30 =20=202, , 所以所以 B=105B=105,b=10(,b=10(6+ +
10、2),c=20),c=202. . 已知两边及其中一边的对角解三角形已知两边及其中一边的对角解三角形 题型二题型二 【教师备用教师备用】 1.1.在在ABCABC中中, ,若若AB,AB,是否有是否有sin Asin B?sin Asin B?反之反之, ,是否成立是否成立? ? 提示提示: :若若 AB,AB,则则 ab,ab, 又又 sin a A = = sin b B , ,所以所以 sin Asin B,sin Asin B, 反之反之, ,若若 sin Asin B,sin Asin B,则则 ab,ab,即即 AB,AB, 故故 ABABsin Asin B.sin Asin B
11、. 2.2.在在ABCABC中中, ,已知已知a,ba,b和和A,A,三角形解的情况如何三角形解的情况如何? ? 提示提示: :在在ABCABC 中中, ,已知已知 a,ba,b 和和 A A 时三角形解的情况时三角形解的情况: : A A 为锐角为锐角 A A 为钝角或直角为钝角或直角 图象图象 关关系系式式 a=bsin Aa=bsin A a ab b bsin Ab a ab b 解的解的 个数个数 一解一解 两解两解 无解无解 一解一解 无解无解 解解: :因为因为 sin a A = = sin c C , ,所以所以 sin A=sin A= sinaC c = = 2 2 .
12、. 所以所以 A=A= 4 或或 3 4 . . 又因为又因为 ca,ca,所以所以 CA,CA,所以所以 A=A= 4 . . 所以所以 B=B= 5 12 ,b=,b= sin sin cB C = = 5 6 sin 12 sin 3 = =3+1.+1. 【例【例 2 2】 在在ABCABC 中中,c=,c=6,C=,C= 3 ,a=2,a=2,求求 A A、B B、b.b. 题后反思题后反思 已知三角形中的两边和其中一边的对角已知三角形中的两边和其中一边的对角, ,解三角形时解三角形时(1)(1)首先由首先由 正弦定理求出另一边对角的正弦值正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2).(2
13、)如果已知的角为大边所对的角时如果已知的角为大边所对的角时, ,由三由三 角形中大边对大角角形中大边对大角, ,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角, ,由正弦由正弦 值可求锐角值可求锐角.(3).(3)如果已知的角为小边所对的角时如果已知的角为小边所对的角时, ,则不能判断另一边所对的角则不能判断另一边所对的角 为锐角为锐角, ,这时由正弦值可求两个角这时由正弦值可求两个角, ,要分类讨论要分类讨论. . 解解: :因为因为6sin sin 4 0), 得得 a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C(ka=ksin A,b=ksin
14、 B,c=ksin C(k0),0), 代入已知式子得代入已知式子得 cos sin A kA = = cos sin B kB = = cos sin C kC . . 所以所以 sin cos A A = = sin cos B B = = sin cos C C . .所以所以 tan A=tan B=tan C.tan A=tan B=tan C. 又因为又因为 A A、B B、C C(0,(0,),), 所以所以 A=B=C.A=B=C.所以所以ABCABC 为等边三角形为等边三角形. . 【备用例【备用例 2 2】 在在ABCABC 中中, ,若若 cos A a = = cosB
15、 b = = cosC c , ,试判断试判断ABCABC 的形状的形状. . 法二法二 由正弦定由正弦定理得理得 sin a A = = sin b B = = sin c C . . 又因为又因为 cos A a = = cosB b = = cosC c , , 所以所以 sin a A cos A a = = sin b B cosB b = = sin c C cosC c . . 所以所以 cos sin A A = = cos sin B B = = cos sin C C . . 即即 sin cos A A = = sin cos B B = = sin cos C C . .所以所以 tan A=tan B=tan C.tan A=tan B=tan C. 又因为又因为 A A、B B、C C(0(0, ,),),所以所以 A=B=C.A=B=C.所以所以ABCABC 为等边三角形为等边三角形. . 点击进入课时作业点击进入课时作业 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
