1、3.4 基本不等式: 第三章 不等式 (二) aba b 2 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 基本不等式求最值 1.理论依据： (1)设x，y为正实数，若xys(和s为定值)，则当 时，积xy有最 值，且这个值为s 2 4 . (2)设x，y为正实数，若xyp(积p为定值)，则当 时，和xy有最 值，且这个值为2 p. 答案 xy 大 xy 小 2.基本不等式求最值的条件： (1)
2、x，y必须是 ； (2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为定值；求和xy的最小值时，应 看积xy是否为 . (3)等号成立的条件是否满足. 3.利用基本不等式求最值需注意的问题： (1)各数(或式)均为正. (2)和或积为定值. (3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可. (4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且 要注意取等号的条件的一致性. 答案 正数 定值 知识点二 基本不等式在实际中的应用 基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常 生活中的问题.解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材 料；(2)建立
3、数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论. 返回 当且仅当 x2 1 x2，即 x3 时，等号成立. 题型探究 重点突破 题型一 利用基本不等式求最值 解析答案 例 1 (1)已知 x5 2，则 f(x) x24x5 2x4 有( ) A.最大值5 4 B.最小值 5 4 C.最大值 1 D.最小值 1 D 解析 f(x)x 24x5 2x4 x2 21 2x2 1 2 x2 1 x2 1. 解析答案 (2)已知 t0，则函数 yt 24t1 t 的最小值为_. -2 解析 yt 214t t t1 t 4242， 当且仅当 t1 t ，即 t1 或 t1(舍)时，等号成立， y的最小值为
4、2. (3)已知 x，yR，且满足x 3 y 41，则 xy 的最大值为_. 3 解析答案 反思与感悟 xy的最大值为3. 解析 xy12 x 3 y 4 12 x 3 y 4 2 2 12 1 2 23， 当且仅当x 3 y 4 1 2，即 x 3 2，y2 时，等号成立， 当且仅当a(ab)1且ab1， 跟踪训练1 (1)设ab0，则a2 1 ab 1 aab的最小值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 a2 1 ab 1 aaba 2abab 1 ab 1 aaba(ab) 1 aab ab 1 ab224. 即 a 2，b 2 2 时取“”. 解析答案 D (2)已知x，y为
5、正数，且2xy1，则1 x 1 y的最小值为_. 解析答案 解析 由 2xy1，得1 x 1 y 2xy x 2xy y 3y x 2x y 32 y x 2x y 32 2， 当且仅当y x 2x y ， 即 x2 2 2 ，y 21 时，等号成立. 32 2 题型二 基本不等式的综合应用 解析答案 例 2 (1)已知 x1，y1，且1 4ln x、 1 4、ln y 成等比数列，则 xy( ) A.有最大值 e B.有最大值 e C.有最小值 e D.有最小值 e 解析答案 反思与感悟 (2)若对任意 x0， x x23x1a 恒成立，求 a 的取值范围. 解 设 f(x) x x23x1
6、 1 x1 x3 ， x0，x1 x2， f(x)1 5，即 f(x)max 1 5， a1 5. 跟踪训练 2 (1)设 a0，b0，若 3是 3a与 3b的等比中项，则1 a 1 b的最 小值为( ) A.2 B.4 C.1 D.1 2 当且仅当b a a b，即 ab 1 2时，等号成立. 解析答案 B 解析 由题意得，3a 3b( 3)2，即 ab1， 1 a 1 b 1 a 1 b (ab)2b a a b 22 b a a b4， (2)函数ykx2k1的图象恒过定点A，若点A又在直线mxny10上， 则mn的最大值为_. 解析 yk(x2)1必经过(2，1)，即点A(2，1)，
7、代入得2mn10， 2mn1， mn1 2(2mn) 1 2 2mn 2 21 8， 当且仅当 2mn1 2时，等号成立. 1 8 解析答案 题型三 基本不等式的实际应用 例3 要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目 (即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度 为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm，请确定广告的高与宽的 尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值. 解析答案 反思与感悟 跟踪训练 3 一批货物随 17 列货车从 A 市以 v 千米/时匀速直达 B 市， 已 知两地铁路线长 400 千米， 为了安全， 两列货
8、车的间距不得小于 v 20 2 千米， 那么这批货物全部运到 B 市，最快需要_小时. 解析答案 解析 设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则 t 40016 v 20 2 v 400 v 16v 4002 400 v 16v 4008(小时)， 当且仅当400 v 16v 400，即 v100 时，等号成立， 此时t8小时. 8 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1.下列函数中，最小值为4的函数是( ) A.yx4 x B.ysin x 4 sin x(0x) C.yex4ex D.ylog3xlogx81 解析 A中x1时，y54，B中y4时，sin x2，D中x与1的 关系不确定，
9、选C. C 解析答案 解析 yxx11 x1 x 1 x1x1 1 x11 1 2 3 4 5 2.函数yx 2x1 x1 (x1)在xt处取得最小值，则t等于( ) A.1 2 B.2 C.3 D.4 213， B 解析答案 当且仅当 x1 1 x1，即 x2 时，等号成立. 1 2 3 4 5 3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架， 在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m C 解析答案 解析 设两直角边分别为 a， b， 直角三角形的框架的周长为 l， 则1 2ab2， ab
10、4，laba2b22 ab 2ab42 26.828(m).要求够 用且浪费最少，故选 C. 1 2 3 4 5 解析答案 4.函数f(x)x(42x)的最大值为_. f(x)x(42x)1 2 2x42x 2 22， 解析 当x(0,2)时， x,42x0， 当且仅当2x42x，即x1时，等号成立. 当x0或x2时， f(x)0， 故f(x)max2. 2 当且仅当 54x 1 54x，即 x1 时，等号成立. 1 2 3 4 5 解析答案 解析 x5 4，4x50， 5.当x5 4时，函数y4x2 1 4x5的最大值为_. y4x5 1 4x53 54x 1 54x 3 2 54x 1 5
11、4x31 1 课堂小结 1.用基本不等式求最值 (1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件： “一正”各项为正数；“二定”“和”或“积”为定值； “三相等”等号一定能取到.这三个条件缺一不可. (2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知 和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应 用基本不等式的条件. 返回 (3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值， 但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错 误的，这时通常可以借助函数yxp x(p0)的单调性求得函数的最值. 2.求解应用题的方法与步骤： (1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.
