1、3.3.2 简单的线性规划问题 第三章 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行 域、最优解等基本概念. 2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际 问题. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 线性规划中的基本概念 答案 不等式(组) 名 称 意 义 约束条件 关于变量x，y的一次 线性约束条件 关于x，y的一次不等式(组) 目标函数 欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式 线性目标函数 关于变量x，y的一次解析式 可行解 满
2、足 的解(x，y) 可行域 由所有 组成的集合 最优解 使目标函数取得 的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 答案 线性约束条件 可行解 最大值或最小值 知识点二 线性规划问题 1.目标函数的最值 线性目标函数zaxby (b0)对应的斜截式直线方程是ya bx z b，在 y轴上的截距是 z b，当z变化时，方程表示一组 的直线. 当b0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取 值； 当b0时，要使zyax取得最大值的最优解不唯一，则a2； 当a0时，要使zyax取得最大值的最优解不唯一，则a1. 答案 D (2)若变量x， y满足约束条件 xy10
3、， x2y80， x0， 则z3xy的最小值为_. 解析答案 解析 由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z3x y，即y3xz过点(0,1)时z取最小值1. 1 题型二 非线性目标函数的最值问题 解析答案 例 2 设实数 x，y 满足约束条件 xy20， x2y40， 2y30， 求 (1)x2y2的最小值； (2)y x的最大值. 解析答案 反思与感悟 解 令 vy x，其几何意义是可行域 ABC 内任一点(x，y)与原点相连的直线 l 的斜率为 v， 即 vy0 x0.由图形可知， 当直线 l 经过可行域内点 C 时， v 最大， 由(1)知 C 1，3 2 ， 所以 vm
4、ax3 2，所以 y x的最大值为 3 2. 解析答案 跟踪训练 2 已知 x，y 满足约束条件 x0， y0， xy1， 则(x3)2y2的最小值为 _. 题型三 线性规划的实际应用 例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1 千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每 桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两 种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克.通过合理安 排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大 利润是多少？ 解析答案 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3 预算用2 000元
5、购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使 桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子 数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？ 返回 当堂检测 1 2 3 解析答案 1.若直线 y2x 上存在点(x， y)满足约束条件 xy30， x2y30， xm， 则实数 m 的最大值为( ) A.1 B.1 C.3 2 D.2 解析 如图， 当y2x经过且只经过xy30和xm的交点时，m取到最大值，此 时，即(m,2m)在直线xy30上，则m1. 答案 B 1 2 3 2.某公司招收男职员 x 名，女职员 y 名，x 和 y 需满足约束条件 5x11y22， 2x3y9， 2x1
6、1， xN*，yN*， 则 z10x10y 的最大值是( ) A.80 B.85 C.90 D.95 解析答案 1 2 3 3.已知实数 x，y 满足 y1， x1， xy1， 则 zx2y2的最小值为_. 解析 实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示， 则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方， 解析答案 故 zmin 1 2 21 2. 1 2 1 2 3 课堂小结 1.用图解法解决线性或非线性规划问题的基本步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形. (3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确 定最优解. (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 2.作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可 行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与 可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解. 返回 3.在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义， 利用数形结合方法可迅速解决相关问题. 4.在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数 等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证 求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非 只有一个，应具体情况具体分析.
