1、第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法(二) 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式. 2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加 以解决. 3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 分式不等式的解法 主导思想：化分式不等式为整式不等式 答案 类型 同解不等式 f(x) g(x)0(0) 法： 法： f(x) g(x)0(0) f(x)0(0) g(x)0 或 f(x)0(0) g(x)0 f(x) g(x)0(0) 法： 法： f(x)
2、 g(x) 先移项转化为上述两种形式 f(x)0(0) g(x)0 或 f(x)0(0) g(x)0 f(x) g(x)0(0) g(x)0 a a a a 知识点二 简单的一元高次不等式的解法 一元高次不等式f(x)0常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法)求解，其 步骤是： (1)将f(x)最高次项的系数化为正数； (2)将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积； (3)将每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根 情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿又过)； (4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集. 思考 (x1)(x2)(x3)2(x4)0
3、的解集为_. 答案 解析 利用数轴穿根法 x|1x2或x4 ， . 知识点三 一元二次不等式恒成立问题 对一元二次不等式恒成立问题，可有以下2种思路： (1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2bxc0(a0)恒成 立 答案 a0 0 ax2bxc0， x2.不等式的解集为x|x2. A 题型二 解一元高次不等式 例2 解下列不等式： (1)x42x33x20； 解析答案 解 原不等式可化为x2(x3)(x1)0， 当x0时，x20， 由(x3)(x1)0，得1x3； 当x0时，原不等式为00，无解. 原不等式的解集为x|1x3，且x0. (2)1xx3x40； 解析答案 解 原不等式
4、可化为(x1)(x1)(x2x1)0， 而对于任意xR，恒有x2x10， 原不等式等价于(x1)(x1)0， 原不等式的解集为x|1x1. (3)(6x217x12)(2x25x2)0. 解析答案 反思与感悟 解 原不等式可化为(2x3)(3x4)(2x1)(x2)0， 进一步化为 x3 2 x4 3 x1 2 (x2)0， 如图所示， 得原不等式的解集为 x|x1 2或 4 3x 3 2或x2 . 解析答案 跟踪训练2 若不等式x2pxq0的解集是x|1x2，则不等式 x2pxq x25x60的解集是( ) A.(1,2) B.(，1)(6，) C.(1,1)(2,6) D.(，1)(1,2
5、)(6，) 解析 由题意知x2pxq(x1)(x2)，则待解不等式等价于(x1)(x 2)(x25x6)0(x1)(x2)(x6)(x1)0x1或1x2或x6. D 题型三 不等式恒成立问题 例3 对任意的xR，函数f(x)x2(a4)x(52a)的值恒大于0，则 a的取值范围为_. 解析答案 反思与感悟 解析 由题意知，f(x)开口向上，故要使f(x)0恒成立， 只需0即可， 即(a4)24(52a)0， 解得2a2. 2a2 解析答案 跟踪训练3 对任意a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大 于零，则x的取值范围是( ) A.1x3 B.x1或x3 C.1x2 D.x1或x2
6、解析 f(x)0，x2(a4)x42a0， 即(x2)a(x244x)0， 设g(a)(x2)a(x24x4) 由题意知， g(1)0， g(1)0， 即 x2x24x4x23x20， x2x244xx25x60， x1或x3. B 题型四 一元二次不等式在生活中的应用 例4 某人计划收购某种农产品，如果按每吨200元收购某农产品，并按 每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万吨，政府为 了鼓励个体多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x0)个百分点，预 测收购量可增加2x个百分点. (1)写出税收y(万元)与x的函数关系式； 解 降低后的征税率为(10x)%，农产品的
7、收购量为a(12x%)万吨，收 购总金额为200a(12x%). 依题意得，y200a(12x%)(10x)% 1 50a(1002x)(10x)(0x10). 解析答案 (2)要使此项税收在征税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的 取值范围. 解析答案 反思与感悟 解 原计划税收为200a 10%20a(万元). 依题意得， 1 50a(1002x)(10x)20a83.2%， 化简得x240x840， 42x2. 又0x10， 0x2. x的取值范围是x|0x2. 跟踪训练4 在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而 行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了
8、.事发后现场测得甲车的刹 车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的 刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲0.1x0.01x2，S乙 0.05x0.005x2. 解析答案 问超速行驶谁应负主要责任. 解 由题意列出不等式S甲0.1x0.01x212， S乙0.05x0.005x210. 分别求解，得 x30. x40. 由于x0，从而得x甲30 km/h，x乙40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任. 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1.若集合Ax|12x13，Bx|x2 x 0，则AB等于( ) A.x|1x0 B.x|0x1 C.x|0x2 D.x|0x1 解析 Ax|1x1，Bx|0x2， B 解析答案 ABx|0x1. 1 2 3 4 5 2.若集合Ax|ax2ax1f(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min. 返回 3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选 择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意， 列出不等关系再求解.
