1、1.1.21.1.2 余弦定理余弦定理 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.掌握余弦定理及其推论掌握余弦定理及其推论. . 2.2.会用平面向量方法证明余弦定理会用平面向量方法证明余弦定理. . 3.3.能利用余弦定理解决两类解三角形问题能利用余弦定理解决两类解三角形问题. . 4.4.能利用余弦定理能利用余弦定理, ,结合正弦定理判断三角形的形状结合正弦定理判断三角形的形状. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 文字语言文字语言 三角形中任何一边的三角形中任何一边的 等于其他两边的等于其他两边的 的的 减去这两边与减去这两边与 它们的夹角的它们的夹角的 的的 倍
2、倍 符号语言符号语言 a a 2 2= = b b 2 2= = c c 2 2= = 推论推论 cos A=cos A= 222 2 bca bc cos B=cos B= 222 2 acb ac cos C=cos C= 222 2 abc ab 余弦定理余弦定理 平方平方 平方平方 和 和 余弦的积余弦的积 两两 b b2 2+c+c2 2- -2bccos A2bccos A a a2 2+c+c2 2- -2accos B2accos B a a2 2+b+b2 2- -2abcos C2abcos C 自我检测自我检测 1.(1.(已知两边及夹角解三角形已知两边及夹角解三角形)
3、)ABCABC 的两边的两边 AB,ACAB,AC 的长分别为的长分别为 5 5 和和 3,3,它们夹角的余它们夹角的余 弦值为弦值为- - 3 5 , ,则该三角形的第三边长为则该三角形的第三边长为( ( ) ) (A)52(A)52 (B)2(B)213 (C)16(C)16 (D)4(D)4 B B 解析解析: :由条件可知由条件可知 cos A=cos A=- - 3 5 , ,由余弦定理得由余弦定理得 BCBC 2 2=AB =AB 2 2+AC +AC 2 2- -2AB 2ABACACcos A=5cos A=5 2 2+3 +3 2 2- -2 2 5 53 3( (- - 3
4、 5 ) )=52,=52, 所以所以 BC=BC=52=2=213. .故选故选 B.B. 2.(2.(已知三边求角已知三边求角) )在在ABCABC 中中,a=7,b=4,a=7,b=43,c=,c=13, ,则则ABCABC 的最小角为的最小角为( ( ) ) (A)(A) 3 (B)(B) 6 (C)(C) 4 (D)(D) 12 B B 解析解析: :由由 c=c=13最小知角最小知角 C C 最小最小, , 所以所以 cos C=cos C= 222 2 abc ab = = 4948 13 2 74 3 = = 3 2 , , 所以所以 C=C= 6 , ,选选 B.B. 解析解
5、析: :由由 a a 2 2=b =b 2 2+bc+c +bc+c 2 2, ,得 得 b b 2 2+c +c 2 2- -a a2 2= =- -bc, bc,由余弦定理的推论得由余弦定理的推论得 cos A=cos A= 222 2 bca bc = =- - 1 2 , , 所以所以 A=A= 2 3 . .故选故选 C.C. 3.(3.(余弦定理的推论余弦定理的推论) )在在ABCABC 中中, ,已知已知 a a 2 2=b =b 2 2+bc+c +bc+c 2 2, ,则角 则角 A A 为为( ( ) ) (A)(A) 3 (B)(B) 6 (C)(C) 2 3 (D)(D
6、) 3 或或 2 3 C C 解析解析: :因为因为 bca,bca,所以所以B B 最大最大, , 又又 c cos B=os B= 222 2 acb ac = = 222 245 224 = =- - 5 16 90, , 故故ABCABC 是钝角三角形是钝角三角形. . 4.(4.(利用余弦定理判断三角形的形状利用余弦定理判断三角形的形状) )在在ABCABC中中,a=2,b=5,c=4,a=2,b=5,c=4,则则ABCABC的的 形状为形状为 . . 答案答案: :钝角三角形钝角三角形 解析解析: :由题意由题意:a+b=5,ab=2.:a+b=5,ab=2. 由余弦定理得由余弦定
7、理得 c c 2 2=a =a 2 2+b +b 2 2- -2abcos C 2abcos C =a=a 2 2+b +b 2 2- -ab ab =(a+b)=(a+b) 2 2- -3ab 3ab =5=5 2 2- -3 3 2=19.2=19. 所以所以 c=c=19. . 5.(5.(与韦达定理结合解三角形与韦达定理结合解三角形) )在在ABCABC中中, ,边边a,ba,b的长是方程的长是方程x x2 2- -5x+2=05x+2=0的的 两个根两个根,C=60,C=60, ,则边则边c=c= . . 答案答案: :19 课堂探究课堂探究 已知两边及一角解三角形已知两边及一角解三
8、角形 题型一题型一 解解: :法一法一 由余弦定理由余弦定理 b b 2 2=a =a 2 2+c +c 2 2- -2accos B, 2accos B, 得得 3 3 2 2=a =a 2 2+(3 +(33) ) 2 2- -2 2 3 33a acos 30cos 30,a,a 2 2- -9a+18=0, 9a+18=0, 所以所以 a=6a=6 或或 a=3.a=3. 当当 a=6a=6 时时, ,由正弦定理由正弦定理, ,得得 sin A=sin A= sinaB b = = 1 6 2 3 =1,=1, 所以所以 A=90A=90,C=60,C=60. . 当当 a=3a=3
9、时时,A=30,A=30,C=120,C=120. . 【例【例 1 1】 在在ABCABC 中中, ,已知已知 b=3,c=3b=3,c=33,B=30,B=30, ,求求 A A、C C 和和 a.a. 法二法二 由由 bcsin 30= = 3 3 2 知知, ,有两解有两解. . sin C=sin C= sincB b = = 3 3 3 1 2 = = 3 2 , , 所以所以 C=60C=60或或 C=12C=120 0. . 当当 C=60C=60时时,A=90,A=90, , 由勾股定理由勾股定理 a=a= 22 bc= = 2 2 33 3=6;=6; 当当 C=120C=
10、120时时,A=30,A=30, ,ABCABC 为等腰三角形为等腰三角形, , 所以所以 a=3.a=3. 题后反思题后反思 三角形中三角形中, ,已知两边及一角解三角形有以下两种情况已知两边及一角解三角形有以下两种情况. . (1)(1)三角形中已知两边和一边的对角三角形中已知两边和一边的对角, ,有两种解法有两种解法. .一是利用余弦定理列出关一是利用余弦定理列出关 于第三边的一元二次方程于第三边的一元二次方程, ,运用解方程的方法求出第三边运用解方程的方法求出第三边, ,这样可免去判断取这样可免去判断取 舍的麻烦舍的麻烦. .二是运用正弦定理二是运用正弦定理, ,先求角再求边先求角再求
11、边. . (2)(2)已知两边和两边夹角已知两边和两边夹角, ,直接应用余弦定理求出第三边直接应用余弦定理求出第三边, ,然后应用正弦定理然后应用正弦定理 或余弦定理推论求出另外两角或余弦定理推论求出另外两角. . 解解: :由余弦定理得由余弦定理得 b b 2 2=a =a 2 2+c +c 2 2- -2accos B=8 2accos B=8 2 2+4( +4(3+1)+1) 2 2- -2 2 8 84(4(3+1)+1)cos 60cos 60 =64+16(4+2=64+16(4+23) )- -64(64(3+1)+1) 1 2 =96.=96. 所以所以 b=4b=46. .
12、 法一法一 cos A=cos A= 222 2 bca bc = = 2 96163164 24 6431 = = 2 2 , , 因为因为 0 0a,ba,ca, 所以所以 a a 最小最小, ,即即 A A 为锐角为锐角. . 因此因此 A=45A=45. . 故故 C=180C=180- -A A- -B=180B=180- -4545- -6060=75=75. . 解析解析: :根据余弦定理根据余弦定理, , c c 2 2=a =a 2 2+b +b 2 2- -2abcos C=1 2abcos C=1 2 2+2 +2 2 2- -2 2 1 12 2 1 4 =4,=4,故
13、故 c=2,c=2, 法一法一 因为因为 cos C=cos C= 1 4 , ,于是于是 sin C=sin C= 2 1 1 4 = = 15 4 , ,于是于是, ,由正弦由正弦 定理定理,sin A=,sin A= sinaC c = = 15 1 4 2 = = 15 8 . . 【思维激活】【思维激活】 (2014 (2014 高考北京卷高考北京卷) )在在ABCABC 中中,a=1,b=2,cos C=,a=1,b=2,cos C= 1 4 , , 则则 c=c= ;sin A=;sin A= . . 解析解析: :根据余弦定理根据余弦定理, , c c 2 2=a =a 2 2
14、+b +b 2 2- -2abcos C=1 2abcos C=1 2 2+2 +2 2 2- -2 2 1 12 2 1 4 =4,=4,故故 c=2,c=2, 法一法一 因为因为 cos C=cos C= 1 4 , ,于是于是 sin C=sin C= 2 1 1 4 = = 15 4 , ,于是于是, ,由正弦由正弦 定理定理,sin A=,sin A= sinaC c = = 15 1 4 2 = = 15 8 . . 【思维激活】【思维激活】 (2014 (2014 高考北京卷高考北京卷) )在在ABCABC 中中,a=1,b=2,cos C=,a=1,b=2,cos C= 1 4
15、 , , 则则 c=c= ;sin A=;sin A= . . 法二法二 由由 a=1,b=2,c=2,a=1,b=2,c=2,得得 cos A=cos A= 222 221 222 = = 7 8 , ,于是于是,sin A,sin A = = 2 7 1 8 = = 15 8 . . 答案答案: :2 2 15 8 已知三边已知三边( (或三边关系或三边关系) )解三角形解三角形 题型二题型二 【例【例 2 2】 在在ABCABC 中中, ,已知已知 a=2a=26,b=6+2,b=6+23,c=4,c=43, ,求角求角 A A、B B、C.C. 解解: :在在ABCABC 中中, ,由
16、余弦定理得由余弦定理得, , cos C=cos C= 222 2 abc ab = = 222 2 662 34 3 22 6 62 3 = = 2431 24 231 = = 2 2 . . 所以所以 C=45C=45,sin C=,sin C= 2 2 . . 由正弦定理得由正弦定理得 sin A=sin A= sinaC c = = 2 2 6 2 4 3 = = 1 2 . . 因为因为 a0). 由余弦定理由余弦定理, ,得得 cos C=cos C= 222 2 abc ab = = 2 22 2 662 34 3 22 662 3 kkk kk = = 2 2 , , 所以所以
17、 C=45C=45,sin C=,sin C= 2 2 . . 以下同例题解法以下同例题解法. . 即时训练即时训练2 2 1:1:在本例中在本例中, ,把条件改为把条件改为a ab bc=2c=26(6+2(6+23) )4 43时时, , 求各角度数求各角度数. . 解析解析: :由正弦定理得由正弦定理得, , sin Asin Asin Bsin Bsin C=asin C=ab bc=3c=32 24,4, 不妨设不妨设 a=3x,b=2x,c=4x,a=3x,b=2x,c=4x, 由余弦定理得由余弦定理得 cos C=cos C= 222 2 abc ab = = 222 2 941
18、6 12 xxx x = =- - 1 4 . . 故选故选 D.D. 即时训练即时训练 2 2 2:2:在在ABCABC 中中,sin A,sin Asin Bsin Bsin C=3sin C=32 24,4,则则 cos Ccos C 的值的值 为为( ( ) ) (A)(A) 2 3 (B)(B)- - 2 3 (C)(C) 1 4 (D)(D)- - 1 4 解析解析: :由已知得由已知得(a+c)(a(a+c)(a- -c)=b(b+c),c)=b(b+c), a a 2 2- -c c2 2=b =b 2 2+bc, +bc, cos A=cos A= 222 2 bca bc
19、= = 22 2 bbbc bc = =- - 1 2 , , 所以所以 A=120A=120. . 故选故选 C.C. 【备用例【备用例 1 1】 在在ABCABC 中中, ,若若 lg(a+c)+lg(alg(a+c)+lg(a- -c)=lg bc)=lg b- -lglg 1 bc , ,则则 A A 等于等于( ( ) ) (A)90(A)90 (B)60(B)60 (C)120(C)120 (D)150(D)150 利用余弦定理判断三角形形状利用余弦定理判断三角形形状 题型三题型三 【教师备用教师备用】 如果知道如果知道a a2 2与与b b2 2+c+c2 2大小关系大小关系,
20、,怎样用余弦定理判断三角形的形状怎样用余弦定理判断三角形的形状? ? 提示提示: : (1)(1)在在ABCABC中中, ,若若a a2 2b2 2+c+c2 2, ,则则9090b2 2+c+c2 2. . 解解: :法一法一 利用边的关系来判定利用边的关系来判定. . 由正弦定理由正弦定理, ,有有 sin sin C B = = c b . . 又因为又因为 2cos Asin B=sin C,2cos Asin B=sin C,所以所以 cos A=cos A= sin 2sin C B = = 2 c b . . 由余弦定理由余弦定理, ,有有 cos A=cos A= 222 2
21、bca bc , ,所以所以 2 c b = = 222 2 bca bc , , 即即 c c 2 2=b =b 2 2+c +c 2 2- -a a2 2. .所以 所以 a=b.a=b. 又因为又因为(a+b+c)(a+b(a+b+c)(a+b- -c)=3ab,c)=3ab,所以所以(a+b)(a+b) 2 2- -c c2 2=3ab, =3ab, 所以所以 4b4b 2 2- -c c2 2=3b =3b 2 2, ,所以 所以 b=c.b=c.所以所以 a=b=c,a=b=c, 因此因此ABCABC 为等边三角形为等边三角形. . 【例【例3 3】 在在ABCABC中中, ,已知
22、已知(a+b+c)(a+b(a+b+c)(a+b- -c)=3ab,c)=3ab,且且2cos Asin B=sin C,2cos Asin B=sin C,试试 确定确定ABCABC的形状的形状. . 法二法二 利用角的关系来判定利用角的关系来判定. . 因为因为 A+B+C=180A+B+C=180, ,所以所以 sin C=sin(A+B),sin C=sin(A+B), 又因为又因为 2cos Asin B=sin C,2cos Asin B=sin C, 所以所以 2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B,2cos Asin B=sin Acos B+cos
23、 Asin B,所以所以 sin(Asin(A- -B)=0.B)=0. 因为因为 A A、B B 均为三角形的内角均为三角形的内角, ,所以所以 A=B.A=B. 又由又由(a+b+c)(a+b(a+b+c)(a+b- -c)=3ab,c)=3ab,得得(a+b)(a+b) 2 2- -c c2 2=3ab, =3ab, 即即 a a 2 2+b +b 2 2- -c c2 2=ab. =ab. 所以所以 cos C=cos C= 222 2 abc ab = = 2 ab ab = = 1 2 . . 因为因为 0 0C180C180, , 所以所以 C=60C=60. . 所以所以ABC
24、ABC 为等边三角形为等边三角形. . 题后反思题后反思 判断三角形形状的两种途径判断三角形形状的两种途径. .其一是利用正、余弦定理将条件其一是利用正、余弦定理将条件 中的角转化为边中的角转化为边, ,通过因式分解、配方等方式得出边的关系通过因式分解、配方等方式得出边的关系, ,进而判断三角形进而判断三角形 的形状的形状; ;其二是利用正、余弦定理将条件中的边转化为角其二是利用正、余弦定理将条件中的边转化为角, ,通过三角变换通过三角变换, ,得出得出 各内角间的关系各内角间的关系, ,进而判断三角形的形状进而判断三角形的形状. . 解解: :由由 cos A=cos A= sin sin
25、B C , , 得得 cos A=cos A= b c , , 即即 222 2 bca bc = = b c , , 所以所以 b b 2 2+c +c 2 2- -a a2 2=2b =2b 2 2, , 即即 a a 2 2+b +b 2 2=c =c 2 2, , 因此因此ABCABC 是以是以 C C 为直角的直角三角形为直角的直角三角形. . 即时训练即时训练 3 3 1:1:在在ABCABC 中中, ,若若 cos A=cos A= sin sin B C , ,试判断其形状试判断其形状. . 解解: :法一法一 结合正弦定理及余弦定理知结合正弦定理及余弦定理知, ,原等式可化为
26、原等式可化为 （a a- -c c 222 2 acb ac ）b=b=( (b b- -c c 222 2 bca bc ) )a,a, 整理得整理得(a(a 2 2+b +b 2 2- -c c2 2)b )b 2 2=(a =(a 2 2+b +b 2 2- -c c2 2)a )a 2 2, , 所以所以 a a 2 2+b +b 2 2- -c c2 2=0 =0 或或 a a 2 2=b =b 2 2, , 故三角形为等腰三角形或直角三角形故三角形为等腰三角形或直角三角形. . 法二法二 由题由题(sin A(sin A- -sin Ccos B)sin B=(sin Bsin C
27、cos B)sin B=(sin B- -sin Ccos A)sin A,sin Ccos A)sin A, 即即 sin Csin Bcsin Csin Bcos B=sin Csin Acos A,os B=sin Csin Acos A,即即 sin 2B=sin 2A,sin 2B=sin 2A, 则则 A=BA=B 或或 A+B=A+B= 2 , ,得得ABCABC 是等腰三角形或直角三角形是等腰三角形或直角三角形. . 【备用例备用例2 2】 在在ABCABC中中, ,若若(a(a- -ccos B)sin B=(bccos B)sin B=(b- -ccos A)sin A,ccos A)sin A, 判断判断ABCABC的形状的形状. . 点击进入课时作业点击进入课时作业 点击进入周练卷点击进入周练卷 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
