1、第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理(二) 1.熟练掌握余弦定理及变形形式，能用余弦定理解三角形. 2.能应用余弦定理判断三角形形状. 3.能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 1. a sin A b sin B c sin C . 2.a ，b ，c . 知识梳理 自主学习 知识点一 正弦定理及其变形 2Rsin A 2Rsin B 2R 答案 2Rsin C 知识点二 余弦定理及其推论 1.a2 ，b2 ，c2 . 2.cos A ，cos B ，cos C . 3.在ABC中
2、，c2a2b2C为 ，c2a2b2C为钝角；c2c，已 知BA BC 2，cos B1 3，b3，求： (1)a和c的值； (2)cos(BC)的值. 解析答案 反思与感悟 sin B1cos2B 11 3 22 2 3 . 解 在ABC中，B(0，)， 由正弦定理得，sin Cc bsin B 2 3 2 2 3 4 2 9 . 因为abc，所以C为锐角， 因此 cos C1sin2C 14 2 9 27 9. 于是 cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C1 3 7 9 2 2 3 4 2 9 23 27. 解析答案 跟踪训练 2 在ABC 中，内角 A，B，C 对边分别为
3、a，b，c，且 bsin A 3acos B. 解 由 bsin A 3acos B 及正弦定理， 得 sin B 3cos B， 即 tan B 3，因为 B 是三角形的内角，所以 B 3. (1)求角B； 解析答案 由余弦定理及 b3，得 9a2c22accos 3， 即 9a24a22a2，所以 a 3, c2 3. (2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值. 解 由sin C2 sin A及正弦定理得，c2a. 题型三 利用正弦、余弦定理证明边角恒等式 解析答案 反思与感悟 例 3 在ABC 中， A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 求证： a2b2 c2 sin
4、AB sin C . 解析答案 跟踪训练 3 在ABC 中，若 acos2C 2 ccos2 A 2 3b 2 ，求证：ac2b. 解 由题a(1cos C)c(1cos A)3b， 即 aa a2b2c2 2ab cc b2c2a2 2bc 3b， 2aba2b2c22bcb2c2a26b2， 整理得abbc2b2，同除b得ac2b， 故等式成立. 忽略三角形中任意两边之和大于第三边 易错点 例4 已知钝角三角形的三边BCak，ACbk2，ABck4， 求k的取值范围. 解析答案 误区警示 跟踪训练4 若ABC为钝角三角形，三边长分别为2,3，x，则x的取值 范围是( ) 解析答案 A.(1
5、， 5) B.( 13，5) C.( 5， 13) D.(1， 5)( 13，5) 解析 (1)若 x3，则 x 对角的余弦值2 232x2 223 x， 解得 130 13a 1a3 ，解得 2 2a 10. A.(8,10) B.(2 2， 10) C.(2 2，10) D.( 10，8) 解析答案 4.已知锐角三角形的边长分别为1,3，a，则a的范围是( ) 解析 只需让3和a所对的边均为锐角即可. B 1 2 3 4 5 6 解析 由余弦定理得c2a2b22abcos C， a21a3，即a2a20， 解得a1或a2(舍). 解析答案 5.在ABC 中，若 b1，c 3，C2 3 ，则
6、 a . 1 1 2 3 4 5 6 解析答案 解析 4 所对的角的余弦为2 23242 223 1 40， 6.已知ABC的三边长分别为2,3,4，则此三角形是 三角形. 故该角为钝角，故该三角形为钝角三角形. 钝角 1 2 3 4 5 6 课堂小结 1.判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一 为角之间的关系或边之间的关系.若统一为角之间的关系，再利用三角恒 等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方 法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系. 2.解决综合问题时应考虑以下两点 (1)正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试 题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时，要及时考虑 另外一个定理. (2)三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的，应该养成应用 三角公式列式化简的习惯. 返回
