1、3.33.3 二元一次不等式二元一次不等式( (组组) )与简单的线性规划问题与简单的线性规划问题 3.3.13.3.1 二元一次不等式二元一次不等式( (组组) )与平面区域与平面区域 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.知道什么是二元一次不等式及二元一次不等式组知道什么是二元一次不等式及二元一次不等式组. . 2.2.了解二元一次不等式的几何意义了解二元一次不等式的几何意义, ,并会画其表示的平面区域并会画其表示的平面区域. . 3.3.能从实际情境中抽象出二元一次不等式组能从实际情境中抽象出二元一次不等式组, ,并能用平面区域表示二并能用平面区域表示二 元一次不
2、等式组的解元一次不等式组的解. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 1.1.二元一次不等式二元一次不等式( (组组) )的概念的概念 (1)(1)二元一次不等式二元一次不等式: :我们把含有两个未知数我们把含有两个未知数, ,并且未知数的次数是并且未知数的次数是1 1的不的不 等式称为二元一次不等式等式称为二元一次不等式. . (2)(2)二元一次不等式组二元一次不等式组: :由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元 一次不等式组一次不等式组. . (3)(3)二元一次不等式二元一次不等式( (组组) )的解集的解集: :满足二元一次不等式满足二
3、元一次不等式( (组组) )的的x x和和y y的取值的取值 构成构成 , ,所有这样的所有这样的 构成的集合称为二元一构成的集合称为二元一 次不等式次不等式( (组组) )的解集的解集. . 有序数对有序数对(x,y)(x,y) 有序数对有序数对(x,y)(x,y) 2.2.二元一次不等式表示的平面区域二元一次不等式表示的平面区域 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,二元一次不等式二元一次不等式Ax+By+C0Ax+By+C0表示直线表示直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0某一某一 侧所有点组成的平面区域侧所有点组成的平面区域. .我们把直线画成我们把直线画成 , ,以表示区域不包
4、括边界以表示区域不包括边界. . 3.3.二元一次不等式表示的平面区域的确定二元一次不等式表示的平面区域的确定 对于直线对于直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0同一侧的所有点同一侧的所有点, ,把它的坐标把它的坐标(x,y)(x,y)代入代入Ax+By+C,Ax+By+C,所得所得 的符号都的符号都 , ,因此只需在直线因此只需在直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0的同一侧取某个特殊点的同一侧取某个特殊点(x(x0 0,y,y0 0) ) 作为测试点作为测试点, ,由由AxAx0 0+By+By0 0+C+C的符号就可以断定的符号就可以断定Ax+By+C0Ax+By+C0表示的是直线表
5、示的是直线 Ax+By+C=0Ax+By+C=0哪一侧的平面区域哪一侧的平面区域. . 虚线虚线 相同相同 自我检测自我检测 B B 1.(1.(二元一次不等式表示的区域二元一次不等式表示的区域) )在直角坐标系中在直角坐标系中, ,满足不等式满足不等式 x x 2 2- -y y2 2 0 0 的点的点(x,y)(x,y)的集合的集合( (用阴影部分来表示用阴影部分来表示) )的是的是( ( ) ) 解析解析: :x x 2 2- -y y2 2 0,0,即即(x(x- -y)(x+y)y)(x+y)0,0,代入点代入点(1,0)(1,0)和和( (- -1,0)1,0)均成均成 立立, ,
6、故选故选 B.B. 2.2.不在不等式不在不等式 3x+2y0 表示阴影部分表示阴影部分. .故选故选 B.B. 3. 3. 图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是( ( ) ) (A)x+y(A)x+y- -10 (C)x(C)x- -y y- -10 B B 4.(4.(二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域) )不等式组不等式组 360, 20 xy xy 表示表示 的平面区域的平面区域( (图中虚线表示图中虚线表示 y=x+2,y=x+2,实线表示实线表示 y=y= 3 x +2+2) )是是( ( ) ) 解析解析: :
7、取原点代入取原点代入, ,选选 B.B. B B 5.(5.(二元一次不等式或不等式组所表示区域的应用二元一次不等式或不等式组所表示区域的应用) )已知点已知点(3,1)(3,1)和和 ( (- -4,6)4,6)在直线在直线 3x3x- -2y+a=02y+a=0 的异侧的异侧, ,则则 a a 的取值范围是的取值范围是 . . 解析解析: :由题意知由题意知(3(33 3- -2 21+a)1+a)33( (- -4)4)- -2 26+a0, 则包含此点则包含此点P P的半平面为不等式的半平面为不等式Ax+By+C0Ax+By+C0所表示的平面区域所表示的平面区域, ,不包含点不包含点
8、P P的半平面为不等式的半平面为不等式Ax+By+C0Ax+By+C0所表示的平面区域所表示的平面区域. . (2)(2)观察法观察法 y=kx+by=kx+b 表示的直线将平面分成两部分表示的直线将平面分成两部分, ,即即 ykx+bykx+b 表示直线上方的半平面区表示直线上方的半平面区 域域,y0(或或0) B0B0 B0 右上方右上方 右下方右下方 Ax+By+C3 表示直线表示直线 x x- -2y2y- -3=03=0 右下方的区域右下方的区域. . 不等式不等式 x+2yx+2y0 0 表示直线表示直线 x+2y=0x+2y=0 及右上方的区域及右上方的区域. . 所以不等式组表
9、示的平面区域如图所示所以不等式组表示的平面区域如图所示. . 二元一次不等式二元一次不等式( (组组) )表示的平面区域的面积与整点个数问题表示的平面区域的面积与整点个数问题 题型二题型二 【例【例 2 2】 已知不等式组已知不等式组 0, 0, 4312. x y xy (1)(1)画出不等式组表示的平面区域画出不等式组表示的平面区域; ; (2)(2)求不等式组所表示的平面区域的面积求不等式组所表示的平面区域的面积; ; (3)(3)求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标. . 解解: :(1)(1)不等式不等式 4x+3y4x+3y1212 表示直线
10、表示直线 4x+3y=124x+3y=12 上及其左下方的点的上及其左下方的点的 集合集合;x0;x0 表示直线表示直线 x=0x=0 右方的所有点的集合右方的所有点的集合;y0;y0 表示直线表示直线 y=0y=0 上上 方的所有点的集合方的所有点的集合, ,故不等式组表示的平面区域如图故不等式组表示的平面区域如图(1)(1)所示所示. . (2)(2)如图如图(1)(1)所示所示, ,不等式组表示的平面区域为直角三角形不等式组表示的平面区域为直角三角形, ,其面积其面积 S=S= 1 2 4 43=6.3=6. (3)(3)当当 x=1x=1 时时, ,代入代入 4x+3y4x+3y12,
11、12,得得 y=y= 8 3 , ,所以整点为所以整点为(1,2),(1,1).(1,2),(1,1). 当当 x=2x=2 时时, ,代入代入 4x+3y4x+3y12,12,得得 y y 4 3 , ,所以整点为所以整点为(2,1).(2,1). 所以区域内整点共有所以区域内整点共有 3 3 个个, ,其坐标分别为其坐标分别为(1,1),(1,2),(2,1).(1,1),(1,2),(2,1).如图如图(2).(2). 题后反思题后反思 求平面区域面积的一般步骤求平面区域面积的一般步骤: : 第一步第一步: :画出不等式组表示的平面区域画出不等式组表示的平面区域; ; 第二步第二步: :
12、根据区域的形状设计计算过程根据区域的形状设计计算过程, ,必要时可采用必要时可采用“割补法割补法”; ; 第三步第三步: :求出区域的顶点坐标求出区域的顶点坐标; ; 第四步第四步: :通过相应的距离公式、面积公式求出区域的面积通过相应的距离公式、面积公式求出区域的面积. . 解析解析: :画出可行域画出可行域, ,如图所示如图所示, , 由由 320, 240, xy xy 得得 A(8,A(8,- -2),2), 所以所以 S=S= 1 2 2 22+2+ 1 2 2 22=4.2=4. 【思维激活】【思维激活】 (2014 (2014 高考安徽卷高考安徽卷) )不等式组不等式组 20,
13、240, 320 xy xy xy 表示的平面区域表示的平面区域 的面积为的面积为 . . 答案答案:4:4 解解: :在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,作出作出 x+yx+y- -2=0,x2=0,x- -y+2=0y+2=0 和和 x=2x=2 三条直线三条直线, ,利用特殊点利用特殊点(0,0)(0,0)可知可行可知可行 域如图阴影部分所示域如图阴影部分所示, ,其面积其面积 S=4S=42 2 1 2 =4.=4. 即时训练即时训练 2 2 1:1:在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,求不等式组求不等式组 20, 20, 2 xy xy x 表示的平表示的平 面区域的面积
14、面区域的面积. . 解析解析: :不等式组不等式组 10, 10 xy x 表示的平面区域为图中阴影部分表示的平面区域为图中阴影部分, , 又因为又因为 axax- -y+1=0y+1=0 恒过定点恒过定点 (0,1),(0,1),当当 a=0a=0 时时, ,不等式组不等式组 10, 10, 10, xy x axy 所表示的平面区域的面积为所表示的平面区域的面积为 1 2 , ,不合题意不合题意; ;当当 a0 时时, ,所围成的平面区域为如图所示的三角形所围成的平面区域为如图所示的三角形, ,其面积为其面积为 S=S= 1 2 1 1(a+1)=2,(a+1)=2,解得解得 a=3.a=
15、3. 【备用例【备用例 2 2】 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,若不等式组若不等式组 10, 10, 10, xy x axy (a(a 为常数为常数) ) 所表示的平面区域的面积等于所表示的平面区域的面积等于 2,2,则则 a a 的值为的值为 . . 答案答案:3:3 二元一次不等式组表示平面区域的应用二元一次不等式组表示平面区域的应用 题型三题型三 【例【例 3 3】 一工厂生产甲、乙两种产品一工厂生产甲、乙两种产品, ,生产每种生产每种 1 t1 t 产品的资源需求产品的资源需求 如表如表: : 品种品种 电力电力/kW/kWh h 煤煤/t/t 工人工人/ /人人 甲甲
16、2 2 3 3 5 5 乙乙 8 8 5 5 2 2 该厂有工人该厂有工人 200200人人, ,每天只能保证每天只能保证 160 kW160 kWh h 的用电额度的用电额度, ,每天用煤不每天用煤不 得超过得超过 150 t,150 t,请在平面直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许请在平面直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许 的产量的范围的产量的范围. . 解解: :设每天分别生产甲、乙两种产品设每天分别生产甲、乙两种产品 x tx t 和和 y t,y t,生产生产 x tx t 甲产品和甲产品和 y y t t 乙产品的用电量是乙产品的用电量是(2x+8y) kW(2x+8y) k
17、Wh,h,根据条件根据条件, ,有有 2x+8y2x+8y160;160;用煤用煤 量为量为(3x+5y) t,(3x+5y) t,根据条件有根据条件有 3x+5y3x+5y150;150;用工人数为用工人数为 5x+2y5x+2y200;200; 另外另外, ,还有还有 x x0,y0,y0.0. 综上所述综上所述,x,x、y y 应满足不等式组应满足不等式组 28160, 35150, 52200, 0,0. xy xy xy xy 甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的 平面区域平面区域, ,即如图所示的阴影部分即如图所示的阴影部分( (含边
18、界含边界):): 题后反思题后反思解决此类问题应先根据问题的需要选取起关键作用的、关解决此类问题应先根据问题的需要选取起关键作用的、关 联较多的量用两个字母表示联较多的量用两个字母表示, ,进而问题中的所有量都用这两个字母表进而问题中的所有量都用这两个字母表 示出来示出来, ,再由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量的实际意再由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量的实际意 义写出所有的不等式义写出所有的不等式, ,再由这些不等式所组成的不等式组用平面区域再由这些不等式所组成的不等式组用平面区域 表示出来即可表示出来即可. . 解解: :设每月生产甲产品设每月生产甲产品 x x 件件,
19、,每月生产乙产品每月生产乙产品 y y 件件, , 则则 x x、y y 满足满足 02500, 01200, 4614000, 6812000, x y xy xy 即即 02500, 01200, 237000, 346000. x y xy xy 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,画出上述不等式组表示的平面区域画出上述不等式组表示的平面区域, ,如图阴影部分所如图阴影部分所示示. . 即时训练即时训练 3 3 1:1:某厂使用两种零件某厂使用两种零件 A A、B B 装配甲、乙两种产品装配甲、乙两种产品, ,该厂的生产该厂的生产 能力是每月生产甲产品最多能力是每月生产甲产品最多2
20、5002500件件, ,每月生产乙产品最多每月生产乙产品最多12001200件件, ,而且装而且装 一件甲产品需要一件甲产品需要 4 4 个个 A,6A,6 个个 B,B,装一件乙产品需要装一件乙产品需要 6 6 个个 A,8A,8 个个 B,B,该厂每月该厂每月 能用的能用的 A A 最多有最多有 1400014000 个个,B,B 最多有最多有 1200012000 个个, ,用不等式组将甲、乙两种产用不等式组将甲、乙两种产 品产量之间的关系表示出来品产量之间的关系表示出来, ,并画出相应的平面区域并画出相应的平面区域. . 解解: :设设 x,yx,y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的
21、车皮数分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数, , 则满足以下条件则满足以下条件 410, 181566, 0, 0. xy xy x y 在直角坐标系中完成不等式组所表示的平面区域在直角坐标系中完成不等式组所表示的平面区域, ,如图阴影部分如图阴影部分. . 【备用例【备用例 3 3】 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料, ,生产生产 1 1 车皮甲种肥料的主车皮甲种肥料的主 要原料是磷酸盐要原料是磷酸盐4 4吨吨, ,硝酸盐硝酸盐1818吨吨; ;生产生产1 1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1 1 吨吨, ,硝酸盐硝酸盐 1515 吨吨. .现库存磷酸盐现库存磷酸盐 1010 吨吨, ,硝酸盐硝酸盐 6666 吨吨, ,在此基础上生产这两种混在此基础上生产这两种混 合肥料合肥料. .列出满足生产条件的数学关系式列出满足生产条件的数学关系式, ,并画出相应的平面区域并画出相应的平面区域. . 点击进入课时作业点击进入课时作业 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
