1、3.2.23.2.2 直线的两点式方程直线的两点式方程 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.了解直线方程的两点式的推导过程了解直线方程的两点式的推导过程. . 2.2.会利用两点式求直线的方程会利用两点式求直线的方程. . 3.3.掌握直线方程的截距式掌握直线方程的截距式, ,并会应用并会应用. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 1.1.直线的两点式方程直线的两点式方程 (1)(1)定义定义: :如图所示如图所示, ,直线直线 l l 经过点经过点 P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2)()(其中其中 x x1
2、1x x2 2,y,y1 1y y2 2),),则方程则方程 1 21 yy yy = = 1 21 xx xx 叫做直线叫做直线 l l 的两点式方程的两点式方程, ,简称两点式简称两点式. . (2)(2)说明说明: :与坐标轴垂直的直线没有两点式方程与坐标轴垂直的直线没有两点式方程. . 2.2.直线的截距式方程直线的截距式方程 (1)(1)定义定义: :如图所示如图所示, ,直线直线 l l 与两个坐标轴的交点分别是与两个坐标轴的交点分别是 P P1 1(a,0),P(a,0),P2 2(0,b)(0,b)(其中其中 a a0,b0,b 0),0),则方程则方程1 xy ab 叫做直线
3、叫做直线 l l 的截距式方程的截距式方程, ,简称截距式简称截距式. . (2)(2)说明说明: :一条直线与一条直线与x x轴的交点轴的交点(a,0)(a,0)的横坐标的横坐标a a叫做直线在叫做直线在x x轴轴 上的截距上的截距. .与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式. . 3.3.线段线段 P P1 1P P2 2的中点坐标公式的中点坐标公式 若点若点 P P1 1,P,P2 2的坐标分别为的坐标分别为(x(x1 1,y,y1 1),(x),(x2 2,y,y2 2) )且线段且线段 P P1 1P P2 2的中点的中点 M M 的坐标为的坐标
4、为(x,y),(x,y), 则则 12 12 , 2 . 2 xx x yy y 自我检测自我检测 1.(1.(直线两点式方程直线两点式方程) )过点过点 A(5,6)A(5,6)和点和点 B(B(- -1,2)1,2)的直线的两点式方程是的直线的两点式方程是( ( ) ) (A)(A) 5 6 y x = = 1 2 y x (B)(B) 6 26 y = = 5 15 x (C)(C) 26 6y = = 15 5x (D)(D) 6 26 x = = 5 15 y 2.(2.(直线截距式方程直线截距式方程) )在在 x,yx,y 轴上的截距分别是轴上的截距分别是- -3,43,4 的直线
5、方程是的直线方程是( ( ) ) (A)(A) 3 x + + 4 y =1=1 (B)(B) 3 x + + 4 y =1=1 (C)(C) 3 x - - 4 y =1=1 (D)(D) 4 x + + 3 y =1=1 3.(3.(直线截距式方程直线截距式方程) )直线直线 3 x - - 4 y =1=1 在两坐标轴上的截距之和为在两坐标轴上的截距之和为( ( ) ) (A)1(A)1 (B)(B)- -1 1 (C)7(C)7 (D)(D)- -7 7 B B A A B B 4.(4.(中点坐标公式中点坐标公式) )若已知若已知A(1,2)A(1,2)及及ABAB中点中点(2,3)
6、,(2,3),则则B B点的坐标是点的坐标是 . . 答案答案: :(3,4)(3,4) 5.(5.(直线两点式方程直线两点式方程) )经过点经过点A(3,2),B(4,3)A(3,2),B(4,3)的直线方程是的直线方程是 . . 答案答案: :x x- -y y- -1=01=0 课堂探究课堂探究 直线的两点式方程直线的两点式方程 题型一题型一 【教师备用教师备用】 1.1.直线的两点式方程运用条件是什么直线的两点式方程运用条件是什么? ? 提示提示: :当直线斜率不存在当直线斜率不存在(x(x1 1=x=x2 2) )或斜率为零或斜率为零(y(y1 1=y=y2 2) )时时, ,不能用
7、两点式表示不能用两点式表示. . 2.2.方程方程 1 21 yy yy = = 1 21 xx xx 和方程和方程(y(y- -y y1 1)(x)(x2 2- -x x1 1)=(x)=(x- -x x1 1)(y)(y2 2- -y y1 1) )适用范围有何不同适用范围有何不同? ? 提示提示: :前者不能表示垂直于坐标轴的直线前者不能表示垂直于坐标轴的直线, ,后者适用于过任意已知两后者适用于过任意已知两 点的直线点的直线. . 【例【例1 1】 已知已知ABCABC三个顶点坐标三个顶点坐标A(2,A(2,- -1),B(2,2),C(4,1),1),B(2,2),C(4,1),求三
8、角形三求三角形三 条边所在的直线方程条边所在的直线方程. . 解解: :因为因为 A(2,A(2,- -1),B(2,2),A1),B(2,2),A、B B 两点横坐标相同两点横坐标相同, ,直线直线 ABAB 与与 x x 轴垂直轴垂直, , 故其方程为故其方程为 x=2.x=2. 因为因为 A(2,A(2,- -1),C(4,1),1),C(4,1), 由直线方程的两点式可得由直线方程的两点式可得 ACAC 的方程为的方程为 1 1 1 y = = 4 24 x , ,即即 x x- -y y- -3=0.3=0. 同理可由直线方程的两点式得直线同理可由直线方程的两点式得直线 BCBC 的
9、方程为的方程为 2 12 y = = 2 42 x , ,即即 x+2yx+2y- -6=0.6=0. 所以三边所以三边 ABAB、ACAC、BCBC 所在的直线方程分别为所在的直线方程分别为 x=2,xx=2,x- -y y- -3=0,x+2y3=0,x+2y- -6=0.6=0. 题后反思题后反思 求直线的两点式方程的策略以及注意点求直线的两点式方程的策略以及注意点 (1)(1)当已知两点坐标当已知两点坐标, ,求过这两点的直线方程时求过这两点的直线方程时, ,首先要判断是否满足两首先要判断是否满足两 点式方程的适用条件点式方程的适用条件: :两点的连线不垂直于坐标轴两点的连线不垂直于坐
10、标轴, ,若满足若满足, ,则考虑用两则考虑用两 点式求方程点式求方程. . (2)(2)由于减法的顺序性由于减法的顺序性, ,一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的 顺序错位而导致错误顺序错位而导致错误. .在记忆和使用两点式方程时在记忆和使用两点式方程时, ,必须注意坐标的对应必须注意坐标的对应 关系关系. . 解解: :由两点式由两点式, ,直线直线 ABAB 方程为方程为 1 01 y = = 3 13 x , ,即即 x+4y+1=0.x+4y+1=0. 同理同理, ,直线直线 BCBC 方程为方程为 3 13 y = = 1 31 x
11、, , 即即 2x+y2x+y- -5=0.5=0. 直线直线 ACAC 方程为方程为 3 03 y = = 1 1 1 x , , 即即 3x3x- -2y+3=0.2y+3=0. 即时训练即时训练1 1- -1:1:三角形的三个顶点是三角形的三个顶点是A(A(- -1,0),B(3,1,0),B(3,- -1),C(1,3),1),C(1,3),求三角形求三角形 三边所在直线的方程三边所在直线的方程. . 直线的截距式方程直线的截距式方程 题型二题型二 【教师备用教师备用】 1.1.直线的截距式方程适用的条件是什么直线的截距式方程适用的条件是什么? ? 2.2.方程方程 2 x - - 3
12、 y =1=1 和和 2 x + + 3 y = =- -1 1 都是直线的截距式方程吗都是直线的截距式方程吗? ? 提示提示: :截距存在且不为零截距存在且不为零, ,过原点的直线过原点的直线, ,与坐标轴垂直的直线都不能与坐标轴垂直的直线都不能 用截距式方程表示用截距式方程表示. . 提示提示: :都不是都不是. .截距式方程的特点有两个截距式方程的特点有两个, ,一是中间必须用一是中间必须用“+ +”号连接号连接, , 二是等号右边为二是等号右边为1.1. 解解: :当直线过原点时当直线过原点时, ,设直线的方程为设直线的方程为 y=kx,y=kx,由直线过点由直线过点(1,2),(1,
13、2),可得可得 2=12=1k,k,即即 k=2,k=2,所以直线所以直线 l l 的方程为的方程为 y=2x;y=2x;当直线不过原点时当直线不过原点时, ,设直线的设直线的 方程为方程为 x a + + y b =1,=1,由题意可知由题意可知 , 12 1, ab ab 解得解得 3, 3, a b 所以直线所以直线 l l 的方程的方程 为为 3 x + + 3 y =1,=1,即即 y=y=- -x+3.x+3. 故直线故直线 l l 的方程为的方程为 y=2xy=2x 或或 y=y=- -x+3.x+3. 【例【例 2 2】 直线直线 l l 过点过点(1,2),(1,2),且在且
14、在 x x 轴、轴、y y 轴上的截距相等轴上的截距相等, ,求直线求直线 l l 的方程的方程. . 题后反思题后反思 利用截距式求直线方程的策略利用截距式求直线方程的策略 (1)(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交如果问题中涉及直线与坐标轴相交, ,则可考虑选用截距式求直线方则可考虑选用截距式求直线方 程程, ,用待定系数法确定其系数即可用待定系数法确定其系数即可; ; (2)(2)选用截距式求直线方程时选用截距式求直线方程时, ,必须首先考虑直线能否过原点以及能否必须首先考虑直线能否过原点以及能否 与两坐标轴垂直与两坐标轴垂直. .如果题中出现直线在两坐标轴上的如果题中出现直线在两坐标轴
15、上的“截距相等截距相等”“”“截截 距互为相反数距互为相反数”等条件时等条件时, ,采用截距式求直线方程采用截距式求直线方程, ,要注意考虑要注意考虑“零截零截 距距”的情况的情况. . 解解: :由题意可设由题意可设 A(a,0),B(0,b),A(a,0),B(0,b), 由中点坐标公式可得由中点坐标公式可得 0 4, 2 0 1. 2 a b 解得解得 8, 2, a b 所以所以 A(8,0),B(0,2).A(8,0),B(0,2). 由直线方程的截距式得直线由直线方程的截距式得直线 l l 的方程为的方程为 8 x + + 2 y =1,=1,即即 x+4yx+4y- -8=0.8
16、=0. 即时训练即时训练2 2- -1:1:已知直线已知直线l l与与x x轴、轴、y y轴分别交于轴分别交于A,BA,B两点且线段两点且线段ABAB的中点为的中点为P(4,1),P(4,1),求求 直线直线l l的方程的方程. . 【思维激活】【思维激活】 (2015(2015日照一中月考日照一中月考) )过过A(1,4)A(1,4)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等且在两坐标轴上的截距的绝对值相等 的直线共有的直线共有 条条. . 解析解析: :一条是截距为一条是截距为0,0,一条是截距相等一条是截距相等( (不为不为0),0),一条是截距互为相反一条是截距互为相反 数数( (不为不为0)0
17、)共三条共三条. . 答案答案: :3 3 【备用例【备用例1 1】 (2015(2015青岛一中联考青岛一中联考) )已知直线已知直线l l在在x x轴上的截距比在轴上的截距比在y y轴上的截距大轴上的截距大1,1, 且过定点且过定点(6,(6,- -2),2),求直线求直线l l的方程的方程. . 解解: :设直线设直线 l l 在在 y y 轴上的截距为轴上的截距为 b,b,则直线则直线 l l 在在 x x 轴上的截距为轴上的截距为 b+1,b+1, 所以直线所以直线 l l 的方程为的方程为 1 x b + + y b =1,=1, 又直线又直线 l l 过点过点(6,(6,- -2
18、),2),所以所以 6 1b + + 2 b =1,=1,得得 b=1b=1 或或 b=2.b=2. 所以直线所以直线 l l 的方程为的方程为 2 x +y=1+y=1 或或 3 x + + 2 y =1.=1. 【备用例【备用例2 2】 求过点求过点A(4,2),A(4,2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l l的方程的方程. . 解解: :当直线过原点时当直线过原点时, ,它在它在 x x 轴、轴、y y 轴上的截距都是轴上的截距都是 0,0, 满足题意满足题意. .此时此时, ,直线的斜率为直线的斜率为 1 2 , ,所以直线方程为所以直线
19、方程为 y=y= 1 2 x.x. 当直线不过原点时当直线不过原点时, ,由题意可设直线方程为由题意可设直线方程为 x a + + y b =1,=1, 又过点又过点 A,A,所以所以 4 a + + 2 b =1=1 . . 因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等, ,所以所以|a|=|b|a|=|b| . . 由联立方程组由联立方程组, ,解得解得 6, 6, a b 或或 2, 2. a b 所以所求直线的方程为所以所求直线的方程为 6 x + + 6 y =1=1 或或 2 x + + 2 y =1,=1, 化简得直线化简得直线 l l 的方程为的
20、方程为 x+y=6x+y=6 或或 x x- -y=2.y=2. 综上综上, ,直线直线 l l 的方程为的方程为 y=y= 1 2 x x 或或 x+y=6x+y=6 或或 x x- -y=2.y=2. 直线方程的应用直线方程的应用 题型三题型三 解解: :(1)(1)存在存在. .设直线方程为设直线方程为 x a + + y b =1(a0,b0),=1(a0,b0), 由题意可知由题意可知,a+b+,a+b+ 22 ab=12.=12. 又因为直线过点又因为直线过点 P P（ 4 3 ,2,2）, , 所以所以 4 3a + + 2 b =1,=1, 【例【例 3 3】 直线过点直线过点
21、 P P（ 4 3 ,2,2）且与且与 x x 轴、轴、y y 轴的正半轴分别交于轴的正半轴分别交于 A A、B B 两点两点,O,O 为坐为坐 标原点标原点, ,是否存在这样的直线分别满足下列条件是否存在这样的直线分别满足下列条件: : (1)(1)AOBAOB 的周长为的周长为 12;12; (2)(2)AOBAOB 的面积为的面积为 6.6. 若存在若存在, ,求出直线的方程求出直线的方程; ;若不存在若不存在, ,请说明理由请说明理由. . 由由可得可得 5a5a 2 2- -32a+48=0, 32a+48=0, 解得解得 4, 3 a b 或或 12 , 5 9 . 2 a b 所
22、以所求直线的方程为所以所求直线的方程为 4 x + + 3 y =1=1 或或 5 12 x + + 2 9 y =1,=1,即即 3x+4y3x+4y- -12=012=0 或或 15x+8y15x+8y- -36=0.36=0. (2)(2)存在存在. .设直线方程为设直线方程为 x a + + y b =1(a0,b0),=1(a0,b0), 由题意可知由题意可知 12, 42 1, 3 ab ab 解得解得 4, 3 a b 或或 2, 6. a b 所以所求直线的方程为所以所求直线的方程为 4 x + + 3 y =1=1 或或 2 x + + 6 y =1,=1,即即 3x+4y3
23、x+4y- -12=012=0 或或 3x+y3x+y- -6=0.6=0. 题后题后反思反思 解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时, ,一般选择一般选择 直线方程的截距式直线方程的截距式, ,若设直线在若设直线在 x x 轴轴,y,y 轴上的截距分别为轴上的截距分别为 a,b,a,b,则直线与坐标则直线与坐标 轴所围成的三角形面积为轴所围成的三角形面积为 S=S= 1 2 |a|b|.|a|b|.周长周长 c=|a|+|b|+c=|a|+|b|+ 22 ab. . 解析解析: :设直线在设直线在 x x 轴、轴、y y 轴上的截距分别是轴上
24、的截距分别是 a a、b,b,则有则有 S=S= 1 2 |a|ab|=1.b|=1.所以所以 ab=ab=2.2.直线的方程是直线的方程是 x a + + y b =1.=1.因为直线过点因为直线过点( (- -2,2).2,2).代入直线方程得代入直线方程得 2 a + + 2 b =1,=1,即即 b=b= 2 2 a a . .所以所以 ab=ab= 2 2 2 a a = =2.2.解得解得 1, 2 a b 或或 2, 1. a b 所以直所以直 线方程是线方程是 1 x + + 2 y =1=1 或或 2 x + + 1 y =1,=1,即即 2x+y+2=02x+y+2=0 或或 x+2yx+2y- -2=0.2=0. 即时训练即时训练3 3- -1:1:一条直线经过点一条直线经过点A(A(- -2,2),2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面并且与两坐标轴围成的三角形的面 积为积为1,1,则此直线的方程为则此直线的方程为 . . 答案答案: :2x+y+2=02x+y+2=0或或x+2yx+2y- -2=02=0 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
