1、3.2.33.2.3 直线的一般式方程直线的一般式方程 自主预习自主预习 课堂探究课堂探究 自主预习自主预习 1.1.了解二元一次方程与直线的对应关系了解二元一次方程与直线的对应关系. . 2.2.掌握直线方程的一般式掌握直线方程的一般式. . 3.3.能根据所给条件求直线方程能根据所给条件求直线方程, ,并能在几种形式间相互转化并能在几种形式间相互转化. . 课标要求课标要求 知识梳理知识梳理 (3)(3)系数的几何意义系数的几何意义: : 当当 B B0 0 时时, ,则则- - A B =k(=k(斜率斜率),),- - C B =b(y=b(y 轴上的截距轴上的截距);); 当当 B=
2、0,AB=0,A0 0 时时, ,则则- - C A =a(x=a(x 轴上的截距轴上的截距),),此时不存在斜率此时不存在斜率. . 直线的一般式方程直线的一般式方程 (1)(1)定义定义: :关于关于x,yx,y的二元一次方程的二元一次方程 ( (其中其中A,BA,B不同时为不同时为0)0)叫做直叫做直 线的一般式方程线的一般式方程, ,简称一般式简称一般式. . (2)(2)适用范围适用范围: :平面直角坐标系中平面直角坐标系中, ,任何一条直线都可用一般式表示任何一条直线都可用一般式表示. . Ax+By+C=0Ax+By+C=0 (4)(4)二元一次方程与直线的关系二元一次方程与直线
3、的关系: :二元一次方程的每一组解都可以看成平二元一次方程的每一组解都可以看成平 面直角坐标系中一个点的坐标面直角坐标系中一个点的坐标. .这个方程的全体解组成的集合这个方程的全体解组成的集合, ,就是坐标就是坐标 满足二元一次方程的全体点的集合满足二元一次方程的全体点的集合, ,这些点的集合就组成了一条直线这些点的集合就组成了一条直线. .二二 元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的. . 自我检测自我检测 1.(1.(一般式的应用一般式的应用) )直线直线 x x- -3y+1=0y+1=0 的斜率为的斜率为( ( ) ) (A)(A)
4、 3 3 (B)(B)- - 3 3 (C)(C)3 (D)(D)- -3 2.(2.(求直线的一般式方程求直线的一般式方程) )过点过点 M(M(- -4,3)4,3)和和 N(N(- -2,1)2,1)的直线方程是的直线方程是( ( ) ) (A)x(A)x- -y+3=0y+3=0 (B)x+y+1=0(B)x+y+1=0 (C)x(C)x- -y y- -1=01=0 (D)x+y(D)x+y- -3=03=0 3.(3.(用一般式解决垂直平行问题用一般式解决垂直平行问题) )若直线若直线ax+2y+2=0ax+2y+2=0与直线与直线3x3x- -y y- -2=02=0平行平行,
5、,则则a a等等 于于( ( ) ) (A)(A)- -3 3 (B)(B)- -6 6 (C)(C)- - 3 2 (D)(D) 2 3 A A B B B B 4.(4.(一般式的应用一般式的应用) )直线直线x+y+1=0x+y+1=0在在y y轴上的截距为轴上的截距为 . . 答案答案: :- -1 1 5.(5.(求直线的一般式方程求直线的一般式方程) )过点过点P(1,2),P(1,2),且斜率与直线且斜率与直线y=y=- -2x+32x+3的斜率相的斜率相 等的直线方程为等的直线方程为 . . 答案答案: :2x+y2x+y- -4=04=0 课堂探究课堂探究 求直线的一般式方程
6、求直线的一般式方程 题型一题型一 【教师备用教师备用】 直线的一般式方程的理解直线的一般式方程的理解 1.1.当当A=0A=0或或B=0B=0或或C=0C=0时时, ,方程方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0分别表示什么样的直线分别表示什么样的直线? ? 提示提示: :若若 A=0,A=0,则则 y=y=- - C B , ,表示与表示与 y y 轴垂直的一条直线轴垂直的一条直线. . 若若 B=0,B=0,则则 x=x=- - C A , ,表示与表示与 x x 轴垂直的一条直线轴垂直的一条直线. . 若若 C=0,C=0,则则 Ax+By=0,Ax+By=0,表示过原点的一条直线表示过
7、原点的一条直线. . 2.2.在什么条件下在什么条件下, ,一般式方程可以转化为斜截式、点斜式或截距式方程一般式方程可以转化为斜截式、点斜式或截距式方程? ? 提示提示: :若若 B B0,0,则直线的一般式方程可化为斜截式、点斜式则直线的一般式方程可化为斜截式、点斜式, ,即即 y=y=- - A B x x- - C B 与与 y y- - C B = =- - A B (x(x- -0).0). 若若 A A0 0 且且 B B0,0,则可化为截距式则可化为截距式, ,即即 x C A + + y C B =1.=1. 解解: :(1)(1)由直线方程的点斜式得由直线方程的点斜式得 y
8、y- -3=3=3(x(x- -5),5),即即3x x- -y y- -5 53+3=0.+3=0. 【例【例 1 1】 根据下列条件分别写出直线的方程根据下列条件分别写出直线的方程, ,并化为一般式方程并化为一般式方程. . (1)(1)斜率是斜率是3, ,且经过点且经过点 A(5,3).A(5,3). (2)(2)斜率为斜率为 4,4,在在 y y 轴上的截距为轴上的截距为- -2.2. (3)(3)经过经过 A(A(- -1,5),B(2,1,5),B(2,- -1)1)两点两点. . (4)(4)在在 x x 轴轴,y,y 轴上的截距分别为轴上的截距分别为- -3,3,- -1.1.
9、 (2)(2)由斜截式得直线方程为由斜截式得直线方程为 y=4xy=4x- -2,2,即即 4x4x- -y y- -2=0.2=0. (3)(3)由两点式得由两点式得 5 15 y = = 1 21 x , ,即即 2x+y2x+y- -3=0.3=0. (4)(4)由截距式得直线方程为由截距式得直线方程为 3 x + + 1 y =1.=1. 即即 x+3y+3=0.x+3y+3=0. 题后反思题后反思 根据已知条件求直线方程的策略根据已知条件求直线方程的策略: : 在求直线方程时在求直线方程时, ,设一般式方程并不简单设一般式方程并不简单, ,常用的还是根据给定条件选用常用的还是根据给定
10、条件选用 四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程, ,一般选用规律为一般选用规律为: : (1)(1)已知直线的斜率和直线上点的坐标时已知直线的斜率和直线上点的坐标时, ,选用点斜式选用点斜式;(2);(2)已知直线的斜已知直线的斜 率和在率和在y y轴上的截距时轴上的截距时, ,选用斜截式选用斜截式;(3);(3)已知直线上两点坐标时已知直线上两点坐标时, ,选用两选用两 点式点式.(4).(4)已知直线在已知直线在x x轴轴,y,y轴上的截距时轴上的截距时, ,选用截距式选用截距式. . 解解: :(1)(1)由点斜式可得直线方程为由点斜式可得直线方程
11、为 y y- -3=3=- - 3 5 (x+2).(x+2). 化为一般式为化为一般式为 3x+5y3x+5y- -9=0.9=0. 即时训练即时训练 1 1 1:1:求下列直线的方程求下列直线的方程, ,并把它化成一般式并把它化成一般式: : (1)(1)过点过点 A(A(- -2,3),2,3),斜率为斜率为- - 3 5 ; ; (2)(2)在在 x x 轴、轴、y y 轴上的截距分别为轴上的截距分别为- -3 3 和和 4.4. (2)(2)由截距式可得直线方程为由截距式可得直线方程为 3 x + + 4 y =1.=1. 化为一般式为化为一般式为 4x4x- -3y+12=0.3y
12、+12=0. 利用直线一般式方程解决平行、垂直问题利用直线一般式方程解决平行、垂直问题 题型二题型二 (1)(1)已知直线已知直线l l1 1:2x+(m+1)y+4=0:2x+(m+1)y+4=0与直线与直线l l2 2:mx+3y:mx+3y- -2=02=0平行平行, ,求求m m的值的值. . (2)(2)当当a a为何值时为何值时, ,直线直线l l1 1:(a+2)x+(1:(a+2)x+(1- -a)ya)y- -1=01=0与直线与直线l l2 2:(a:(a- -1)x+(2a+3)y1)x+(2a+3)y +2=0+2=0互相垂直互相垂直? ? 【例例2 2】 解解: :法
13、一法一 (1)(1)由由 l l1 1:2x+(m+1)y+4=0,:2x+(m+1)y+4=0, l l2 2:mx+3y:mx+3y- -2=02=0 知知: : 当当 m=0m=0 时时, ,显然显然 l l1 1与与 l l2 2不平行不平行. . 当当 m m0 0 时时,l,l1 1l l2 2, ,需需 2 m = = 1 3 m 4 2 . . 解得解得 m=2m=2 或或 m=m=- -3,3,所以所以 m m 的值为的值为 2 2 或或- -3.3. (2)(2)由题意知由题意知, ,直线直线 l l1 1l l2 2. . 若若 1 1- -a=0,a=0,即即 a=1a
14、=1 时时, ,直线直线 l l1 1:3x:3x- -1=01=0 与直线与直线 l l2 2:5y+2=0:5y+2=0 显然垂直显然垂直. . 若若 2a+3=0,2a+3=0,即即 a=a=- - 3 2 时时, ,直线直线 l l1 1:x+5y:x+5y- -2=02=0 与直线与直线 l l2 2:5x:5x- -4=04=0 不垂直不垂直. . 若若 1 1- -a a0,0,且且 2a+32a+30,0,则直线则直线 l l1 1,l,l2 2的斜率的斜率 k k1 1,k,k2 2都存在都存在, , k k1 1= =- - 2 1 a a ,k,k2 2= =- - 1
15、23 a a . . 当当 l l1 1l l2 2时时,k,k1 1k k2 2= =- -1,1,即即 2 1 a a 1 23 a a = =- -1,1,所以所以 a=a=- -1.1. 综上可知综上可知, ,当当 a=1a=1 或或 a=a=- -1 1 时时, ,直线直线 l l1 1l l2 2. . 法二法二 (1)(1)令令 2 23=m(m+1),3=m(m+1),解得解得 m=m=- -3 3 或或 m=2.m=2. 当当 m=m=- -3 3 时时,l,l1 1:x:x- -y+2=0,ly+2=0,l2 2:3x:3x- -3y+2=0,3y+2=0, 显然显然 l
16、l1 1与与 l l2 2不重合不重合, ,所以所以 l l1 1l l2 2. . 同理当同理当 m=2m=2 时时,l,l1 1:2x+3y+4=0,l:2x+3y+4=0,l2 2:2x+3y:2x+3y- -2=0,2=0, 显然显然 l l1 1与与 l l2 2不重合不重合, ,所所以以 l l1 1l l2 2. .所以所以 m m 的值为的值为 2 2 或或- -3.3. (2)(2)由题意知直线由题意知直线 l l1 1l l2 2, , 所以所以(a+2)(a(a+2)(a- -1)+(11)+(1- -a)(2a+3)=0,a)(2a+3)=0, 解得解得 a=a=1,1
17、, 将将 a=a=1 1 代入方程代入方程, ,均满足题意均满足题意. . 故当故当 a=1a=1 或或 a=a=- -1 1 时时, ,直线直线 l l1 1l l2 2. . 题后反思题后反思 所给直线方程是一般式所给直线方程是一般式, ,且直线斜率可能不存在时且直线斜率可能不存在时, ,利用利用 l l1 1ll2 2A A1 1A A2 2+B+B1 1B B2 2=0=0和和l l1 1ll2 2A A1 1B B2 2- -A A2 2B B1 1=0=0且且A A1 1C C2 2- -A A2 2C C1 10(0(或或B B1 1C C2 2- - B B2 2C C1 10
18、)0)来判定两条直线是否垂直或平行来判定两条直线是否垂直或平行, ,避免了讨论斜率是否存在的避免了讨论斜率是否存在的 情况情况, ,比用斜率来判定更简便比用斜率来判定更简便. . 解解: :法一法一 当当 m=0m=0 时时,l,l1 1:x+6=0,l:x+6=0,l2 2:2x:2x- -3y=03y=0 两直线既不平行也不垂直两直线既不平行也不垂直; ;当当 m m0 0 时时, , l l1 1:y=:y=- - 1 m x x- - 6 m ,l,l2 2:y=:y=- - 2 3 m x x- - 2 3 m , , 若若 l l1 1l l2 2, ,则则 12 , 3 62 ,
19、 3 m m m m 解得解得 m=m=- -1;1;若若 l l1 1l l2 2, ,则则- - 12 3 m m = =- -1,1,解得解得 m=m= 1 2 . . 法二法二 l l1 1l l2 2等价于等价于 1 13 3- -m(mm(m- -2)=02)=0 且且 1 12m2m- -6(m6(m- -2)2)0,0,解得解得 m=m=- -1;l1;l1 1l l2 2等价于等价于 1 1(m(m- -2)+3m=0,2)+3m=0, 解得解得 m=m= 1 2 . . 已知两直线已知两直线l l1 1:x+my+6=0,l:x+my+6=0,l2 2:(m:(m- -2)
20、x+3y+2m=0,2)x+3y+2m=0,当当m m为何值时为何值时, , 直线直线l l1 1ll2 2?l?l1 1ll2 2? ? 即时训练即时训练2 2- -1:1: 【备用例【备用例1 1】 已知直线已知直线l l的方程为的方程为3x+4y3x+4y- -12=0,12=0,求满足下列条件的直线求满足下列条件的直线ll 的方程的方程: : (1)(1)过点过点( (- -1,3),1,3),且与且与l l平行平行; ; (2)(2)过点过点( (- -1,3),1,3),且与且与l l垂直垂直. . 解解: : (1)(1)由由ll与与l l平行平行, ,可设可设ll的方程为的方程
21、为3x+4y+m=0.3x+4y+m=0.将点将点( (- -1,3)1,3) 代入上式得代入上式得m=m=- -9.9. 所以所求直线的方程为所以所求直线的方程为3x+4y3x+4y- -9=0.9=0. (2)(2)由由ll与与l l垂直垂直, ,可设可设ll的方程为的方程为4x4x- -3y+n=0.3y+n=0. 将将( (- -1,3)1,3)代入上式得代入上式得n=13.n=13. 所以所求直线的方程为所以所求直线的方程为4x4x- -3y+13=0.3y+13=0. 直线的一般式方程的应用直线的一般式方程的应用 题型三题型三 解解: :(1)(1)当当 l l 过原点时过原点时,
22、 ,该直线在该直线在 x x 轴和轴和 y y 轴上的截距为零轴上的截距为零, ,当然互当然互 为相反数为相反数, ,所以所以 a=2,a=2,此时此时 l l 的方程为的方程为 3x+y=0.3x+y=0. 当截距存在且均不为当截距存在且均不为 0 0 时时, , 有有 2 1 a a = =- -(a(a- -2),2),所以所以 a=a=- -2,2,此时此时 l l 的方程为的方程为 x x- -y y- -4=0.4=0. 【例例3 3】 设直线设直线l l的方程为的方程为(a+1)x+y+2(a+1)x+y+2- -a=0(aa=0(aR R).). (1)(1)若若l l在两坐标
23、轴上的截距互为相反数在两坐标轴上的截距互为相反数, ,求求l l的方程的方程; ; (2)(2)若若l l不经过第二象限不经过第二象限, ,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. . (2)(2)将将 l l 的方程化为的方程化为 y=y=- -(a+1)x+a(a+1)x+a- -2,2, 由题意知由题意知 l l 不经过第二象限不经过第二象限, , 可得可得 10, 20, a a 解得解得 a a- -1,1,所以所以 a a 的取值范围是的取值范围是 a a- -1.1. 题后题后反思反思 (1)(1)已知直线的方程可确定其斜率、截距已知直线的方程可确定其斜率、截距, ,从而可解决与
24、斜率、从而可解决与斜率、 截距有关的问题截距有关的问题. . (2)(2)已知直线的大致位置已知直线的大致位置, ,可确定斜率、截距的范围可确定斜率、截距的范围( (或符号或符号),),从而可建立从而可建立 不等式求解参数的范围不等式求解参数的范围, ,反之若已知斜率、截距的范围反之若已知斜率、截距的范围( (或符号或符号) )也可确定也可确定 直线的大致位置直线的大致位置. . 解解: :设所求的直线方程为设所求的直线方程为 2x2x- -y+c=0,y+c=0, 令令 y=0,x=y=0,x=- - 2 c , , 令令 x=0,y=c,x=0,y=c, 所以所以 1 22 c c =9,
25、c=9,c=6,6, 故所求直线方程为故所求直线方程为 2x2x- -y y6=0.6=0. 即时训练即时训练3 3- -1:1:求平行于直线求平行于直线2x2x- -y+3=0,y+3=0,且与两坐标轴围成的直角三角形面积且与两坐标轴围成的直角三角形面积 为为9 9的直线方程的直线方程. . (1)(1)证明证明: :将直线将直线 l l 的方程整理为的方程整理为 y y- - 3 5 =a=a 1 5 x , , 所以所以 l l 的斜率为的斜率为 a,a,且过定点且过定点 A A 1 3 , 5 5 . . 而点而点 A A 1 3 , 5 5 在第一象限在第一象限, ,故故 l l 总经过第一象限总经过第一象限. . 【备用例【备用例2 2】 已知直线已知直线l:5axl:5ax- -5y5y- -a+3=0.a+3=0. (1)(1)求证求证: :不论不论a a为何值为何值, ,直线直线l l总经过第一象限总经过第一象限; ; (2)(2)为使直线不经过第二象限为使直线不经过第二象限, ,求求a a的取值范围的取值范围. . (2)(2)解解: :直线直线 OAOA 的斜率为的斜率为 k=k= 3 0 5 1 0 5 =3.=3. 因为因为 l l 不经过第二象限不经过第二象限, ,所以所以 a a3.3. 谢谢观赏谢谢观赏 Thanks!Thanks!
