1、1 函函 数数21设函数设函数f（x）的定义域为）的定义域为I，如果对，如果对于定义域内某个区间于定义域内某个区间D上的任意两个自变量上的任意两个自变量的 值的 值 x1,x2，当，当 x1 x2时，（时，（1）若）若，则，则f（x）在）在上是增函数；上是增函数；Df（x1）f（x2）3（2）若）若，则，则f（x）在）在上是减函数上是减函数.2若函数若函数f（x）在区间）在区间D上上是是或或，则称函数，则称函数f（x）在这一区间上具有单调性，）在这一区间上具有单调性，叫叫做做f（x）的单调区间）的单调区间.f（x1）f（x2）D增函数增函数减函数减函数D41.设函数设函数f（x）是）是R上的单
2、调递减函数，上的单调递减函数，且且f（m2）f（-m），则实数），则实数m的取值范围为的取值范围为（）A.（0,+）B.（-,-1）C.（-,-1）（0,+）D.（-1,0）依题意得依题意得m2-m，解得，解得-1m 0 对对x（1,+）恒成立，则）恒成立，则k1）,所以所以k2,故选故选D.kx3k2kx63.若函数若函数y=|x|（1-x）在区间）在区间A上是增函上是增函数，那么区间数，那么区间A是（是（）A.（-，0）B.0，C.0,+）D.（，（，+）12127由图象可知，该函数在由图象可知，该函数在0，上单调递增上单调递增.答案：答案：B 2211()(0)2411()(0)24xx
3、xx(1)(0)(1)(1)(0)xxxyxxxxx1284.已知已知是是R上的增函数，那么实数上的增函数，那么实数a的取值范围的取值范围是是.由题意知由题意知解得解得1a3.(3)(1)()log(1)aa xaxf xxx（1，3）130350aaa95.若函数若函数f（x）=-x2+2ax与与在区间在区间1，2上都是减函数，则上都是减函数，则a的取值的取值范围是范围是.f（x）=-x2+2ax=-（x-a）2+a2在区在区间间1，2上是减函数，则上是减函数，则a1;在在1,2上是减函数，则上是减函数，则a0.综合得综合得a（0,1.()1ag xx()1ag xx（0,1101.函数单调
4、性的判断函数单调性的判断（1）函数）函数f（x）定义在区间）定义在区间D上，当上，当x1,x2D,x1x2时，恒有时，恒有，则，则函数函数f（x）是）是D上的单调上的单调（增或减（增或减函数）函数）.1212()1()0f xf xxx增函数增函数11（2）设函数）设函数f（x）是增函数，那么：）是增函数，那么：（）y=-f（x）为减函数；）为减函数；（）y=（）（）f（x）为减函数；为减函数；（）y=tanf（x）为增函数；）为增函数；（）为增函数；为增函数；（）y=f（x）-1为减函数为减函数.其中正确判断其中正确判断的编号是的编号是.12()yf x（）（）（）122.函数的单调区间函数
5、的单调区间（1）函 数）函 数 的 单 调 区 间 是的 单 调 区 间 是.（2）下列判断中，正确的序号是）下列判断中，正确的序号是.（）函数）函数y=sinx在（在（0,）上是增函数，那）上是增函数，那么该函数在第一象限是增函数；么该函数在第一象限是增函数；（）函数）函数f（x）分别在（）分别在（-5,-1）和（）和（1，5）上是减函数，所以函数上是减函数，所以函数f（x）的单调减区间是）的单调减区间是（-5,-1）（1,5）;（）函数）函数y=2-ax（a0）在）在R上是单调函数上是单调函数.12xy 2（-,0）,（0,+）（）133.函数的最值函数的最值（1）若函数）若函数f（x）=
6、x2+x+a在区间在区间-3,1上的最大值为上的最大值为4，则，则a=.（2）若函数）若函数y=的定义域和值域都是的定义域和值域都是-2,-1，则，则a=.ax-22144.函数单调性的应用函数单调性的应用（1）若函数）若函数y=-loga（x+1）是（）是（-1,0）上的）上的减函数，则减函数，则a的取值范围是的取值范围是.（2）若函数）若函数f（x）在）在a,b上是单调函数，上是单调函数，且且f（a）f（b）0）的单调性）的单调性.方法方法1：定义法：函数的定义域为：定义法：函数的定义域为（-,0）（0,+）.（1）当）当x0时，设时，设0 x1x2，则，则ax212121122112()
7、()()aaxxf xf xxxx xaxxx x16于是当于是当0 x1x2时，时，x1x2a，则，则f（x2）f（x1）.所以所以f（x）在（）在（0,上是减函数；上是减函数；当当x1a，则，则f（x2）f（x1）.所以所以f（x）在）在,+）上是增函数）上是增函数.（2）当）当x0时，设时，设x1x20.则则aaaa212121122112()()()aaxxf xf xxxx xaxxx x17于是当于是当x1x20时，时，x1x2a，则，则f（x2）f（x1）.所以所以f（x）在）在,0）上是减函数；）上是减函数；当当x1a，则，则f（x2）f（x1）.所以所以f（x）在（）在（-,
8、上是增函数上是增函数.综上，函数综上，函数f（x）在）在,0）,（0,上是减函数，在（上是减函数，在（-,+）上是增）上是增函数函数.（由于函数是奇函数，其实只需讨论（由于函数是奇函数，其实只需讨论x0的的情况即可情况即可.）aaaaaaaa18方法方法2：导数法：当：导数法：当x0时，时，令令f（x）0，得，得ax2,则则x.于是于是f（x）在）在,+）上是增函数；）上是增函数；同理可得同理可得f（x）在（）在（0,上是减函数上是减函数.当当x0，得，得-1x4.令令u（x）=4+3x-x2=则原函数化为则原函数化为易知，当易知，当x（-1,时，时，u（x）是增函数；）是增函数；212()l
9、og(43)f xxx2325(),24x12logyu3224当当x,4）时）时,u（x）是减函数）是减函数.故当故当-1x1x2时，因为时，因为u（x）是增函）是增函数，所以数，所以0u（x1）y2;当当x1x2u（x2）0，所以，所以y1y2.故函数故函数在（在（-1,上是减函数，在上是减函数，在,4）上是增函数）上是增函数.212()log(43)f xxx323232323225【评注评注】复合函数的单调区间的求解可复合函数的单调区间的求解可分为四步：求函数的定义域；把复合函分为四步：求函数的定义域；把复合函数分解成两个常见函数，本题中，数分解成两个常见函数，本题中，u（x）=4+3
10、x-x2是二次函数，是二次函数，是对数函数；是对数函数；分别求各函数的单调区间分别求各函数的单调区间.本题中，本题中，u（x）的单调递减区间为的单调递减区间为,4），单调递增区间），单调递增区间为（为（-1,，是（，是（0,+）上的减函）上的减函数；根据复合函数单调性的判断法则写出数；根据复合函数单调性的判断法则写出单调区间单调区间.12logyu12logyu323226求函数求函数f（x）=loga（3-2x-x2）（0a0，则，则x（-3,1）.由于函数由于函数u的图象的对称轴为直线的图象的对称轴为直线x=-1,所以函数所以函数u在在-1,1）上是减函数，在）上是减函数，在（-3,-1上
11、是增函数上是增函数.又因为函数又因为函数y=logau（0a1）是减函数）是减函数,所以函数所以函数f（x）=loga（3-2x-x2）（）（0a0，则函数则函数u在在,+）上是增函数）上是增函数.又又y=log2u是增函数，是增函数，2a28根据复合函数的单调性，要使函数根据复合函数的单调性，要使函数y=log2（x2-ax+3a）在）在2,+）上是增函数，）上是增函数，只需只需即即即即解得解得-40;（2）保证常见函数的单调区间）保证常见函数的单调区间与题目给出的单调区间的同一性与题目给出的单调区间的同一性.本题中，本题中，,+）上是单调增区间与）上是单调增区间与2,+）一致；）一致；（3
12、）注意防止扩大参数的取值范围，本题中，）注意防止扩大参数的取值范围，本题中，u（2）0.2a30 已知函数已知函数y=loga（2-ax）在）在0,1上是上是x的减函数，求实数的减函数，求实数a的取值范围的取值范围.设设u=2-ax0.因为因为a0,所以所以u=2-ax为减函数为减函数.要使函数要使函数y=loga（2-ax）在）在0,1上是减函上是减函解得解得1a0，即，即a1，则，则f（x）为增函数，）为增函数，所以所以f（x）max=a+loga2,f（x）min=1.依题意依题意,得得a+loga2+1=a,即即loga2=-1,解得解得a=，矛盾，矛盾.当当0a1时，时，f（x）0，
13、且对于任意的正，且对于任意的正数数x,y都有都有f（xy）=f（x）+f（y）.（1）证明：函数）证明：函数f（x）在定义域上是增函）在定义域上是增函数；数；（2）如果）如果f（2）=1且且f（x）+f（8x-4）2，求求x的取值范围的取值范围.35（1）证明：设）证明：设0 x11，所以，所以f（）0,所以所以f（x2）f（x1）0.故故f（x）在定义域上是增函数）在定义域上是增函数.21xx21xx21xx21xx36（2）因为）因为f（x）+f（8x-4）=f（8x2-4x）2=f（2）+f（2）=f（4）,所以所以x满足满足解得解得x1.故实数故实数x的取值范围是的取值范围是1,+）.
14、28440,840 xxxx37【评注评注】抽象函数单调性问题的特点是：抽象函数单调性问题的特点是：（1）给出定义域；（）给出定义域；（2）给出满足函数意义的）给出满足函数意义的表达式（本题是表达式（本题是f（xy）=f（x）+f（y）；（）；（3）讨论函数的单调性和不等式求解等问题讨论函数的单调性和不等式求解等问题.处理方处理方法：（法：（1）在定义域内任意取值，找出某些具体）在定义域内任意取值，找出某些具体的函数值，如的函数值，如f（1）等；（）等；（2）抓住关系式，如）抓住关系式，如f（xy）=f（x）+f（y），进行适当的赋值和配），进行适当的赋值和配凑；（凑；（3）从函数值的大小关系
15、中，根据单调性，）从函数值的大小关系中，根据单调性，脱掉函数符号，转化为自变量间的大小关系，脱掉函数符号，转化为自变量间的大小关系，但要注意自变量的取值必须在定义域内，最后但要注意自变量的取值必须在定义域内，最后通过解不等式（组）来完成通过解不等式（组）来完成.38定义在定义在R上的函数上的函数y=f（x）,f（0）0.当当x0时，时，f（x）1，且对任意的，且对任意的x,yR都有都有f（x+y）=f（x）f（y）.（1）证明：对任意的）证明：对任意的xR，f（x）0；（2）证明：）证明：f（x）是）是R上的增函数；上的增函数；（3）若）若f（x）f（x2+x）1，求，求x的取值范围的取值范围
16、.（1）证明：令）证明：令x=y=0，得得f（0）=f（0）f（0），），所以所以f（0）=1.39令令y=-x，得，得f（x）f（-x）=1，所以，所以f（x）=.设设x0，所以由，所以由f（-x）1,得得f（x）=0.故对任意的故对任意的xR，f（x）0.（2）证明：设）证明：设x10，所以，所以f（x2-x1）1,且且f（x1）0,所以所以f（x2）-f（x1）0，故函数，故函数f（x）在）在R上上是增函数是增函数.（3）由）由f（x）f（x2+x）=f（x2+2x）1 =f（0），），得得x2+2x0，解得，解得-2x0.所以所以x的取值范围是（的取值范围是（-2,0）.411.判断函
17、数的单调性判断函数的单调性（1）定义法：给定区间）定义法：给定区间D上的函数上的函数f（x），若对），若对x1,x2D且且x1f（x1）（或）（或f（x2）0），则函），则函数数f（x）在）在D上是增函数；上是增函数；2121()()0f xf xxx42（2）导数法：设）导数法：设f（x）定义在区间）定义在区间D上，上，求求f（x），对），对xD，若，若f（x）0（0），），则函数则函数f（x）在）在D上是增函数（减函数）上是增函数（减函数）.注注意若已知函数的单调性，用导数法求参数的意若已知函数的单调性，用导数法求参数的取值范围时，应令取值范围时，应令f（x）0或或f（x）0，否则极可能漏
18、解，否则极可能漏解.432.函数的单调区间函数的单调区间函数的单调区间可能是连续的，也可能函数的单调区间可能是连续的，也可能是离散的，离散的单调区间中间分别用是离散的，离散的单调区间中间分别用“，”分开，如分开，如f（x）=，有两段离散的减区间，有两段离散的减区间（-,0）,（0,+），不能表示成（），不能表示成（-,0）（0,+）.单调函数的单调性是一个局部概念，单调函数的单调性是一个局部概念，定义域整体上可能并不具有单调性，所以，定义域整体上可能并不具有单调性，所以，单调性只是函数在某一区间上的单调性只是函数在某一区间上的“整体整体”性性质的表现质的表现.1x443.函数的最值函数的最值函
19、数的最值问题与函数的值域问题既相函数的最值问题与函数的值域问题既相近，也有区别近，也有区别.一个函数可能有最值，也可能一个函数可能有最值，也可能没有最值，但函数的值域是一定存在的没有最值，但函数的值域是一定存在的.设函设函数数f（x）的定义域为）的定义域为D，若存在实数，若存在实数m，满足，满足对任意的对任意的xD，有，有f（x）M，且存在，且存在x0D使得使得f（x0）=M，则，则M是函数是函数f（x）的最大值）的最大值.如果没有如果没有x0D，使得，使得f（x0）=M，则函数，则函数f（x）无最大值，此时，）无最大值，此时，M称为函数值域的上称为函数值域的上界界.如严格单调函数在开区间上是
20、没有最值的如严格单调函数在开区间上是没有最值的.454.复合函数的单调性复合函数的单调性函数函数y=fu（x）称为复合函数，其）称为复合函数，其中中u（x）称为）称为“内层函数内层函数”，y=f（u）称为）称为“外层函数外层函数”.“内、外层函数内、外层函数”的单调性相的单调性相同时，函数同时，函数y=fu（x）是增函数，相反）是增函数，相反时，函数时，函数y=fu（x）是减函数）是减函数.简称为简称为“同增异减同增异减”.在讨论复合函数的单调性时，在讨论复合函数的单调性时，定义域是不能忽视的，要注意内层函数的值定义域是不能忽视的，要注意内层函数的值域是外层函数的定义域域是外层函数的定义域.4
21、6在复合函数单调性问题中，对参数的在复合函数单调性问题中，对参数的讨论是一个难点，因为参数所具有的性质讨论是一个难点，因为参数所具有的性质与单调区间有直接关系，因此要注意两点：与单调区间有直接关系，因此要注意两点：一是确保单调区间上函数有意义；二是根一是确保单调区间上函数有意义；二是根据单调性，转化为不等式（组）问题求解据单调性，转化为不等式（组）问题求解.471.（2009辽宁卷）辽宁卷）已知偶函数已知偶函数f（x）在区）在区间间0,+）上单调增加，则满足）上单调增加，则满足f（2x-1）f（）的（）的x取值范围是（）取值范围是（）A.（,）B.,）C.（,）D.,）答案：答案：A13131
22、3232323231212482.（2008全国卷全国卷）设奇函数设奇函数f（x）在）在（0,+）上为增函数，且）上为增函数，且f（1）=0，则不等，则不等式式的解集为（）的解集为（）A.（-1,0）（1,+）B.（-,-1）（0,1）C.（-,-1）（1,+）D.（-1,0）（0,1）()()0f xfxx49依题意得依题意得f（-1）=0,f（-x）=-f（x）.所以所以，即，即xf（x）0时，时，f（x）f（1）.又又f（x）为（）为（0,+）上的增函数，所以）上的增函数，所以0 x1.当当xf（-1）.又易知又易知f（x）为（）为（-,0）上的增函数，）上的增函数，所以所以-1x0,解
23、得解得x2,故选故选D.答案：答案：D51试题透析试题透析用函数单调性的定义来研究用函数单调性的定义来研究函数的单调区间和函数的值域或最值，是考函数的单调区间和函数的值域或最值，是考试命题的热点试命题的热点.一般来说，单调性的概念的考一般来说，单调性的概念的考查主要是发挥选择题和填空题的功能，难度查主要是发挥选择题和填空题的功能，难度要求不高，背景也容易理解要求不高，背景也容易理解.但把单调性与函但把单调性与函数的其他性质（包括图象）综合起来，难度数的其他性质（包括图象）综合起来，难度就会直线上升，只要多做一些典型习题，并就会直线上升，只要多做一些典型习题，并善于结合导数的应用，是能够提高的善于结合导数的应用，是能够提高的.
