1、函数的应用函数的应用1.1.1集合的概念函数与方程函数与方程1.1.1集合的概念方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点1.1.1集合的概念互动课堂互动课堂2随堂测评随堂测评3预习导学预习导学1预习导学预习导学课标展示1理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系2会求函数的零点3掌握函数零点存在的条件，并会判断函数零点的个数温故知新旧知再现1方程2x10的根为x_，函数y2x1与x轴的交点为_ 2方程x22x30的根为_；函数yx22x3与x轴的交点为_ 3函数y2x28x1的对称轴为_，顶点坐标为_ x11，x23(1,0)，(3,0)x2(2，7)新知导学1函数yax2bxc(a0)的图
2、象与x轴的交点和相应方程ax2bxc0(a0)的根的关系2 10 2 10 2.函数的零点(1)定义：对于函数yf(x)，我们把使_成立的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)几何意义：函数yf(x)的图象与_的交点的_就是函数yf(x)的零点(3)结论：方程f(x)0有_函数yf(x)的图象与x轴有_函数yf(x)有_名师点拨并非所有的函数都有零点，例如，函数f(x)x21，由于方程x210无实数根，故该函数无零点f(x)0 x轴横坐标实数根交点零点3函数零点的判定定理条件结论函数yf(x)在a，b上yf(x)在(a，b)内有零点(1)图象是_的曲线(2)f(a)f(b)_0连续不断名师点拨判
3、断函数yf(x)是否存在零点的方法：(1)方程法：判断方程f(x)0是否有实数解(2)图象法：判断函数yf(x)的图象与x轴是否有交点(3)定理法：利用零点的判定定理来判断自我检测1已知二次函数yx2x1，则使y0成立的实数x有()A0个B1个C2个 D无数个答案C解析判别式1450，则方程x2x10有两个不等式的实数根，即使y0成立的实数x有2个2已知函数yf(x)有零点，下列说法不正确的是()Af(0)0B方程f(x)0有实根C函数f(x)的图象与x轴有交点D函数f(x)的零点是方程f(x)0的实数根答案A4函数f(x)x2xb2的零点个数是()A0 B1C2 D无数答案C解析一元二次方程
4、x2xb20的根的判别式14b20，函数f(x)x2xb2有2个零点5函数f(x)kx2x在(0,1)上有零点，则实数k的取值范围是_答案(2，)解析f(0)1，f(1)k2，由于f(0)f(1)0，则(k2)0，故k2.互动课堂互动课堂求下列函数的零点(1)f(x)4x3；(2)f(x)x23x2；(3)f(x)2x；(4)f(x)log2(x1)分析根据函数零点的定义，令y0，解出定义域内的x就是零点 求函数的零点 规律总结：1.正确理解函数的零点：(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)0的根，因此判断一个函数
5、是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否有实根，有几个实根即函数yf(x)的零点方程f(x)0的实根函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标2函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)0的实数根(2)几何法：与函数yf(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点(1)指出下列函数的零点：f(x)x22x3零点为_g(x)lgx2零点为_(2)已知1和4是函数f(x)ax2bx4的零点，则f(1)_.12 (20132014广东中山模拟)函数f(x)exx2的零点所在的一个区间是()A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)分析函数零点附近函数值的符号相反，可据此
6、求解判断函数零点所在的区间 2解析因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(2)e240，f(1)e130，f(0)10，f(2)e20，所以f(0)f(1)0，故函数的零点所在的一个区间是(0,1)答案C规律总结：判断函数零点所在区间的方法一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断(20132014中原名校高一期中)函数f(x)lnx2x6的零点所在的一个区间是()A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(4,5)答案B解析因为f(1)ln121640，f(2)ln222
7、6ln e220，f(3)ln3236ln30，f(4)ln42462ln220，f(5)ln5256ln540，所以f(2)f(3)0，又函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，故函数f(x)的零点所在的一个区间是(2,3).求函数f(x)2xlg(x1)2的零点个数分析 函数零点个数的判断 解析解法一：因为f(0)10210，所以由函数零点存在性判定定理知，f(x)在(0,2)上必定存在零点又f(x)2xlg(x1)2在(1，)上为增函数，故f(x)0有且只有一个实根，即函数f(x)仅有一个零点解法二：在同一坐标系中作出h(x)22x和g(x)lg(x1)的图象，如右图所示，由图象可知h(
8、x)22x和g(x)lg(x1)有且只有一个交点，即f(x)2xlg(x1)2与x轴有且只有一个交点，即函数f(x)仅有一个零点规律总结：判断函数零点个数的主要方法：(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点(2)画出函数yf(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数(3)结合单调性，利用f(a)f(b)0，可判定yf(x)在(a，b)上零点的个数(4)转化成两个函数图象的交点问题判断函数f(x)x3lnx的零点的个数3解析解法一：在同一平面直角坐标系中画出函数ylnx，yx3的图象，如右图所示由图可知函数ylnx，yx3的图象只有一个交点，即函数f(x)x3lnx只有
9、一个零点误区警示易错点一混淆了零点与点的概念 函数f(x)x26x5的零点是_错解(1,0)，(5,0)由题意，得x26x50，x1，x5，函数的零点是(1,0)和(5,0)错因分析该解法中混淆了零点与点的概念4思路分析零点不是一个点，而是函数图象与x轴交点的横坐标，零点是一值正解1、5由题意，得x26x50，解得x1或x5，函数的零点是1,5.函数f(x)x23x2的零点是()A(1,0)B(2,0)C(1,0)，(2,0)D1,2错解C错因分析错解的原因是没有理解零点的概念，“望文生义”，认为零点就是一个点1正解解方程x23x20，得x1或x2，所以选D.总结函数的零点是一个实数，是使f(
10、x)0成立的实数x，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标易错点二判断零点个数时出现逻辑错误 求函数f(x)x25x6在1,4上的零点个数错解错解一：由题意，得f(1)20，f(4)20，因此函数f(x)x25x6在1,4上没有零点，即零点个数是0.错解二：f(1)20，f(2.5)0.250，f(2.5)0.250时，(a，b)中的零点情况是不确定的，而错解二出现了逻辑错误，当f(a)f(b)0时，(a，b)中存在零点，但个数不确定思路分析要想准确地判断函数零点的个数，要么把它们全部求出来，要么利用函数图象来判断，这才是正确的方法正解由题意，得x25x60，x2，x3，函数的零点是2,3
11、函数在1,4上的零点的个数是2.错因分析由于f(x)在定义域内是大于等于0的，所以该题不宜用零点的存在性定理求解总结当函数yf(x)的图象在闭区间a，b上是一条连续不断的曲线，但是不满足f(a)f(b)0时，函数yf(x)在区间(a，b)内可能存在零点，也可能不存在零点随堂测评随堂测评1下列函数的图象中没有零点的是()答案D解析从图中观察知，只有D中函数图象与x轴没有交点，故选D.规律总结根据函数零点的概念，函数有零点，即函数的图象与x轴有交点函数图象与x轴有几个交点，函数就有几个零点 答案B解析f(4)8m0，m8，故选B.答案A解析函数f(x)的定义域为x|x0，当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0，但此函数在定义域内的图象不连续，所以函数没有零点，故选A.答案B规律总结这是一类非常基础且常见的问题，考查的是函数零点的判定方法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论这类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断5函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为_答案0解析yf(x)为偶数，f(x)f(x)，四个根之和为0.分析分别令各个解析式等于0，根据方程是否有根来确定函数的零点
