1、本章要点本章要点（1）莫尔定理的推导和应用（2）卡氏定理的应用（3）图乘法原理重要概念重要概念变形能、莫尔定理、卡氏定理、单位力、虚位移、虚力10-1 概概 述述目录目录10-2 杆件变形能的计算杆件变形能的计算10-3 莫尔定理莫尔定理10-4 图形互乘法图形互乘法10-5 卡氏定理卡氏定理10-6 功的互等定理和位移互等定理功的互等定理和位移互等定理10-1 概概 述述一一.上册总结：上册总结：二二.本节课所要学习的主要内容及中心内容：本节课所要学习的主要内容及中心内容：1.能量法的概念能量法的概念2.杆件变形能的计算杆件变形能的计算3.莫尔定理莫尔定理 一种具体的能量方法（本节课的中心内
2、容）一种具体的能量方法（本节课的中心内容）能量 UW变形 1.功能原理功能原理W=U 物理意义：物理意义：弹性体在变形的过程中，外力所做的功全部 转化为储存于弹性体内部的变形能变形能。2.能量法能量法从能量的角度能量的角度出发，利用功能原理来求解弹 性体变形的方法，即：三三.基本概念：基本概念：目录目录 (2)在阐述功能原理的过程中，必须强调：在功能的转化在阐述功能原理的过程中，必须强调：在功能的转化 过程中，还会有过程中，还会有动能的损失动能的损失，还会产生，还会产生热能热能等其它形式的能量等其它形式的能量 ，但由于这些能量同变形能相比，是很小的，故在一般情况下，但由于这些能量同变形能相比，
3、是很小的，故在一般情况下 可以忽略不计，而近似地认为可以忽略不计，而近似地认为W全部地转化成了全部地转化成了U。(3)在分析了功能原理和能量法的概念之后在分析了功能原理和能量法的概念之后，应该指出能，应该指出能 量法的实质量法的实质，并合乎情理的引出下节内容。，并合乎情理的引出下节内容。(1)由于本课由于本课位位于第二册之首于第二册之首，因此在学习之前对上册进因此在学习之前对上册进 行简单总结，同时，在总结过程中可自然地引出该章内容。行简单总结，同时，在总结过程中可自然地引出该章内容。10-2 杆件变形能的计算杆件变形能的计算一一.轴向拉压变形能的计算：轴向拉压变形能的计算：1.N=常量（图一
4、）常量（图一）EALNWU22复习内容。复习内容。轴向拉压变形轴向拉压变形)0(PPLEA方法：方法：微元法：微量 相对于 的影响。dxdxq xN而言很小，忽略 dxq微段 dx近似的被看成N=常量的等直杆，从而可用公式 EALNWU22计算微段内的变形能计算微段内的变形能微元法图二dx)(xN)(xNqdx2 xNN（图二）dxEAxNUL220令微段内的变形能为du，则：EAdxxNdU22重点学习内容重点学习内容 二二.扭转变形能的计算：扭转变形能的计算：1 常量nM（图三）PnGILMWU22复习内容复习内容2 xMMnn（变量）（图四）方法：方法：微元法微元法。LPnGIdxxMU
5、22学习内容学习内容 图三扭转变形扭转变形图四三弯曲变形能的计算：三弯曲变形能的计算：2 xMMzz（图六）方法：方法：微元法 LZEIdxxMU22学习内容学习内容注：其中 xMz的角标可略 1.常量zM（图五）ZzEILMU22复习内容复习内容图六图五受力作用受力作用lEIl 321PPPEI3.在讨论变形能的计算问题之前，应首先强调在讨论变形能的计算问题之前，应首先强调：杆件的变：杆件的变 形能形能 可以分为两种情况：可以分为两种情况：内力内力=常量常量 内力内力=变量变量 对于内力对于内力=常量的情况在第常量的情况在第2，3，7三章已经分别研究过。三章已经分别研究过。v在本节课上只做简
6、单复习，而着重的讨论内力在本节课上只做简单复习，而着重的讨论内力=变量的情况。变量的情况。4.由于 ，xNN ，xMMnnxMMz变形能的计算方法都是一样的，故在此只需对变形能的计算方法都是一样的，故在此只需对 三种情况下三种情况下xNN的情况做细致的讨论，后面两种情况可一带而过，无须多讲。的情况做细致的讨论，后面两种情况可一带而过，无须多讲。目录目录10-3 莫尔定理莫尔定理计算线弹性结构变形的一种非常有效的工具计算线弹性结构变形的一种非常有效的工具dxEIxMxMfLZ0计算挠度的莫尔定理计算挠度的莫尔定理一定理：一定理：f 线位移 xM在原始载荷P1、P2、P3作用下，X截面弯矩。xM0
7、在预加单位载荷P0=1 作用下，X截面的弯矩。其中：其中：图七l 321PPP2EICfx图八l2EIC0Pxv 在研究莫尔定理之前，首先应明确：在这一章中，我们将学习两种能量方法：1，莫尔定理莫尔定理。2，卡氏定理卡氏定理。其中莫尔定理是今天这节课的内容。并且，在变形能变形能概念的基础上来研究莫尔定理。v 对于图六的情况：由于该梁是一横力弯曲梁横力弯曲梁，即在横截面上不仅有弯矩，而且还有剪力，因此在梁的变形中，弯矩不仅要产生影响，剪力也要产生影响，但当 4HL变形都是由于 于弯矩的影响来说是很小的，xM的影响而产生的。时，剪力的影响相对故可略而不计，而近似地认为梁的二二.定理证明：定理证明：
8、1在原始载荷在原始载荷P1、P2、P3单独单独作用下作用下，梁内变形能U LZEIdxxMU22 2在在P0=1单独单独作用下作用下，梁内变形能U0 LZEIdxxMU2200 图七l 321PPP2EICf图八l2EIC0Px 3.采用先加P0=1，然后再加然后再加P1、P2、P3.的加载方式时，梁内的变形能 1UP0作用下：作用下：dxEIxMULZ2020 P1、P2、P3作用下：作用下：LZEIdxxMU22图七l 321PPP2EICf0P图七l 321PPP2EICf图八l2EICf0P1U图九l2EI0Mv在产生在产生 f变形过程中，变形过程中，P0做功：做功：fP0转变成变形能
9、储存于弹性体中转变成变形能储存于弹性体中，从而可求出梁内最终所储存的总变形能总变形能 1U fEIdxxMdxEIxMfPUUULZLZ122202001 4.采用采用将将P0、（P1、P2、P3）同时作用于梁上的加）同时作用于梁上的加载方式时载方式时X截面弯矩截面弯矩:xMxM0根据叠加原理根据叠加原理v 在求在求U之前，应将图六和图七进行比较，即可发现图七实质之前，应将图六和图七进行比较，即可发现图七实质上是图六的计算简图，因此，此时上是图六的计算简图，因此，此时梁内的变形能梁内的变形能仍应为：仍应为：LZEIdxxMU22v 在进行第二步计算之前应明确在进行第二步计算之前应明确：弹性体内
10、所储存的变形能只弹性体内所储存的变形能只与外力和位移的最终数值有关，而与加载方式无关与外力和位移的最终数值有关，而与加载方式无关；基于这个道；基于这个道理，在此分别研究梁在不同的加载方式作用情况下，变形能的情理，在此分别研究梁在不同的加载方式作用情况下，变形能的情况况。v 此时应强调此时应强调P1、P2、P3对梁的作用效果并不因预先在对梁的作用效果并不因预先在C点点作用了单位载荷而有所改变，因此得出：由于作用了单位载荷而有所改变，因此得出：由于P1、P2、P3的作的作用，用，C点产生的位移点产生的位移 f况下梁内的变形能。即况下梁内的变形能。即式。式。应等于应等于f；产生的变形能也应等于图七情
11、产生的变形能也应等于图七情 dxEIxMxMdxEIxMdxEIxMdxEIxMxMULZLZLZLZ02202012224.根据变形能与加载方式无关的道理得：根据变形能与加载方式无关的道理得：11UU dxEIxMxMfLZ0计算挠度的莫尔定理计算挠度的莫尔定理 5.推论：同样的道理，如果我们要求截面的转角，也只需在C截面上施加一个单位力偶，用上述同样的方法可求出：dxEIxMxMLZc0计算转角的莫尔定理计算转角的莫尔定理三三.总结：总结：1.莫尔定理莫尔定理单位力法2.适用范围适用范围线弹性结构四四.应用举例：应用举例：例例1：如图所示：简支梁AB，跨长为L，抗弯刚度为 ZEI。其上受均
12、布载荷作用，载荷集度为q，试求出梁跨中点C的挠度 cf及端面B的转角 B1U图九l2EI0MCxqlARxBRl2EIC2/110Px2/1l2EI10ML/1L/1zEIC?Bcf、解：解：一一求支反力求支反力RA，RB由对称性：由对称性：2qlRRBA二二求求 cf及及 B 22222qxqxlqxxRxMA xxM21020lx lxxM0ZlZLZcEIqldxEIxMxMdxEIxMxMf3845242000 ZlZLZBEIqldxEIxMxMdxEIxMxM24232000v 在材料力学中在材料力学中，由于每一个具体的问题都要涉及到一定结构，由于每一个具体的问题都要涉及到一定结构
13、的的具体图形具体图形，因此，在接到问题，因此，在接到问题，了解了已知条件和要求解了解了已知条件和要求解的的问问题之后题之后，紧接着应该来紧接着应该来分析图形分析图形的结构性质。很显然，图十为一的结构性质。很显然，图十为一对称结构对称结构。v 对于对于对称结构对称结构，在求其某一具体物理量的数值时，只需取其，在求其某一具体物理量的数值时，只需取其一个对称部分来进行计算，一个对称部分来进行计算，其结果再乘以对称部分的个数即可其结果再乘以对称部分的个数即可。如图十，如图十，可可沿梁沿梁中截面中截面将梁将梁分为两个对称部分分为两个对称部分，因此因此 cf及及 B可写成左边的形式。可写成左边的形式。例题
14、总结：例题总结：1.从莫尔定理的证明过程及例题的分析过程中，可以看出从莫尔定理的证明过程及例题的分析过程中，可以看出莫尔莫尔定理实质上就是单位载荷法定理实质上就是单位载荷法。若要求某一点的线位移，只需在。若要求某一点的线位移，只需在该该点上沿着线位移的方向作用一单位集中力就行了点上沿着线位移的方向作用一单位集中力就行了。若要求若要求解解一截一截面的转角面的转角，也只需在该截面上作用一单位力偶就行了也只需在该截面上作用一单位力偶就行了。2 ZcEIqlf38454ZBEIql243中的正负号所表示的含义：中的正负号所表示的含义：“+”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向一致。表示位移的实际方
15、向同假设的单位载荷的方向一致。“-”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向相反。表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向相反。中的中的 v 为了区别为了区别 cf及及 B xM0，在在 B中的中的 xM0改写改写 xM0的形式。的形式。成成 为了表示出这两种含义，最后在求出的数值后面应用符号为了表示出这两种含义，最后在求出的数值后面应用符号标明实际位移方向。标明实际位移方向。注意：注意：上述内容为一节课（上述内容为一节课（50分钟）内容。整个板面应控制在两个分钟）内容。整个板面应控制在两个板面左右，以提高板面左右，以提高“讲讲”的效果。的效果。五五.莫尔定理在平面曲杆的应用：莫尔定理在平面曲
16、杆的应用：对于横截面高度对于横截面高度远远小于轴线曲率半径的平面曲杆小于轴线曲率半径的平面曲杆，其其弯曲正弯曲正应力应力分布规律接近于直梁，如再省略轴力和剪力的影响，可将计分布规律接近于直梁，如再省略轴力和剪力的影响，可将计算直梁变形的莫尔定理推广应用于这类曲杆算直梁变形的莫尔定理推广应用于这类曲杆挠度和转角的近似挠度和转角的近似计算公式计算公式：dsEIsMsMfSZ0 dsEIsMsMS0（10-12）式中式中：S 代表曲杆轴线的弧长代表曲杆轴线的弧长 sM 载荷作用下，曲杆横截面上的弯矩载荷作用下，曲杆横截面上的弯矩 sM0 单位力或力偶作用，曲杆横截面上的弯矩单位力或力偶作用，曲杆横截
17、面上的弯矩 （计算桁架中某一点位移的莫尔定理的推导做为课外作业，（计算桁架中某一点位移的莫尔定理的推导做为课外作业，请大家课后将它推导出来）请大家课后将它推导出来）目录目录10-4 图形互乘法图形互乘法 在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分：在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分：M x MxEIxl()()0d 对于等直杆，对于等直杆，EI=const，可以，可以提到积分号外，故只需计算积分提到积分号外，故只需计算积分。直杆的直杆的M0(x)图必定是直线或折图必定是直线或折线。线。llxxMxxxMxMd)(tgd)()(00tgCCMx M xMxE IxME IlC()()
18、00d 顶点顶点 顶顶点点23l h13l h 二次抛物线二次抛物线例例102：试用图乘法求所示悬臂梁自由端：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。的挠度和转角。解：解：IEMxIExMxMvClB00d)()(12232EIPll PlEI33BE IPl1212PlE I22顺 时 针例例103：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。ql28/l/4解：解：ql28/325823222maxlqllIEv 53844qlEImax 1238122EIlqlqlEI324例例104：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。：试用图
19、乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。Pl/4l/4解：解：vEIlPllmax212246 PlE I348Pl/4max112412E IlPlPlE I216例例105：试用图乘法求所示简支梁：试用图乘法求所示简支梁C截面的挠度和截面的挠度和A、B截面截面的转角。的转角。l/4解：解：vEIlmC1822 mlEI216AE Iml1213mlE I6顺 时 针BE Im l1223逆时针IElm3 例例106：试用图乘法求所示悬臂梁自由端：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。的挠度和转角。ql22vE IlqllB132342 qlE I48解：解：ql22BEIlql1321
20、2qlEI36顺时针 例例107：试用图乘法求图示悬臂梁中点：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移。处的铅垂位移。解：解：vE IlmC182 mlE I28例例108108：图示梁，抗弯刚度为：图示梁，抗弯刚度为EIEI，承受均布载荷，承受均布载荷q q及集中力及集中力X X作用。用图乘法求：作用。用图乘法求：(1)1)集中力作用端挠度为零时的集中力作用端挠度为零时的X X值；值；(2)2)集中力作用端转角为零时的集中力作用端转角为零时的X X值。值。ql28/解：解：CEIXalXaql 122321121223 0Xqlala3423()例例9：图示梁的抗弯刚度为：图示梁的抗弯刚度为
21、EI，试求，试求D点的铅垂位移。点的铅垂位移。解：解：vEIPaaC32232PaEI3 例例1010：图示梁的抗弯刚度为：图示梁的抗弯刚度为EI，试求，试求D点的铅垂位移。点的铅垂位移。vE IPaaC32232PaE I3例例1011：图示开口刚架，：图示开口刚架，EI=const。求。求A、B两截面的相对两截面的相对角位移角位移 AB 和沿和沿P力作用线方向的相对线位移力作用线方向的相对线位移 AB。解：解：ABPaEI21813212123233PaEIAB 0例例1012：用图乘法求图示阶梯状梁：用图乘法求图示阶梯状梁A截面的转角及截面的转角及E截面的截面的挠度。挠度。APaEIPa
22、EI22125612162212PaEI2vPaEIPaEIE3312132232113123PaEI目录目录10-5卡氏定理卡氏定理式中：式中：U 弹性体内的变形能弹性体内的变形能（在P2作用下）作用下）nPnPnP作用在弹性体上一组外力作用在弹性体上一组外力P1、P2中，中，作用在作用在n点处的外力点处的外力.n对应于对应于 nP所发生的所发生的n点沿点沿 nP方向的方向的位移位移。一定理：一定理：nnPUnP的偏导数，的偏导数，作用点沿作用点沿 nPnP位移，即：位移，即：方向的方向的对于线弹性结构，变形能对任一外力对于线弹性结构，变形能对任一外力等于等于二二.定理证明：定理证明：1.在
23、原始载荷作用下（在原始载荷作用下（P1、P2nP作用下）的作用下）的变形能变形能。令此。令此两种情况下的变形能为两种情况下的变形能为 0UnP相同。如图所示：如图所示：P1、P2nP为作用于弹性体上的一组载荷，为作用于弹性体上的一组载荷，在此称为在此称为原始载荷原始载荷。ndP为我们为了求解问题的需要，为我们为了求解问题的需要，地施加于弹性体上的一微小增量地施加于弹性体上的一微小增量，其作用方向及作用位置与，其作用方向及作用位置与 而而假想假想ndP2.在原始载荷作用的基础上，在在原始载荷作用的基础上，在n点沿点沿 nP方向施加方向施加 ndP弹性体的变形能，由于弹性体的变形能，由于 处施加了
24、一增量处施加了一增量 能能U也应产生一增量也应产生一增量，nndPPU故此时弹性体内的变形能应故此时弹性体内的变形能应 nndPPUU后，后，则变形，则变形为为：nP卡氏定理卡氏定理增加载荷增加载荷原始载荷原始载荷弹性体弹性体nnnnddPddPU21 由由=可得：可得：，而，而总的变形能总的变形能应为：应为：3.先作用先作用，ndP而后作用而后作用 P1、P2nP。由于由于 的作用，的作用，ndP弹性体内所产生的变形能为弹性体内所产生的变形能为：在在 的作用过程中，由的作用过程中，由 不因先前作用了不因先前作用了 ndP而有所改变，而有所改变，同时由于同时由于 在这一过程中在这一过程中ndP
25、始终作用在弹性体上始终作用在弹性体上，因此该过程中，因此该过程中，弹性体内再次弹性体内再次产生的变形能应为产生的变形能应为：nnddPU21对弹性体的作用效果并对弹性体的作用效果并P1、P2nPP1、P2nPnnddP21nnnnnnddPddPUdPPUU21略去二阶微量：略去二阶微量：nnddP21，求得：求得：nnPU卡氏定理。卡氏定理。1.横力弯曲梁：横力弯曲梁：变形能：变形能：LZEIdxxMU22 dxPxMEIxMEIdxxMPPULnZLZnnn22三三.卡氏定理的应用卡氏定理的应用2.平面曲杆（截面高度远小于轴线曲率半径）平面曲杆（截面高度远小于轴线曲率半径）变形能：变形能：
26、dsEIsMUS22 dxPsMEIsMdsEIsMPPULnSnnn223.桁架：桁架：变形能：变形能：miiiiEALNU122nimiiiimiiiinnnPNEALNEALNPPU1122分别指广义位移和广义力，即：分别指广义位移和广义力，即：注：注：上述公式中，上述公式中，nnP、n则为线位移，则为线位移，为力偶时，为力偶时，nPn则为一转角。则为一转角。为集中力时，为集中力时，nPABCAR1x2xLaPMcf和左端截面A的转角 A例例1013：如图所示为一外伸梁，其抗弯刚度EI已知，试求外伸端C的挠度解：解：一求支座反力及内力方程：一求支座反力及内力方程：1.支反力：支反力：由由
27、 LPaLMRMAB0LMPLaRPRFABy102.弯矩方程：弯矩方程：AB段：段：MxLPaLMMxRxMA1111 111xLaPxM1111LMxMBC段：段：222PxxM222xPxM022MxM3求求 cf和和 A 3631322222211111PaMaLLPaEIdxPxMEIxMdxPxMEIxMfaLc 6312222211111PaLMLEIdxMxMEIxMdxMxMEIxMaLA注：注：此处此处 cf和和 A力的方向一致力的方向一致。的结果为正的结果为正，说明位移方向同各自处外，说明位移方向同各自处外举例说明卡氏定理的附加力法：举例说明卡氏定理的附加力法：例例14：
28、如图所示为一悬臂梁，其抗弯刚度EI为已知，试求自由端截面的垂直位移及截面转角。解：解：一在梁的自由端截面处作用附加力一在梁的自由端截面处作用附加力 fP和和 fM如图：如图：ABLxqfM二求二求 Bf和和 B EIqLdxqxEIdxxMxPqxEIdxPxMEIxMfLLfffLB80021211432此时，此时，ffMxPqxxM221 xPxMf 1fMxM EIqLdxqxEIdxMxPqxEIdxMxMEIxMLLfffLB600211211322v讨论：讨论：当我们所要求其位移的截面处无集中力作用时当我们所要求其位移的截面处无集中力作用时，或所要，或所要 求其转角的截面处无集中力
29、偶作用时，为了能够使用求其转角的截面处无集中力偶作用时，为了能够使用卡卡 氏定理解氏定理解 题题，我们可以在上述位置处作用上，我们可以在上述位置处作用上附加力附加力 fP和附加力偶附加力偶 fM然后按照卡氏定理求出结果然后按照卡氏定理求出结果，并在结果，并在结果中令中令，0fP0fM即可。即可。，目录目录10-6 功的互等定理和位移互等定功的互等定理和位移互等定理理二二.定理证明：定理证明：1 1P和和 2P所示，在线弹性范围之内的情况下，梁内的所示，在线弹性范围之内的情况下，梁内的变形能应变形能应为：为：缓慢地按相同的比例增加地作用在梁上，如图222121211112121ffPffPU一一
30、.定理：定理：212121fPfP2112ff功的互等定理功的互等定理位移互等定理位移互等定理图a1P211f121f图b2P212f122f图c2P212122ff1P12f11f图d2P211P12f11f 1P作用下，作用下，1点沿点沿 方向的方向的位移位移 1P21f 1P作用下，作用下，2点沿点沿 方向的方向的位移位移 1P2.按照先作用按照先作用 后作用后作用 1P2P证明证明莫尔定理莫尔定理同样地道理，可得；同样地道理，可得；梁内的变形能应为：梁内的变形能应为：的方式施加载荷，根据的方式施加载荷，根据12122211122121fPfPfPU3.由于由于梁内的变形能与加载方式是无
31、关的梁内的变形能与加载方式是无关的，故，故 21UU即：即：121222111222121211121212121fPfPfPffPffP212121fPfP功的互等定理功的互等定理 4.在在 21PP 时：时：2112ff位移互等定理位移互等定理 例例1015：试求图示悬臂梁的变形能：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由，并利用功能原理求自由 端端B的挠度。的挠度。解：解：xPxM)(UMxEIxl22()dlxIEPx02d2)(P lEI2 36WP vB12由，得UWvPlEIB33例例1016：试求图示梁的变形能，并利用功能原理求：试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的
32、截面的 挠度挠度。解：解：UMxE Ixl22()dPblxEIxPalxEIxab1210222022ddP bEIlaP aEIlb2 2232 2232323Pa bEI l2226WP vC12，得：由WU vPa bEIlC2 23例例1017：试求图示四分之一圆曲杆的变形能：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原，并利用功能原 理求理求B截面的垂直位移。已知截面的垂直位移。已知EI 为常量。为常量。解：解：MPR()sin(sin)PRE IR2022dUME IRl22()dP REI238BVPW21又，得：由WU BVPREI34思考题思考题101：轴线为半圆形的平面曲
33、杆，作用于：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端的集中端的集中 力力P垂直于轴线所在的平面。试求垂直于轴线所在的平面。试求A点的垂直位点的垂直位 移移。已知。已知GIp、EI为常量。为常量。思考题思考题102102：试用莫尔定理计算图试用莫尔定理计算图(a)(a)所示悬臂梁自由端所示悬臂梁自由端B B的的 挠度和转角挠度和转角。LFAB思考题思考题103103：计算图（计算图（a a）所示开口圆环在）所示开口圆环在 P P力作用下切口力作用下切口 的张开量的张开量 AB AB。EI=EI=常数。常数。思考题思考题104：半圆形小曲率曲杆的：半圆形小曲率曲杆的A端固定端固定，在自由端作用，在自由端
34、作用 扭转力偶矩扭转力偶矩m，曲杆横截面为圆形，曲杆横截面为圆形，其直径为，其直径为 d。试求。试求B端的扭转角。已知端的扭转角。已知E、。思考题思考题105：求图示简支梁求图示简支梁C截面的挠度。截面的挠度。思考题思考题106：求图示悬臂梁中点求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移处的铅垂位移C。思考题思考题107107：长为长为 l l、直径为、直径为 d d 的圆杆受一对横向压力的圆杆受一对横向压力 P P 作用作用 ，求此杆长度的伸长量，求此杆长度的伸长量。已知。已知E E和和。思考题思考题108：已知简支梁在均布载荷已知简支梁在均布载荷q作用下，梁的中点挠度作用下，梁的中点挠度为：为：求：梁在中点集中力求：梁在中点集中力P作用下作用下(见图见图)，梁的挠曲线与梁变梁的挠曲线与梁变形形前的前的 轴线所围成的面积轴线所围成的面积。fq lE I53844目录目录
